第十四章幂级数习题课一 疑难解析与注意事项1．如何求缺项幂级数的收敛半径？答：如果一个幂级数有无限多个项的系数为零这样的幂级数称为缺项幂级数，对这种幂级数，不能直接用公式 lim n a nlima n1．常用方法是：a nnn1）进行变量替换．将原幂级数变为一个无缺项的幂级数．计算出后一幂级数的收敛半径，再根据两变量之间的关系得出原幂级数的收敛半径．例如幂级数1n x 2 n ，可令 y x 2 ，化为幂级数1n y n ，而幂级数1n y n的收n 1 2n 1 2 n1 2敛半径为 R2 ，从而当 x 22 时，原幂级数收敛，当 x 22 时，原幂级数发散，由此推出原幂级数的收敛半径为R2 ．2）对缺项幂级数需要按照类似于定理14．2 来求．x 2nx 2 n例 如 求 幂 级 数2n（ 缺 项 幂 级 数 ） 的 收 敛 半 径 ． 对 于 幂 级 数22 n ， 因 为n 02n 0x 2n2 22222n 2x 2 nlimxx1 时，即 x2 ，当x时， 2 n，当收敛，则原来级数绝对收敛；1n 44n 02 2 n4x22 n即 x 2 ，x 2nR2 ．2n 发散，则原来级数发散，所以收敛半径n 022 ．如何求幂级数的收敛域？ 答： 1）首先求幂级数的收敛半径 R ；2）写收敛区间R, R ；3）讨论端点处的收敛性，即讨论a n R n ，a n R n 的收敛性，如果两个都收敛，n 0n 0则幂级数的收敛域为R, R ，如果两个都发散， 则收敛域为R, R ，如果其中一个收敛，R,R （ a nnR, R （a n R n收敛）．一个发散，则收敛域为R 收敛），n 0n 03．幂级数在R, R 内每一点都绝对收敛，那么在端点处敛散性如何？答： 1）幂级数在R, R 端点处可能收敛可能发散．例如幂级数x n的收敛区间是1,1，在端点 1 处，级数1发散，在端点1处级n n数1n收敛，收敛域是1,1 ．n2）如果是收敛，可能是绝对收敛，可能是条件收敛．x n在端点1处是条件收敛，x n收敛域是1,1 ，在端点1与1处都是绝对收n n2敛的．4．幂级数与逐项求导逐项积分后幂级数具有相同的收敛半径、收敛区间，但收敛域相同吗？答：不一定，例如x n收敛域为1,1 ，但逐项积分和幂级数为x n 1收敛域为n 11,1 ．设幂级数n 0a n x n，n 1，x n 1收敛域分别是D , D1 , D2，则有 D1 D D2n 1nanxn 0an n 1如果一个幂级数经逐项求导或逐项求积后其收敛性发生了变化，则变化的只能是收敛区间两个端点处的收敛性．一般来说，逐项求导后，系数由a n变为 na n，不会使收敛区间端点处的收敛性变好；而逐项求积后，系数由a n，不会使收敛区间端点处的收敛性a n变为n1变坏．5．如何求幂级数的和函数？答：首先求出幂级数的收敛半径与收敛域，然后可通过以下几种方法求幂级数的和函数：（1）变量替换法——通过变量替换，化为一较简单的幂级数．（2）拆项法——将幂级数分拆成两个（或几个）简单幂级数的和．（3）逐项求导法——通过逐项求导得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是不难求得的；然后再通过牛顿莱布尼兹公式，得到原幂级数的和函数．（4）逐项积分法——通过逐项求积得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是可以求得的；然后再通过求导数，得到原幂级数的和函数．一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化，系数含有n! ，向e x的幂级数展开形式转化，系数含有 2n !, 2n 1 ! 向sin x,cos x展开形式转化．注意：上述运算过程在幂级数的收敛区间内总是可行的（而在幂级数的收敛域上却不一定可行）．因此，我们一般只限定在幂级数的收敛区间内进行上述运算，由此得到在收敛区间上的和函数，而求幂级数在其收敛域上的和，还需要讨论在端点的函数值，利用函数在端点的左（右）连续性来求．还需指出，这里所介绍的方法，仅仅是可供选择的几种途经．对具体问题，常常要综合利用上述方法，或寻求其他方法才能得到问题的解．6．如何利用幂级数求数项级数的和？答：选择合适的幂级数，使该数项级数为幂级数在某收敛点x0处的值．然后求出幂级数的和函数S x ，则 S x0便是原数项级数的和．7．如何求函数f在x0处的幂级数展开式？答：主要有以下两种方法：（ 1）直接法．计算函数 f 在x0处的各阶导数 f ( n) x0，写出它的泰勒级数，然后证明lim R n x 0 ．n（2）间接法．借助某些基本函数的展开式，通过适当变换，四则运算，逐项求导或者逐项求积等方法，导出所求函数色幂级数展开式．这是常用的方法．注意求展开式时，一定要写展开式成立的范围．