（1） (2 - 3x )2
；（2） (2ab + 4a )2
；（3） ( am - 2b ) 2 ．
（1） ( x - 3) 2 - x 2 ；（2） (2a - b - )(2a - b + ) ；（3） ( x + y )2 - ( x - y )2 ．
例 6 利用完全平方公式进行计算：（1）
201 2
；
（2） 99 2
；
（3） (30 ) 2
《完全平方公式》典型例题
例 1 利用完全平方公式计算：
1
2
例 2
计算：
（1） (3a - 1)2 ；（2） (-2 x + 3 y )2 ；（3） (-3x - y )2 ．
例 3 用完全平方公式计算：
（1） (-3 y + 2 3 x ) 2
； （2） (-a - b )2 ； （3） (3a + 4b - 5c )2 ．
例 4
运用乘法公式计算：
（1） ( x - a )( x + a )( x 2 - a 2 ) ； （2） (a + b - c )(a - b - c ) ；
（3） ( x + 1)2 ( x - 1)2 ( x 2 + 1)2 ．
例 5 计算：
1 1 1 1
2 4 2 2
1
3
例 7 已知 a + b = 3, ab = -12 ，求下列各式的值．
（1） a 2 + b 2 ；（2） a 2 - ab + b 2 ；（3） (a - b )2 ．
例 8
若 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c )2 ，求证： a = b = c ．
（3） ( am - 2b )2 = a 2m 2 - 2amb + 4b 2 ．
参考答案
例 1 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进
行计算．
解：（1） (2 - 3x )2 = 22 - 2 ⨯ 2 ⨯ 3x + (3x )2 = 4 - 12x + 9 x 2 ；
（2） (2ab + 4a )2 = (2ab )2 + 2 ⨯ 2ab ⨯ 4a + (4a )2 = 4a 2b 2 + 16a 2b + 16a 2 ；
1 1
2 4
说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该
公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现
(2 - 3x )2 = 4 - 12x + 3x 2 的错误．
例 2 分析：（2）题可看成 [(-2 x ) + 3 y ]2 ，也可看成 (3 y - 2 x )2 ；
（3）题可看
成 [-(3x + y )]2 ，也可以看成 [(-3x ) - y ]2 ，变形后都符合完全平方公式．
解：（1） (3a - 1)2 = (3a )2 - 2 ⋅ 3a ⋅1 + 12
= 9a 2 - 6a + 1
（2）原式 = (-2 x )2 + 2 ⋅ (-2 x ) ⋅ 3 y + (3 y )2
= 4 x 2 - 12xy + 9 y 2
或原式 (3 y - 2 x )2
= (3 y )2 - 2 ⋅ 3 y ⋅ 2 x + (2 x )2
= 9 y 2 - 12xy + 4 x 2
（3）原式 = [-(3x + y )]2
= (3x + y )2
= (3x )2 + 2 ⋅ 3x ⋅ y + y 2
= 9 x 2 + 6 x y + y 2
或原式 = (-3x )2 - 2 ⋅ (-3x ) ⋅ y + y 2
例3分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式x为公式中a，3y为公
解：（1）(-3y+2
=9x2+6x y+y2
说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．
2
3
式中b，利用差的平方计算；第（2）小题应把(-a-b)2化为(a+b)2再利用和的平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中a，如把(3a+4b)作为公式中
的a，5c作为公式中的b，再两次运用完全平方公式计算．
24
x)2=(x-3y)2=x2-4x y+9y2
339
（2）(-a-b)2=(a+b)2=a2+2ab+b2
（3）(3a+4b+5c)2=(3a+4b)2-10c(3a+4b)+25c2
=9a2+30ac-40bc+25c2+16b2+24ab 说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：(a+b)2=a2+b2，(a-b)2=a2-b2．
例4分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完
全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项a-c，和互为相反数的项b，所以先利用平方差公式计算[(a-c)+b]与[(a-c)-b]的积，再利用完全平方公式计算(a-c)2；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为[(x+10(x-1)(x2+1)]2，再利用乘法公式计算．
解：（1）原式=(x2-a2)(x2-a2)=(x2-a2)2=x4-2a2x2+a4
（2）原式=[(a-c)+b][(a-c)-b]=(a-c)2-b2
=a2-2ac+c2-b2
（3）原式=[(x+1)(x-1)(x2+1)]2=[(x2-1)(x2+1)]2
=(x4-1)2=x8-2x4+1．
说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，
（2） (2a - b - )(2a - b + ) = [(2a - b ) - ][(2a - b ) + ]
（3） (30 ) 2 ＝ (30 + )2 = 302 + 2 ⨯ 30 ⨯ + ( )2
解：
（1） ( x - 3)2 - x 2 = x 2 - 3x + 9 - x 2
= 9 - 3x ； = (2a - b ) 2 - = 4a 2 - 4ab + b 2 - ；
以达到简化运算的目的．
例 5 分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同
类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，
我们继续应用公式．
1 1 1 1
2 4 4 4
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
4 4
（3） ( x + y ) 2 - ( x - y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 - ( x 2 - 2 x y + y 2 )
= x 2 + 2 x y + y 2 - x 2 + 2 x y - y 2 = 4 x y ．
说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个
整体来研究．
例 6 分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成
两个数的和或差．
解：（1） 2012 = (200 + 1)2 = 2002 + 2 ⨯ 200 + 1 = 40401 ；
（2） 992 = (100 - 1)2 = 1002 - 2 ⨯100 + 1 = 9801 ．
1 1 1 1
3 3 3 3
1 1
= 900 + 20 + = 9 2 0.
9 2
说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数
必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的．
例 7
分 析 ：（ 1 ） 由 完 全 平 方 公 式 (a + b )2 = a 2 = 2ab + b 2 ， 可 知
a 2 +
b 2 = (a + b )2 - 2ab ，可求得 a 2 + b 2 = 33 ；
（2） a 2 - ab + b 2 = a 2 + b 2 - ab = 33 - (-12) = 45 ；
（3） (a - b )2 = a 2 - 2ab + b 2 = 33 - 2 ⋅ (-12) = 57 ．
解：（1） a 2 + b 2 = (a + b )2 - 2ab = 32 - 2 ⨯ (-12) = 9 + 24 = 33
（2） a 2 - ab + b 2 = (a 2 + b 2 ) - ab = 33 - (-12) = 33 + 12 = 45
（3）(a-b)2=a2-2ab+b2=(a2+b2)-2ab
=33-2⨯(-12)=33+24=57
说明：该题是(a+b)2=a2+2ab+b2是灵活运用，变形为a2+b2=(a+b)2-2ab，再进行代换．
例8分析：由已知条件展开，若能得出(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,就可得到a-b=0,b-c=0,c-a=0,进而a=b,b=cc=a⇒a=b=c,同时此题还用到公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
证明：由3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,得
3a2+3b2+3c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.
则(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)=0
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.
∵(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(c-a)2≥0.
∴a-b=0,b-c=0,c-a=0.
即a=b,b=c,c=a,得a=b=c．。