2.如图,以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O交底边BC于点D,则:
A
点D是BC的中点.
O
B
DC
A
4.如图, △ABC各边分别切圆 O于点D、
． D ．
．F
O
E、F.
(1) ∠DEF= 900- ∠A
1
B
． E
C (2) ∠BOC= 900+ ∠A
2 1
A
2
． D ．
．F
(3) S △ABC= (a+b+c)r
．
O
．∟
A
∵直线l是⊙O的切线,切点为A
∴ OA⊥ l l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等； 这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
．A
． O ． B
∵PA、PB为⊙O的切线
∴PA=PB, P
∠APO= ∠BPO
三角形的外接圆与内切圆:
A．
． O
B．
． C B
A
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点 . 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点 .
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是同弧所对的圆周角
C
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
圆周角的性质: 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角).
性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵AB是⊙O的直径
C
∴ ∠ACB=900
A
O
B
三.与圆有关的位置关系: 1.点和圆的位置关系
1
2
O
B
．
C
E
5.在Rt △ABC中, ∠ACB是直角,三边分别是a、b、c,内切圆半径是r,则: A
内切圆半径r=
． D ．
．F
或r=
O
C
．
E
B
a+b-c 2
ab a+b+c
6.如图,AB是圆O的直径,AD,BC,DC均为切线,则:
4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多 边形的边心距．
C
D
四.圆中的有关计算 :
1.圆的周长和面积公式
周长C=2πr
2.弧长的计算公式
L = nπr 180
3.扇形的面积公式
面积s=πr2
．r
O
S = nπr2
360
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h
B r
C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
不在同一直线上的三点确定一个圆.
特别的:
等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.
A
O
B D
C
三.正多边形:
A
B
１.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多 F
O
边形的中心．
2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的
半径．
EG
3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做 这个正多边形的中心角．
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
Байду номын сангаас
A C
A
O．
∟
E
D
1.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆 于C、D,则:
B AC=BD
O
．∟
C
B
若大圆的弦切小圆于C,则 AC=BC
两圆之间的环形面积
1 S= πAB2 4
O
∴ AB = CD
C ∴AB=CD
A
B
3.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧.
C
∵CD是圆O的直径,CD⊥AB
A
．
P
︵ ∴AP=BP, ︵
︵ ︵ B
AD = BD
D
AC = BC
垂径定理的应用
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、 弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可
第24章圆知识体系复习
本章知识结构图
圆的基本性质
与圆有关的位置关系
圆
正多边形和圆
圆的对称性
弧、弦圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系
三角形的外接圆
直线和圆的位置关系
切线
三角形内切圆
圆和圆的位置关系
等分圆
有关圆的计算
弧长 扇形的面积
圆锥的侧面积和全面积
本章 第1部分 圆的基本性质 安排 第2部分 与圆有关的位置关系
复习
内容 第3部分 正多边形和圆
第4部分 弧长和面积的计算
第5部分 有关作图
一.圆的基本概念: 1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
2.有关概念:
．
O
(1)弦、直径(圆中最长的弦) (2)弧、优弧、劣弧、等弧 (3)弦心距
二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.
(1)点在圆内
(2)点在圆上
(3)点在圆外
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则d与r的大小关系为:
．
C
． A．
． B
点与圆的位置关系
点在圆内 点在圆上 点在圆外
d 与r 的关系
d＜r d＝r d＞r
2.直线和圆的位置关系:
．
．
O
O
．
O
l
l
(1) 相离:
l 一条直线与一个圆没有公共点,叫做直线与这个圆相离.
(2) 相切:
一条直线与一个圆只有一个公共点,叫做直线与这个圆相切.
(3) 相交:
一条直线与一个圆有两个公共点,叫做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r． O d
r．
r．
O d
∟
dO
l
∟
l
∟
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则: (1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r ⑵ r 2 ? d 2 ? ( a )2 2
a
h
2
d
O
4.圆周角:
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.
性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
A O
B
C
∠BAC=
∠1 BOC
2
圆周角的性质(2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
．
2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
(1)在同圆或等圆中 ,如果圆心角相等 ,那么它所对的弧相等 ,所 对的弦相等 .
(2)在圆中,如果弧相等 ,那么它所对的圆心角相等 ,所对的弦相 等.
(3)在一个圆中 ,如果弦相等 ,那么它所对的弧相等 ,所对的圆心 角相等 .
︵ ︵ D ∵ ∠COD =∠AOB
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线 是圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线 是圆的切线。
．
O
∟
A
∵OA是半径,OA⊥ l
∴直线l是⊙O的切线. l
切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点. (3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.