2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C 题 生猪养殖场的经营管理某养猪场最多能养10000头猪，该养猪场利用自己的种猪进行繁育。

养猪的一般过程是：母猪配种后怀孕约114天产下乳猪，经过哺乳期后乳猪成为小猪。

小猪的一部分将被选为种猪（其中公猪母猪的比例因配种方式而异），长大以后承担养猪场的繁殖任务；有时也会将一部分小猪作为猪苗出售以控制养殖规模；而大部分小猪经阉割后养成肉猪出栏（见图1）。

母猪的生育期一般为3～5年，失去生育能力的公猪和母猪将被无害化处理掉。

种猪和肉猪每天都要消耗饲料，但种猪的饲料成本更高一些。

养殖场根据市场情况通过决定留种数量、配种时间、存栏规模等优化经营策略以提高盈利水平。

请收集相关数据，建立数学模型回答以下问题：图1. 猪的繁殖过程1. 假设生猪养殖成本及生猪价格保持不变，且不出售猪苗，小猪全部转为种猪与肉猪，要达到或超过盈亏平衡点，每头母猪每年平均产仔量要达到多少？2. 生育期母猪每头年产2胎左右，每胎成活9头左右。

求使得该养殖场养殖规模达到饱乳猪小猪肉猪 母猪公猪 猪苗和时，小猪选为种猪的比例和母猪的存栏数，并结合所收集到的数据给出具体的结果。

3.已知从母猪配种到所产的猪仔长成肉猪出栏需要约9个月时间。

假设该养猪场估计9个月后三年内生猪价格变化的预测曲线如图2所示，请根据此价格预测确定该养猪场的最佳经营策略，计算这三年内的平均年利润，并给出在此策略下的母猪及肉猪存栏数曲线。

图2 三年价格预测曲线横坐标说明：以开始预测时为第一年，D2表示第二年，依次类推。

摘要运筹学是一门以人机系统的组织、管理为对象，应用数学和计算机等工具来研究各类优先资源的合理规划使用并提供优化决策方案的科学。

通过对数据的调查、收集与统计分析，以及具体模型的建立。

收集和统计上述拟定之模型所需要的各种基础数据，并最终将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。

这次课程设计的题目是紧跟现在人们生活的节奏，与人们的日常生活息息相关的营养搭配问题。

在下文中，我将对现在人们生活所紧密接触的一些食物的各种营养价值做一统计并列出表格，同时针对如何搭配食用各种食物问题做一详细的介绍。

如在我们每天所吃的食物中，怎样吃可以得到最好的营养，并且花费最少，同时也让我们了解到各种食物所含有的各种营养素的不同，并由此得出均衡搭配的最佳营养方案。

在建立这个数学模型的过程中，我运用的是线性规划的知识，建立好模型之后，再运用运筹学软件即Lindo 软件对其进行求解同时对结果做一分析，最后得出较为合适的最优选择。

从而实现真正在人们的饮食中起到一定的参考作用。

关键词：运筹学，营养搭配，营养价值，线性规划，数学模型，最优选择，Lindo软件目录第一章绪论 (3)1.1 研究的背景 (3)1.2 研究主要内容与目的 (3)1.3 研究的意义 (4)第二章模型的建立 (5)2.1 基础数据的建立 (5)2.2 变量的设定 (5)2.3 目标函数的建立 (5)2.4 约束条件的确立 (6)2.4.1 人体每天所需的营养需求约束 (6)2.4.2每天购买食物的费用约束 (6)2.4.3 每天食物的购买量约束 (6)2.4.4 实际条件约束及目标约束 (7)2.5 模型的建立 (7)第三章模型的求解及解的分析 (8)3.1 模型的求解 (8)3.2 模型的分析与评价 (10)第四章结论与建议 (10)4.1 研究结论 (10)4.2 建议与对策 (10)参考文献 (11)第一章绪论1.1 研究的背景在社会物质比较丰富，科技水平日益提高的今天，随着人们对健康的关注，食物的营养高低越来越受重视，人们也越来越注重一种高品位的生活方式。

健康则是重中之重，不仅要吃健康的食物，而且还注重营养的搭配，而作为我们生活中最重要的一日三餐的搭配，三餐的营养对我们的健康至关重要，所以每天如何搭配食物才可以健康有营养成为很多人研究和探讨的话题，而本课题研究的内容就是关于营养搭配的，每天应该怎样选择食物。