三典型例题1．求幂级数的收敛域：1）(n! )2x n；2）( x 2) 2n 1；(2n)!(2n1)!3）3n(2) n n；4）(111n n(x 1)2) x；n5）1 2 n．n 1 2nx解：1）由于lim a n1lim[( n1)!] 2(2n)!lim(n 1)212，因此收n a n n[2( n1)]!(n!)n(2n2)(2n 1)4敛半径 R1 4 ，当x 4 时，这个级数为(n! )2(4)n，通项记为 u n，则有(2n)!u n= (n! )2 4n= (n!)2 22n=2462n1)2n 1 ，(2n)!( 2n)! 1 35( 2n于是 lim u n，所以当 x 4 时级数(n! )2x n发散，从而可知这个级数的收敛域n(2n)!为 ( 4,4) ．2）令t x 2 ，则级数( x2) 2n 1t2 n 1（缺陷幂级数），( 2n 1)!转化为(2 n1)!t 2n 12t 2n(2n 1)!下面先求 1limt的收敛域，因为 lim2n 10 1 ，即对任意(2 n 1)!nt n(2 n1)2n(2 n 1)!t,，t 2n 1t 2n 1的收敛域为,，因此的收敛域为(2 n 都收敛， 因此(2 n1)!1)!, ．3）令 tx 1，则级数3n( 2)n(x 1)n转化为3n( 2)n t n ，下面先求 3n ( 2)n t nnnn的收敛域，由于lim n a n= lim n3n( 2) n3 ，所以收敛半径R1，因而级数3n ( 2)n t n 的nnn3n收敛区间为 (1 , 1) ，3 3当 x1时，级数为3n( 2)n13n3nn=( 1) n11 2 收敛，n n3当 x1时，级数为3n ( 2) n 1 n1 12 n， 12 n 1 2 n 收敛，n=n n3n3收敛（ n 3 3312n21发散，故3n ( 2) n 1n3n ( 2)n因为 lim n 1 ），发散， 因此t n 的收nn 33nn3n敛域为1 , 1，级数3n( 2)n(x 1)n的收敛域为 1 x 11的解集，即4 , 1 ．33n33334）因为nn1n111nn 1 ，又 limnn 11，所以n2nnlimn111 1 ，2nn从而收敛半径 R1 ，又当 x1时，lim (1 11 )( 1) n 0 ，n2 n可见级数(1 11)x n 在 x1时发散，故这个级数的收敛域为( 1,1) ．2n115）法 1: ( 将其看成不缺项的幂级数0 xx 20 x 3x4) 22 20, n2k 11 x 2na n x n设 a1，n, n2kn 1 2nn 12klim n a nlim 2n 112 n2nnR2 ．法 2:令 x2t ，1n tn收敛半径为 2， 故 R2 ．n 12法 3: ( 将其视为以 x 为参数的数项级数或视为一般的函数项级数)limu n1 (x)lim x 2x 2 ，nu n ( x)n2 2当 x21 即 x2 时幂级数收敛， 当 x2 时发散， 故 R2 ．2即 收 敛半 径 为 R2 ， 收 敛 区 间是12n2, 2 ， 当 x2时 ，n 12nx为1 n发散，因此收敛域为n 1 2n2n 112, 2 ．2．应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数 （应同时指出它们的收敛域）：（ 1）求幂级数x n 的和函数；n 1 n（ 2）求幂级数x n 的和函数；1 nn 1（ 3）求幂级数nx n 1 的和函数；n 1（ 4）求幂级数nx n 的和函数；n 1（ 5）求幂级数 xx 3x 5x 2 n 1的和函数；352n 1（ 6）求幂级数x n的和函数 ；1n( n1)nn（ 7）求幂级数x的和函数．n 1n!注：应用：求幂级数的和函数 ．思想：一般是通过逐项求导，逐项积分向等比级数转化．( 假如系数含有n! ，向e x的展开形式转化，假如系数含有2n !, 2n 1 ! 向sin x,cos x展开形式转化)．必须的知识点：1）等比级数n 1，nW---------；W1W1n 0W n 1W2）牛顿莱布尼兹公式xf t dt f x f a；a3）x t dt f x．fa注意点：1）求和函数时必须先要求收敛域；2）求f0 时必须要看级数展开式中第一项；例设 f x a n x n，先看展开式中第一项是a0，因此f0a0．n 0常见错误，有些人把0 直接代通项， f 00 0 ．n 0设 f x a n x n，先看展开式中第一项是a1 x，因此f00 ．n 13）涉及到除以x 时，要讨论 x 为0不为0．幂级数求和函数步骤:求其收敛半径R 和收敛域 D ．在收敛区间内求和函数．( 利用变量替换，逐项求积，逐项求导等方法)，(假如系数含有 n! ，向e x的展开形式转化，假如系数含有2n !, 2n 1 ! 