二、主极大条件（亮纹的条件）
1.光栅方程
(a b)sin d sin k k 0,1, 2,3
当满足此条件时,相邻两缝对应光线的光程差等于波长的整数倍， 干涉加强，形成亮纹。 此式称为光栅方程。
2.主极大的条件可用光矢量A 的叠加来解释
当相邻两缝对应光束的光程差为（a+b）sinθ=+kλ时, 第一个与第二个缝光束的相位差为k2π
理工大教学课件
大学物理学电子教案
光的衍射（２）
10－2 衍射光栅
复 习
10-0 光的衍射
•光的衍射现象 •惠更斯-菲涅耳原理 •衍射的分类
10-1 单缝夫衍射
•单缝夫琅和费衍射实验现象 •单缝夫琅和费衍射的定性解释
§10－2 衍射光栅
引言：对于单缝： 若缝宽大，条纹亮，但条纹间距小，不易分辨 若缝宽小，条纹间距大，但条纹暗，也不易分辨 因而利用单缝衍射不能精确地进行测量。 问题：能否得到亮度大，分得开，宽度窄的明条纹？ 结论：利用衍射光栅所形成的衍射图样——光栅光谱 应用： 精确地测量光的波长； 是重要的光学元件，广泛应用于物理，化学，天文， 地质等基础学科和近代生产技术的许多部门。


A3

A



E0 0

A2
A10
A5

A1
即
k d sin N
(k 0, N , 2 N ,)
或
k 1,2,3, , ( N 1), ( N 1),
k 为不等于Nk的整数，否则为主极大 ，不是暗纹
sin 0 25
0 5000 4 a 2 10 A 0 25
（3）由光栅公式
I
d si n k
k 4
sin 0 25
sin
0
0.25
0 4 5000 4 d 8 10 A 0 25
或由缺级条件： d 4 a
d 4a 8 10 A
31 4 d 3 . 36 10 cm sin 30
（2）对 2有， d sin 30 42 2 d sin 30 4200 A 4

例2、一束单色光垂直照射到光栅上，衍射光谱中共出现
五条明纹，若光栅的缝宽与不透光部分的宽度相等，试
分析在中央明纹一侧的第一、二条明纹各是第几级谱线？ 解：d=2a, 则
N条 l
未刻： 透光 缝 刻：遮光
光栅常数:
l d ab N
(103 ~ 104 cm)
以二缝光栅为例
s2
1 I I0
x
P
x
2
1
0
1
2k
d
s1
a
f
o
只考虑单缝衍射强度分布
1 I I0
d 3a
6
3
0
3
6k
结论：
只考虑双缝干涉强度分布
1 I I0
屏上的强度为单缝衍射和
缝间干涉的共同结果。
k 2k 2, 4, 6
的各级谱线缺级，因而中央明纹一侧的第一、二条 明纹分别是第一、三级谱线。 五级谱线为
k 0, 1, 3
例3、波长为 6000 A的单色光垂直照射到一光栅上， 第二级、第三级谱线分别出现在衍射角 2、 3 满足下 式的方向上，即 sin 2 0.20, sin 3 0.30, 第四级缺级。
入射光 5000 A ，由图中衍射光强分布确定
I
0
(1) 缝数 N = ? (2) 缝宽 a = ?
(3) 光栅常数 d = a+b = ?
sin
0
0.25
解： （1）由相邻主极大之间有N-1条暗纹，N-2条 次极大可知：N＝5。 （2）由单缝衍射暗纹公式 a sin k
k 1
k
0
1
2
k 0, 1, 2, N 1, N , N 1, N 2,2 N 1, 2 N , 2 N 1,
相邻两条主明纹间有N-1条暗纹
说明
(1) N 缝干涉, 两主极大间有N - 1个极小， N - 2 个次极大。 (2) 随着N 的增大，主极大间为暗背景越黑且越宽
( a + b ) sin
a +b