有人将当前人们在饮食方面的追求，概括为“吃杂，吃粗，吃野”几大特点，从营养学角度来看，还是应该讲这些特点相结合，合理搭配，可能会更符合人们对各种营养的需求。

一方面，做到每天吃的少，营养又好，另一方面做到，吃得多，但又不担心高血脂，高血压等等。

有资料称，营养过剩和生活方式疾病已成为威胁人类健康的头号杀手。

各种致命和慢性病如肥胖、高血压、冠心病等，都是自己吃出来的。

膳食结构不合理以及垃圾食品的入侵是导致文明病的放生的最大的原因。

我国劳动人民在与自然界的长期斗争中，留下了很丰富的饮食文化，有待于用现代科学理论和技术去发掘、提高。

比如，南方有些地区讲究把鳝鱼与藕合吃。

原来鳝鱼含有粘蛋白和粘多糖，能促进蛋白质吸收和利用，它又含有比较丰富的完全蛋白质，属酸性食物；藕则含有丰富的天冬酰胺和酪氨酸等特殊氨基酸，以及维生素B12 和维生素C，属碱性食物。

这一酸一碱，价值两者营养的互补，对维持机体的酸碱平衡起着很好的作用。

实际上，我国人民长期以来所形成的烹调习惯，有很多是属于酸性食物和碱性食物搭配的。

总的看来，动物性食物属酸性，而绿叶菜等植物性食物属碱性，这两类食物的搭配对人体的益处是显而易见的，也是荤素搭配的优点所在。

因此，一些西方的科学家极力推广中国的菜肴搭配和烹调方式。

合理营养是健康的基石,不合理的营养是疾病的温床。

虽然有些疾病是由于生活方式等多种因素作用所致,但膳食结构不合理、肥胖、营养不均衡是其中特别重要的因素。

我们一定要改变旧的传统观念,树立科学的营养健康理念,真正做到合理营养和平衡膳食。

1.2 研究的主要内容和目的如图以下是一个食物内富含各种营养的统计表，根据以下表，请计算如果人体在每天要摄入55g蛋白质，3000kcal热量，800mg钙，740ug维生素A和200mg维生素E的情况下，我们应该如何用以下食物来搭食用可以达到营养的最佳搭配。

另外，由于不能营养不均衡，所以每天都要食用一定量的肉和蔬菜，现规定每天用于买肉的花费不得超过5元，用于买菜的花费不得少于10元。

每天食用大米不得超过1kg，白菜不得超过2kg，菠菜不得超过2kg。

表1 食物内富含各种营养的统计表序号食品名称蛋白质g热量kcal钙mg 维生素Aug维生素Emg价格1 猪肉50 1000 400 440 4 142 鸡蛋60 800 200 500 20 63 大米20 900 300 10 5 34 白菜10 200 500 100 19 25 鸡肉200 1600 100 480 7 106 带鱼180 130 700 300 8 57 绿豆240 320 600 220 110 78 黄豆360 360 1700 370 190 49 蘑菇150 200 500 20 6 310 菠菜30 240 1020 4000 17 2营养需求55 3000 800 750 200通过观察以上表，我们可以发现各种食物中所富含的蛋白质、维生素和热量等是截然不同的，所以如果我们只食用肉类就会缺乏维生素E，而如果只食用蔬菜类就会缺少热量，无论哪一点都是不健康的做法，所以合理搭配食物就成为了我们主要需要研究的问题。

1.3 研究的意义对人们来说健康对于人的身体来说是至关重要的，而我们的健康在绝大程度上取决于食物中的营养，营养是从外界摄取的食物经过消化加工以后为我们人体所吸收的物质。