向sin x,cos x展开形式转化 ) ；收敛域若不是开区间，还须讨论在收敛域端点处的和，若左端点收敛，则在左端点右连续，若右端点收敛，则在右端点左连续．写出和函数，注明定义域 D ．解（ 1）1）求收敛域；an 11lim n a n lim n1lim11（或lim lim n11）；n n a n1n n n n n nn收敛半径 R 11；收敛区间1,1 ；1n 1 发散．当 x 1 时，收敛；当 x 1 时，n 1n n 1n 因此收敛域为1,1 ．2)向等比级数转化；n n分析：因为等比级数系数为 1 或 1x 的系数为1，要向等比级数转化必须要，而n 1 n n把 n 抵消，此题可以通过逐项求导就可以把n 抵消．令 f x x n，n 1n在收敛区间1,1 上逐项求导（注意幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积）．f x x n 111，n 1xf x x f t dt f0x 1dt ln 1x ，x1,1 ．00 1t当 x 1 时，（若幂级数a n x n在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这n 0一端点上右（左）连续．）f1lim f xx lim ln 1 x ln 2 ．x11（2）1）求收敛域；收敛域为 1,1 ．2)向等比级数转化；分析：要向等比级数转化，必须要把系数中的n1抵消，但是只有 x n 1的求导才能出现n 1，必须要乘一个x ，除以一个 x ，x n1x n1，而要除以 x ，就必须讨论 x 为0x n 1n1n 1 n 1不为 0．当 x0 时，f00当 x0 时， f x x n 1 x n 1，（只需要求出x n 1n 1 n 1x n 1 n 1就会求出 f x ，下面求n 1 n 1x n 1）n 1 n1令 gx n11,1 x，收敛域n 1 n1在收敛区间1,1上逐项求导．g xx n1 x ，n 1 xg xxt dtg 0xt dt x ln 1 x， x1,1 ．g1t当 x1 时， g 1 lim g xlimx ln 1x1 ln2 ．x1x1x 0于是 fx1 ln 1 xx1,0 U 0,1xln2 1x 1（ 3） 收敛域为 1,1令 fx n 1 nx n 1 ，对 fxn 1 nx n 1 在1,1 上逐项积分；xx ntn 1dt xnx ， f t dtn 11xn 1f xx1 ．1 x1 2x（ 4）解 1：收敛域为1,1f xnx nx nx n-1 =x 2 ．n 1n 11 x解 2 由于 limn a n= lim nn 1 1，且当 x1 时，这个幂级数发散，所以幂级数的nn收敛域为 ( 1,1) ，设 f ( x)nx nxnx n 1 ，令 g( x)nx n 1n 1n 1n 1在 ( 1,1) 上对 g ( x) 逐项积分得， x g t dtxnt n 1 dt =x nx( )1n 11 xn 所以 g (x)( x ) = 1，从而 f (x)x （ x1）．(1 x) 21x(1 x)2x 2 n 3（ 5）讨论级数x 2 n 12n 3 x 2，因为 lim2 n 1，n0 2n1nx2n 1当 x21，x 2 n1收敛，x 2 n 11 ，即 x2n 1 02n 收敛；nn 1当 x21 ， x2 n 1发散， x 2 n 1发散，1 ，即 x2n 1 02n 1n 0 n因此收敛半径 R1，收敛区间为1,1 ，且 x1时，1 与 ( 1)2n11 都是发散级数，所以幂级数的收敛域n 0 2n 1n 02n 1n 0 2n 1为 ( 1,1) ，设 f ( x)x 2n1，2nn1在 ( 1,1) 逐项求导可得 f (x)x 2n1 ，n 0 1 x 2所以 f ( x)x1 dt1 l n 1x （ x1），1t 22 1 x（ 6）由 lim n11 知幂级数的收敛半径为 R1． 又 x1 时， 级数均收敛，nn( n 1)故幂级数的收敛域为[ 1,1] ．令 S( x)x n x [1,1] 则1n( n ,n 1)xS(x)x n1x [ 1,1]n 1 n(n,1)由于x ( 1,1) ， 有( xS( x))( x n 1)x n ,n 1 n(n1) n 1n( xS(x))( x n )x n 111 ,n 1nn 1x从而x ( 1,1) ， 有( xS(x))xxd tln(1 x),(tS(t)) d t1txS( x)x x t) d t x(1 x) ln(1 x),(tS (t )) d tln(1于是1 xln(1), x( 1,1) { 0}.S(x) 1 xx而由 S( x) 的定义， S(0)0 ．此外， 当 x1 时， S( x) 在 x1处右连续，在x 1 处左连续． 