AC3P A1P B2P 3P 4P 5P 6P 7P 8P 2014年上海市高考数学（理科）试题及答案本试卷共23道试题;满分150分;考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1、函数212cos (2)y x =-的最小正周期是__________．2、若复数12z i =+， 其中i 是虚数单位, 则1z z z ⎛⎫+∙= ⎪⎝⎭___________．3、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合, 则该抛物线的准线方程为_____．4、设2, (,),(), [,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =, 则a 的取值范围为____________．5、若实数x ， y 满足1xy =, 则222x y +的最小值为___________．6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍, 则其母线与底面角的大小为____（结果用反三角函数值表示）．7、已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=, 则C 与极轴的交点到极点的距离是___．8、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若134lim()n n a a a a →∞=+++, 则q =___________．9、若2132()f x x x-=-, 则满足()0f x <的x 的取值范围是___________．10、为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练, 则选择的3天恰好为连续3天的概率是________________（结果用最简分数表示）．11、已知互异的复数a ， b 满足0ab ≠, 集合22{, }{, }a b a b =, 则a b +=___________．12、设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123, , x x x , 则123x x x ++= ___ 13、某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5, 随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若() 4.2E ξ=, 则小白得5分的概率至少为___________．14、已知曲线:C x =直线:6l x =．若对于点(,0)A m , 存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=, 则m 的取值范围为___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．15、设, a b R ∈, 则“4a b +>”是“2a >且2b >”的 （ ）．(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件16、如图, 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱, (1, 2, , 8)i P i =是上底面上其余的八个点, 则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为 （ ）． (A) 1(B) 2(C) 4(D) 817、已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点, 则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 （ ）．(A) 无论k , 12, P P 如何, 总是无解 (B) 无论k , 12, P P 如何, 总有唯一解 (C) 存在k , 12, P P , 使之恰有两解(D) 存在k , 12, P P , 使之有无穷多解18、设2(), 0,()1, 0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值, 则a 的取值范围为 （ ）． (A) [1,2]- (B) [1,0]-(C) [1,2](D) [0,2]三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123P P P , 如图．求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V ．AβCBαD20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 设常数0a ≥, 函数2()2x x af x a+=-． (1)若4a =, 求函数()y f x =的反函数1()y f x -=;(2)根据a 的不同取值, 讨论函数()y f x =的奇偶性, 并说明理由。

21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图, 某公司要在A , B 两地连线上的定点C 处建造广告牌, 其中D 为顶端, AC 长35米, CB 长80米. 设点A , B 在同一水平面上, 从A 和B 看D 的仰角分别为α和β．(1)设计中CD 是铅垂方向．若要求2αβ≥, 问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ (2)施工完成后, CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12α︒=, 18.45β︒=, 求CD 的长（结果精确到0.01米）．22、 (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．在平面直角坐标系xOy 中, 对于直线:0l ax by c ++=和点111(,)P x y , 222(,)P x y ,即1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<, 则称点12, P P 被直线l 分隔．若曲线C 与直线l 没有公共点, 且曲线C 上存在点12, P P 被直线l 分隔, 则称直线l 为曲线C 的一条分隔线． (1)求证: 点(1,2)A , (1,0)B -被直线10x y +-=分隔;(2)若直线y kx =与曲线2241x y -=的分隔线, 求实数k 的取值范围;(3)动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1, 设点M 的轨迹为曲线E 。

求证: 通过原点的直线中, 有且仅有一条直线是E 的分隔线.23、(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分． 已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤, n *∈, 11a =．(1)若22a =, 3a x =, 49a =, 求x 的取值范围; (2)设{}n a 是公比为q 的等比数列, 12n n S a a a =+++．若1133n n n S S S +≤≤, n *∈,求q 的取值范围; (3)若12, ,, k a a a 成等差数列, 且121000k a a a +++=, 求正整数k 的最大值, 以及k 取最大值时相应数列12, , , k a a a 的公差．2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试卷（理科）答案：1、π21；2、6；3、2-=x ；4、2≤a ；5、22；6、31arccos ；7、31；8、215-； 9、（0,1）；10、151；11、-1；12、37π；13、0.2；14、[]3,2；15、B;16、A;17、B;18、D; 19、解：∵由题得，三棱锥P ABC -是正三棱锥∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC ∆是边长为2的正三角形∴由题得，3ABC BCA CAB π∠=∠=∠=，112233PBA PAB P BC PCB P AC PCA ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 构成的123PP P ∆的三条边上∴1122333PBA P AB P BC P CB P AC PCA π∠=∠=∠=∠=∠=∠=∴1122332PA PB P B PC PC P A ======∴1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体∴如右图所示作图，设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D ∴D 为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC∴233BO BD ==，3PO =112232233V =⋅⋅⋅⋅=20、解：（1）由题得，248()1(,1)(1,)2424x xx f x +==+∈-∞-+∞-- ∴121()2log 1x fx x -+⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞∵2()2x x af x a+=-且0a ≥∴①当0a =时，()1,f x x R =∈，∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-，∴()y f x =为偶函数②当1a =时，21(),021x x f x x +=≠-，2112()2112x xx xf x --++-==--， ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--，∴()y f x =为奇函数 ③当0a ≠且1a ≠时，定义域为{2log ,}x x a x R ≠∈， ∴定义域不关于原定对称，∴()y f x =为非奇非偶函数21、解：（1）由题得，∵2αβ≥，且022πβα<≤<，tan tan 2αβ∴≥即2403516400CDCD CD≥-，解得，CD ≤28.28CD ≈米 由题得，18038.1218.45123.43ADC ∠=--=，∵3580sin123.43sin18.45AD +=，∴43.61AD ≈米∵22235235cos38.12CD AD AD =+-⋅⋅⋅，∴26.93CD ≈米22、证明：（1）由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔。

解：（2）由题得，直线y kx =与曲线2241x y -=无交点即222241(14)10x y k x y kx⎧-=⇒--=⎨=⎩无解 ∴2140k -=或221404(14)0k k ⎧-≠⎨∆=-<⎩，∴11(,][,)22k ∈-∞-+∞ 证明：（理科）（3）由题得，设(,)M x y 1x =， 化简得，点M 的轨迹方程为2221:(2),0E x y x x+-=≠。

①当过原点的直线斜率存在时，设方程为y kx =。

联立方程，2222221(2)1(1)44x y k x kx x x y kx ⎧+-=⎪⇒+-+=⎨⎪=⎩。

令22()(1)44F x k x kx =+-+，21()G x x =，显然()y F x =是开口朝上的二次函数 ∴由二次函数与幂函数的图像可得，()()F x G x =必定有解，不符合题意，舍去 ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =。

显然0x =与曲线2221:(2),0E x y x x+-=≠没有交点，在曲线E 上找两点(1,2),(1,2)-。