第二十八届“希望杯”全国数学邀请赛
初二 第2试试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 实数,,,a b c d 满足0,0a b c d abcd +++=>且，则
a b c d
a b c d
+++的值是( ) A.1 B.1− C.0 D.22−或
2. 在平面直角坐标系xOy 中，线段()1y kx b x a =+≤≤，当b 的值由1−增加到2时，该线
段运动所经过的平面区域的面积是9，则a 的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7
3. Suppose there are three points:()()()6,3,0,8,7,10A B C −−−,connect these three points with line segments,the figure formed is ( )
A.obtuse triangle
B.right triangle
C.acute triangle
D.not a triangle （line segments 线段；obtuse triangle 钝角三角形；right triangle 直角三角形；acute triangle 锐角三角形）
4. 随机抛掷甲、乙两颗质地均匀的正方体骰子（正方体骰子的六个面上的点数分别为
1,2,3,4,5,6），则甲、乙向上一面两个数字的和不是3的倍数的概率是( )
A.
23 B.13 C.49 D.25
36
5. 已知关于x 的方程1ax x −=无解，关于x 的方程23bx x c +=+有无穷多组解，则则关于
t 的二次式2222t at bt ct a b c −−−+++的最小值为( ) A.10 B.12 C.15 D.18
6. 已知非零实数,,a b c 满足()()()111,,345ab a b bc b c ca c a =+=+=+，则
b
a c
=−( ) A.1 B.3 C.4 D.6
7. 已知等腰三角形的两边长分别为，一个菱形的周长与这个等腰三角形的周
长相等，若菱形的一个内角是120°，则等腰三角形和菱形的面积之比是( )
A.4:9
B.9
C.9
D.
8. Rt △ABC 的两条直角边为3,4，斜边为c ，斜边上的高为h ，作三边之长为7,,h c h +的
△DEF ，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( )
A.1：1
B.3：4
C.5：7
D.7：5
9. 如图1，点O 在等边△ABC 内，110,AOB BOC α∠=︒∠=，将△BOC 绕点C 顺时针旋转
60°得到△ADC ，链接OD ，若△AOD 是等腰三角形，则α的不同取值有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
10. 已知自然数n 小于50，且45n +和76n +有大于1的公约数，则所有n 的可能值之和为
( )
A.124
B.114
C.104
D.94
二、填空题（每小题4分，共40分）
11.
若2016a a =−22016a −=____________. 12. 方程
1
5324
x x =−
−的解是____________. 13. Suppose inequality set of x 24
63
315
x x x a x −⎧<−⎪⎪⎨+⎪≥−⎪⎩ has exact 8 integer solutions. Then the value
range of a is____________.
14. 如图2，已知反比例函数()0k
y k x
=
>的图像经过Rt △OAB 直角边AB 的中点C ，且与斜边OB 交于点D .若△OCD
k =____________.
15. 若2222410x y x y xy ++−+=，则()2
x y +=____________.
16. 高速列车长400米，通过隧道（从列车头进入隧道至列车尾离开隧道）需2分钟，
若列
D
图2
图1
车速度降低1000米/分钟，则需要2.5分钟，如果隧道顶部每隔60米安装一个照明灯（两个隧道口必须安装），那么这条隧道共安装照明灯____________个.
17. 已知p ，24p +，216p +都是质数，则p =____________.
18. 设a
a 的值是____________.
19. 若m 个正n 边形的内角度数的总和能够被27整除，则m +n 的最小值为____________.
20. 如图3，△ABC 中，
1
2
DC EA FB DB EC FA ===，且△ABC 的面积等于1，则△GHI 的面积是____________.
三、解答题（每题都要写出推算过程） 21. （本题满分10分）
三个非负有理数a ，b ，c 满足325
231
a b c a b c ++=⎧⎨+−=⎩，求37M a b c =+−的最大值和最小值.
F
E H
I
C
D
G B
A
图3
22.（本题满分15分）
四边形ABCD中，P，Q，R，S分别是线段AB，BC，CD，DA的中点，且PR=SQ，AB=21，
BC=18，CD
=.
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求AD的长. 23.（本题满分15分）
设r是实数，且
707189
407
100100100
r r r
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
++++++=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，求[]
100r的值.（注：[]x表
示不超过x的最大整数）
S
D
Q
R
P
C
B
A
图4。