故S( 1)lim S(x)lim [1 1xln(1 x)]12ln 2,x1x1xS(1)lim S( x)lim [1 1xln(1 x)]1.x 1x1x综上知0,x 0;S( x)1 1xln(1 x),x[1,1) { 0};x1,x 1.（ 7）易求收敛域为,，x n x n 1 e x 1, x ,n 1 n!n0 n!3．利用幂级数求数项级数的和．1）求级数2nx 2n 的和函数，并求数项级数n 的和； n 1n 1 9n2) 求级数2n 1 的和；n 12n方法 ：先选择适当的幂级数， 使该数项级数是所选幂级数在某收敛点后求出和函数 S( x) ， 则 S( x 0 ) 便为所求之和．．x 0 处的值， 然解（ 1）法 1：级数2nx 2n 的收敛域为1，1 ，2nx 2n x 2nx 2n 1 ，令n 1n 1n 1s( x)2nx 2n 1 ，n 1x x 2 n 12n x 2逐项积分s(x)dx02nx dx x1x2 ，n 1n 1两边求导，得 s1 ( x)(x2)'2x2，x2(1x2)1所以2nx2 n xs1 ( x)(12x2， x1，1，n1x2 ) 2n111219从而2n(2n9．)2 (1 1)2n 1 9 n 2 n 13649通过如下代数运算，使其求和过程非常简便．法 2 令s(x)2x 24x46x 62nx 2n，x2 s(x)2x 44x 66x82nx 2 (n1)，(1 x2 ) s( x) 2(x 2x 4x6x 2 n)2x2，1x2所以 s(x)2 x2， x1，1．(1 x2 ) 2（ 2）作幂级数2n1x2n2，并设和函数为S x，n 12nx2x2x x 2n 12n 212n 11n12则0 2n x dx n 1 2n xx n 1(2)x x2( x0) ，0 s( x)dx n 112两边求导，得S( x)(x)'2x2( x 2 )，x2(2x 2 )22因为 x 1 在收敛区间内，故用x1带入上式得S(1)2n13 ．1 2nn4．求函数的幂级数展开式1 ）将函数f x e x2， a x， sin x2展开成 x 的幂级数；2）将函数 f x ln x 展开成（ x －1）的幂级数；3）将函数 f xsin 2 x 展开成 x 的幂级数；4）f ( x)1在 x 1处的泰勒级数展开式；2x x 25 ）求 ln1x在 x 0 处的泰勒级数展开式；1 x6）求 f (x)ln( x1 x2 ) 在 x 0 处的泰勒级数展开式．注意： 看清要在哪点展开；确保得到的是幂级数；注出定义域．解： 1）将 x 2 视为一个整体，由 e x 的展开式可知e x 21 ( x2 ) n 1 x 2n ， ( x) ．n 0n!n 0 n!类似地axe x ln a1 ( x ln a)n(ln a) nx n ， (a0,a1) (x ) ．n 0 n!n 0n!sin x 2( 1) n( x 2 ) 2n 1( 1)n x 4n 2(x) ．n 0 (2n 1)! n 0 (2n 1)!2）1 x n (1 x 1)1 1x n ，1 x 1 ．1 xn 0xn 0ln 1 x1nx n1， 1x 1 ．n 1n 0ln x ln[1( x 1)]( 1)n ( x 1)n 1( 1x 1 1，即 0 x 2) ．n 0n 13） sin 2x1 cos2x1(1(1)n 22n x 2 n )1 (1)n 1 22n x 2n ,(x) ．2 2n(2 n)!2 n1(2n)!4）x11[ x 1 21 ] 2x 2 3 x 1x 1 1 1 1)( x 1) n , 0x22 ( x n 011111 ( 1)n( x 1)n,1 x 3x 1 2 ( x 1) 2 1x 1 2 n 0221 n( 1)nn f (x)3 [n 0 ( x 1)n 02n 1(x 1)]1 [ (1)n 1]( x 1)n,0 x2.n 0 32n 15 ） ln 1x1 ln(1 x) ln(1 x)1x21( 1)n 1 x n( 1)n 1 ( x)n2 n 1n n 1n1 ( 1)n 1 x nx n x 2 n 1 , x (1,1)．2 n 1 nn 1 nn 12n 11 2x1 x 216）f ( x) ln( x1 x 2) ， f (x)2，x1 x 21x 211L 1()((n 1)1212222n(1 x ) 21x1 x 2n!n 1(1)(3)L ( 2n 1)122 n! 2 x 2nn 11( 1)n (2 n 1)!! x 2 n , x( 1,1) ．n 1n!2 n 而 f (0) 0 ，于是f ( x)1 dt x(n1)!! x 2n 1, x1,1 ．x1) (2n1 t 2n 1n!2 n (2n1)。