屏

0
x f
若相邻狭缝对应点在衍射 δ = (a + b)sin k 角 方向上的光程 差为：
则它们相干加强，形成明条纹。狭缝越多， 条纹就越明亮。
一、衍射光栅
衍射光栅(透射光栅) 反射光栅(闪耀光栅)
从工作原理分:
透射光栅:即刻痕玻璃。在玻璃片上刻划出一系列平 行等距的划痕,刻过的地方不透光，未刻地方透光。
N个缝光矢量叠加
A1 A2 A 3
AN
A
屏幕上任一点的光振动来自于各缝光振动 A1 , A2 , , An
的叠加 相邻振动相位差 如果
2π
三、 暗纹公式（极小条件）

d sin
A Ai 0
A4

N k 2π

N
k 1,
a sin 4 k
a a b 1.5 106 m 4
（3）当
sin 1 时，出现的谱线最多。
a b k
6 a b 6 10 k 10 7 6 10
k 4k
缺级，
(4,8,12)
缝间光束干涉极大条件
单缝衍射极小条件
故缺级条件为： k (a + b ) = k′ a
k′值表示什么？
k 值又表示什么？
光栅衍射 第三级极 大值位置
单缝衍射 第一级极 小值位置
缺级
k=-6
k=-4 k=-2 k=0 k=2 k=4 k=6 k=-1 k=3 k=-5 k=1 k=5 k=-3
(a + b ) k 3 若： a = n = 1
1
0
1
k
双缝光栅强度分布
光栅衍射是单缝衍射和缝间光线干涉两种效应的叠 加，亮纹的位置决定于缝间光线干涉的结果。 缝数 N = 5 时光栅衍射的光强分布图 包络线为单缝衍射 的光强分布图 次极大 主极大 亮纹
中 央 亮 纹
极小值
k=-6
k=-4 k=-2 k=0 k=2 k=4 k=6 k=-1 k=3 k=-5 k=1 k=5与缝在垂直与透镜 L 的光轴方向上的位置无关。 衍射角相同的光线， 会聚在接收屏的相 同位置上。 换句话说，单缝的夫琅和费 衍射图样，不随缝的上下 移动而变化。
a
O

a
O
##、多缝干涉 若干平行的 单狭缝所分割 的波面具有相 同的面积。 各狭缝上的子 波波源一一对 应，且满足相 干条件。 a b

试求：（1）光栅常数;
解：（1）由光栅方程
(2) 光栅上狭缝的宽度；
（3）写出屏上可能出现的全部光谱线的级数。
2 k ab 6 10 4 A 6 10 6 m sin sin 2
( a + b ) sin φ = kλ
有
（ 2）
(a b) sin 4 4

(a b)sin k 红
(a b)sin k紫
k 红 1.9 k 紫
k 红 k 紫
红＝760nm 紫＝400nm
-3级
白光的光栅光谱
3级
-2级
-1级
0级
1级
2级
中央为白色明纹，两侧为内紫外红的 彩带，只能看到一级完整彩带。
17
[例 ]
可能出现的全部光谱线的级数为
k 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9,10 共17条谱线。
[例4] 用每厘米有5000条的光栅，观察钠光谱线， =5890Å。问在以下情况下，最多能看到几级条纹？ （1）光线垂直入射时;（2）光线以30度角倾斜入射时。
解：（1） 据光栅公式
( a + b ) sinφ = k λ
当sinφ
最多能看到3级条纹。
有最大值。 = 1时， k2 6 1 10 a + b = 5000 = 2 10 m 6 (a +b) 2 10 k= sinφ = 7~ 3 5.893 10 λ
此时能看到几条亮线？
（2）、倾斜入射
光线在进入光栅 之前有一附加光 程差AB，所以：
4
0
练习: P490 15.4.4
例1、一束含有 1和2 的平行光垂直照射到一光栅上， 测得 1 的第三级主极大和 2 的第四级主极大的衍射 角均为 30

，已知 1 5600 A 。求 （2）波长 2 =？

（1）光栅常数d=?
解：（1）由光栅方程对 1有，
(a b) sin 30 d sin 30 31
原因
相干波数目越多，出现干涉加强的条件越苛刻， 越难以满足
能量守恒.
单缝衍射和多缝干涉谱线比较
次极大条件：
对应按多边形法则叠加，不正好为 直线，也不正好闭合的其余位置 N-1条暗纹由N-2个次极大隔开， 相邻两条主明纹间有N-1条暗纹 和N-2个次极大
I
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
k
只考虑缝间干涉强度分布
I
-2
-1
只考虑单缝衍射强度分布
1
2
k
I
-2
-5 -4
缺 级 缺 级