江苏省南通市通州区2021届高三第一次诊断测试
数学试卷
2020．9
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．函数()
f x =的定义域为 A ．[1，3] B ．(1，3] C ．(−∞，1) D ．[3，+∞) 2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题正确的是 A ．若a ＞b ，n N *
∈，则n
n a
b > B ．若a ＞b ，
c ＜
d ，则a ﹣c ＞b ﹣d
C ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd
D ．若a ＞b ，则
11a b
< 3．集合M ＝8N N 1y y x y x ⎧⎫
=
∈∈⎨⎬+⎩⎭
，，的非空子集个数是 A ．3 B ．7 C ．15 D ．31
4．已知13
1()2a −=，13
log 2b =，121()3c =，则a ，b ，c 的大小关系是
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜c ＜a 5．函数1
()()cos f x x x x
=−在其定义域上的图像大致是
6．函数1
()ln 2f x x x x
=−−
的单调减区间为 A ．(1，+∞) B ．(0，1)
C ．(12−
，1) D ．(−∞，1
2
−)和(1，+∞)
7．某种物体放在空气中冷却，如果原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，那么t min 后
物体的温度θ(单位：℃)满足：0.2010()e
t
θθθθ−=+−．若将物体放在15℃的空气中从
62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为1t ，2t ，则21t t −的值为（取ln2＝0.7，e=2.718…）
A ．72−
B ．27−
C ．72
D ．2
7
8．已知函数()ln a f x x x =+
，∀m ，n ∈[1，2]，m ≠n 时，都有
(1)(1)
0f m f n m n
+−+>−，则实数a 的取值范围是
A ．(−∞，1)
B ．(−∞，1]
C ．(−∞，2)
D ．(−∞，2]
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列命题正确的是
A .“a ＞1”是“a 2＞1”的充分不必要条件
B ．“M ＞N ”是“lgM ＞lgN ”的必要不充分条件
C ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1＜0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2＋1＜0”
D ．设函数
()f x 的导数为()f x '，则“()f x '＝0”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充
要条件
10．设a ＞b ＞0，则下列不等式一定成立的是
A ．
0a b b a −< B ．20201a b −> C ．2ab a b
<+ D ．b a a b > 11．定义在R 上的奇函数
()f x 满足(1)(1)f x f x −=+，则
A ．函数()f x 的图象关于原点对称
B ．函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称
C ．函数
()f x 是周期函数且对于任意x ∈R ，(2)()f x f x +=成立
D ．当x ∈(0，1]时，()e 1x
f x =−，则函数
()f x 在区间[1＋4k ，3＋4k ](k ∈Z)上单调递
减（其中e 为自然对数的底数） 12．已知函数4
()n
n
f x x x =+
(n 为正整数)，则下列判断正确的是
A ．函数
()f x 始终为奇函数
B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4
C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4
D ．当n ＝1时，函数()y f x =
的图象关于直线y ＝2x 对称
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知函数1
, 01
()2(1), 1
x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪−≥⎩，若()(1)f a f a =+，则实数a ＝ ．
14．若2s ＋3t ＝st (s ＞0，t ＞0)，则s ＋t 的最小值是 ． 15．已知偶函数
()f x (x ≠0)的导函数为()f x '，(e)e f =，当x ＞0时，()2()0xf x f x '−>，
则使21
(1)(1)e
f x x −>
−成立的x 的取值范围是 ．（其中e 为自然对数的底数） 16．校园内因改造施工，工人师傅用三角支架固定墙面（墙面与地面垂直）（如图），现在一
支架斜杆长为16dm ，一端靠在墙上，另一端落在地面上，则该支架斜杆与其在墙面和地面上射影所围成三角形周长的最大值为 dm ；现为调整支架安全性，要求前述直角三角形周长为30dm ，面积为30dm 2，则此时斜杆长度应设计为 dm ．（第一空2分，第二空3分）
第16题
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在①A
B ＝A ，②A
B ≠∅，③B R
⊆
A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．
问题：已知集合A ＝0R 1x a x
x x ⎧−⎫
<∈⎨⎬+⎩⎭
，，B ＝{}2log (1)1R x x x −≤∈，，是否存
在实数a ，使得 ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）
已知函数2
()f x x ax b =++，a ，b ∈R ，关于x 的不等式
()0f x <的解集为(2，3)．
（1）求a ，b 的值； （2）求函数(())2y f f x =
−的所有零点之积．
19．（本小题满分12分）
设函数3
221()(1)(23)3
f x x k x k k x =
+−+−−，x ∈R ，k ∈R ． （1）若函数()f x 为奇函数，求函数()f x 在区间[﹣3，3]上的最值； （2）若函数
()f x 在区间(0，2)内不单调，求实数k 的取值范围．
20．（本小题满分12分）
经验表明，在室温25°C 下，85°C 开水冷至35°C 到40°C （温水）饮用对身体更有益．某研究人员每隔1min 测量一次开水温度（如下表），经过x min 后的温度为y °C ．现给出以下
2个函数模型：①25a y kx =+(k ∈R ，0＜a ＜1，x ≥0)；②25x
y ka =+( k ∈R ，0＜a ＜1，
x ≥0)，其中a 为温度衰减比例，计算公式为：51125
1525
i i i y a y =−−=−∑(i ∈N)．
开水温度变化
（1）请选择一个恰当的函数模型描述x ，y 之间的关系，并求出k ； （2）求a 值(a 保留0.01)；
（3）在25°C 室温下，85°C 开水至少大约放置多长时间（单位：min ，保留整数）才能
冷至到对身体有益温度？（参考数据：16.6140.92≈，
21.5
1
60.92≈） 21．（本小题满分12分）
已知函数
()(2)ln 1f x x x x =−+−．
（1）求曲线()y f x =
在点P(1，(1)f )处的切线方程；
（2）已知0x x =是函数()y f x =
的极值点，若12()()f x f x =，12x x ≠，1x ，2x ∈R ，
求证：1202x x x +>（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．
22．（本小题满分12分）
已知函数1
()e x f x ax −=+，()ln g x bx b x =−，其中e 为自然对数的底数，a ，b ∈R ．
（1）讨论函数
()f x 在(0，+∞)上的单调性；
（2）当a ＝0时，()()f x xg x ≥对x ＞0恒成立，求实数b 的取值范围．。