2020年湖南省普通高中学业水平考试合格性考试
数学试卷
一、选择题
1.如图1所示的几何体是
A.圆锥
B.棱锥
C.圆台
D.棱柱
2.已知向量)1,1(),1,2(-==b a .若)2,(x b a =+，则=x
A.0
B.1
C.2
D.3
3.圆122=+y x C ：的面积是 A.4π B.2
π C.π D.π2 4.盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是 A.
31 B.21 C.3
2 D.1 5.要得到函数x y sin 1+=的图象，只需将函数x y sin =的图象 A.向上平移1个单位长度 B.向下平移1个单位长度
C.向右平移1个单位长度
D.向左平移1个单位长度
6.已知数列}{n a 满足n n a a a 2,111==+，则=4a
A.4
B.8
C.16
D.32
7.已知函数⎩
⎨⎧><+=.0,,0,2)(x x x x x f 若a f =)0(，则=)(a f A.4 B.2 C.2 D.0
8.函数x x x f cos sin 2)(=的最小正周期是 A.
2
π B.π C.π2 D.π4 9.用cm 12长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是 A. 23cm B.26cm C.29cm D.212cm
10.已知定义在]3,3[-上的函数)(x f y =的图象如图2所示.下述四个结论：
①函数)(x f y =的值域为]2,2[-
②函数)(x f y =的单调递减区间为]1,1[-
③函数)(x f y =仅有两个零点
④存在实数a 满足0)()(=-+a f a f 其中所有正确结论的编号是
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
二、填空题
11.已知集合}|{},1|{2a x x B x x A ====.若B A ⊆，则=a .
12.某班视力近视的学生有15人，视力正常的学生有30人.为了解该班学生近视形成的原因， 拟采用分层抽样的方法抽取部分学生，调查相关信息，则抽取的学生中视力近视与视力正
A
E F 常的人数之比为 .
13.已知直线kx y l x y l ==:,:21.若21l l ⊥，则=k .
14.已知等差数列}{n a 满足2,121==a a ，则}{n a 的前5项和=5S .
15.已知角α的终边经过点)4,3(，则=αcos .
三、解答题：
16.2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位：小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图3所示的频率分布直方图.
(1)求该校学生学习的周均时长的众数的估计值；
(2)估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.
17.如图4所示，ABC ∆中，32,2===BC AC AB .
(1)求内角B 的大小；
(2)设函数)sin(2)(B x x f +=，求)(x f 的最大值，并指出此时x 的值.
18.如图5所示，三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AC AB ⊥，且F E ,分别为PC BC ,的中点.
(1)求证：//EF 平面PAB ；
(2)已知6,4===PA AC AB ，求三棱锥AEC F -的体积.
19.已知函数||||)(,)(x x a x g a x f -==，其中0>a ，且1≠a .
(1)判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；
(2)若不等式)()(x g x f ≥对R x ∈都成立，求a 的取值范围；
(3)设2)1(=f ，直线1t y =与)(x f y =的图象交于B A ,两点，直线2t y =与)(x g y =的图象交于D C ,两点，得到四边形ABCD .证明：存在实数21,t t ，使四边形ABCD 为正方形.。