所以合理膳食就显得尤为重要。

蛋白质就是人体不可缺少的物质之一，蛋白质可以促进生长发育，维持毛细血管的正常渗透性并提供热能缺乏时还可能会导致生长发育迟缓等各种问题。

而维生素也是人体的必需物，维生素是维持人体生命活动过程所必需的一类微量的低分子有机化合物。

在能量产生的反应中以及调节及机体物质代谢过程中起着十分重要的作用。

虽然人体只需少量既可以满足生理需要，但绝不能缺少，否则可引起相应的维生素缺乏症，从而危害健康。

营养科学告诉我们，任何一种食物都可以提供某些营养物质，关键在于调配多种具有不同特点的食物组成合理的饮食。

各种事物都有不同的营养特点，必须合理的搭配才能得到全面营养。

第二章 模型的建立2.1.基础数据的确定经过对收集的数据进行整数化和标准化后得出的数据如上表所示2.2.变量的设定设1x 表示每天购入猪肉的千克数；2x 表示每天购入鸡蛋的千克数； 3x 表示每天购入大米的千克数； 4x 表示每天购入白菜的千克数； 5x 表示每天购入鸡肉的千克数； 6x 表示每天购入带鱼的千克数； 7x 表示每天购入绿豆的千克数； 8x 表示每天购入黄豆的千克数； 9x 表示每天购入蘑菇的千克数； 10x 表示每天购入菠菜的千克数； Z 表示最小费用2.3.目标函数的建立求每天花费的最小费用12345678910146321057432MINZ x x x x x x x x x x =+++++++++2.4限制条件的确定2.4.1 人体每天所需的营养需求约束 由人体每天需摄入55g 蛋白质的限制条件可得12345678910506020102001802403601503055x x x x x x x x x x +++++++++≥ 由人体每天需摄入3000kcal 热量的限制条件可得12345678910100080090020016001303203602002403000x x x x x x x x x x +++++++++≥ 由人体每天需摄入800mg 钙的限制条件可得1234567891040020030050010070060017005001020800x x x x x x x x x x +++++++++≥ 由人体每天需摄入750ug 维生素A 的限制条件可得1234567891044050010100480300220370204000750x x x x x x x x x x +++++++++≥ 由人体每天需摄入200mg 维生素E 的限制条件可得1234567891042051978110190617200x x x x x x x x x x +++++++++≥2.4.2每天购买食物的费用约束由买肉类的花费不得超过五元可得12561461055x x x x +++<由买蔬菜的花费不得少于十元可得347891032743210x x x x x x ++++>2.4.3 每天食物的购买量约束由大米不得超过1kg 可得31x <由白菜不得超过2kg 可得42x <由菠菜不得超过2kg 可得102x <2.4.4 实际条件约束及目标约束由现实条件可得：123456789100,0,0,0,0,0,0,0,0,0x x x x x x x x x x >>>>>>>>>> 每天花费的最小费用为12345678910146321057432MINZ x x x x x x x x x x =+++++++++2.5模型的建立有以上的限制条件和题目要求可得此题的数学模型如下12345678910146321057432MINZ x x x x x x x x x x =+++++++++ 12345678910506020102001802403601503055x x x x x x x x x x +++++++++≥12345678910100080090020016001303203602002403000x x x x x x x x x x +++++++++≥1234567891040020030050010070060017005001020800x x x x x x x x x x +++++++++≥1234567891044050010100480300220370204000750x x x x x x x x x x +++++++++≥ 1234567891042051978110190617200x x x x x x x x x x +++++++++≥ 12561461055x x x x +++< 347891032743210x x x x x x ++++> 31x <42x < 102x <123456789100,0,0,0,0,0,0,0,0,0x x x x x x x x x x >>>>>>>>>>第三章模型的求解及解的分析3.1模型的求解利用Lindo软件对其进行求解，结果如下LP OPTIMUM FOUND AT STEP 14OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 20.66667V ARIABLE V ALUE REDUCED COST X1 0.000000 13.777778X2 0.000000 1.777778X3 1.000000 0.000000X4 2.000000 0.000000X5 0.500000 0.000000X6 0.000000 7.444445X7 0.000000 3.444444X8 1.166667 0.000000X9 0.000000 0.777778X10 2.000000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 565.000000 0.0000003) 0.000000 -0.0111114) 4573.333496 0.0000005) 8131.666504 0.0000006) 102.166664 0.0000007) 0.000000 0.7777788) 2.666667 0.0000009) 0.000000 0.00000010) 0.000000 0.00000011) 1.000000 0.00000012) 2.000000 0.00000013) 0.500000 0.00000014) 0.000000 0.00000015) 0.000000 0.00000016) 1.166667 0.00000017) 0.000000 0.00000018) 2.000000 0.00000019) 0.000000 7.00000020) 0.000000 0.22222221) 0.000000 0.666667NO. ITERATIONS= 14灵敏度分析：RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESV ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE X1 14.000000 INFINITY 13.777778X2 6.000000 INFINITY 1.777778X3 3.000000 7.000000 INFINITYX4 2.000000 0.222222 INFINITYX5 10.000000 2.962963 INFINITYX6 5.000000 INFINITY 7.444445X7 7.000000 INFINITY 3.444444X8 4.000000 1.400000 0.400000X9 3.000000 INFINITY 0.777778X10 2.000000 0.666667 INFINITYRIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 55.000000 565.000000 INFINITY3 3000.000000 INFINITY 193.5789344 800.000000 4573.333496 INFINITY5 750.000000 8131.666504 INFINITY6 200.000000 102.166664 INFINITY7 5.000000 1.219981 5.0000008 10.000000 2.666667 INFINITY9 0.000000 0.000000 INFINITY10 0.000000 0.000000 INFINITY11 0.000000 1.000000 INFINITY12 0.000000 2.000000 INFINITY13 0.000000 0.500000 INFINITY14 0.000000 0.000000 INFINITY15 0.000000 0.000000 INFINITY16 0.000000 1.166667 INFINITY17 0.000000 0.000000 INFINITY18 0.000000 2.000000 INFINITY19 1.000000 0.217376 1.00000020 2.000000 1.180359 2.00000021 2.000000 0.931611 2.000000以上结果表示：在满足人体每天所需营养的情况下，每天的最小费用是20.66667元。