一、任意方向的线应变
❖ 平面应力状态面内的任意方向。
y
τy
❖ 正应力方向的规定？
❖拉 + 压
-
o
γxy
τx ❖ 切应力方向的规定？
x ❖ 使单元体顺时针为正
❖ 对于切应变，规定使∠xoy变小为正，图示切应变为 正or负？
❖ 正的切应力对应着负的切应变，切应力和切应变总 是异号
❖ 由平面应力状态斜截面上的应力公式
例5-6
用电阻应变仪测得图示受扭的圆轴表面上任意两个成
45°角方向的应变值: '=3.25×10-4， ''=-5.63×10-4。已 知E = 200GPa, 0.3, d 10cm, 求力矩M。
M
''
M
45 '
此问题是一个纯剪切的问题，先考 M 虑纯剪切的一般情况。 画出纯剪切的应力圆:
2
)2
应变圆
(
-
x
y
2
)2
( b
2
)2

(x
-y
2
)2
( xy
2
)2
第七节 复杂应力状态下的应变比能
物体在外力作用下发生弹性变形， 外力所作的功将使物体 积蓄变形能，当外力卸除后，此变形能释放并对外做功。
这种以弹性变形形式积蓄的能量被称为 弹性变形能。
若外力作用方式是缓慢加载，变形在弹性范围内，则可忽 略动能和其他能量损耗，而以外力作功的大小来计算弹性变形 能的大小。
应变（strain）的概念 线应变与切应变 一般情况下，受力构件内各个点都受应力作用，各个点处均
要发生变形。构件各点或各部分的变形累积成构件整体变形。
若要研究构件内某一点 a 的变形，可围绕该点取一单元体 如下图所示。
在应力作用下，单元体棱边的长度可能发生改变。例如， 棱边 ae 由 Dx 伸长到 Dx+Du 。
s3
s2
xy 0 yz 0 zx 0
1、2、3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。
广义胡克定律的应用——求平面应力状态下任意方向 的正应变：
sy
90
sx

t xy


1 E
s
- s 90
求出 s , s 90 ,就可求得 方向的正应变
40
主应力之一。在s-t坐标系中可得到其点C。
t
30
G3
120 x
30
tmax=80MPa
z
考虑x-y平面
D'
D(120,-30)
D'(40,30)
C
B
C1
A
s
画出应力圆
可得到三个主应 力和最大切应力
D
s2=30MPa
s3=-30MPa
s1=130MPa
平面应力状态作为三向应力状态的特例
t
tmax

1 E
s x - s y cos2 s y - s x sin2 -（1 ）t xsin2
b

-
（2 1 E
） s x

-sy
2
sin2
t xcos2

（5）
再将（4）代入（5）中，并经三角函数关系变换整理得


x
y
2

x
-y
2
cos2

xy
s s xcos2 s ysin2 -t xsin2 s b s xsin2 s ycos2 t xsin2
t

sx
-sy
2
sin2
t xcos2
（1）
❖ 由平面应力状态的广义胡克定律并注意到
❖
切应力和切应变异号有：


1 E
(s

- sb )
b
-t

1 2E
s12

s
2 2

s
2 3
- 2s1s 2
s3s 2
s1s3
材料力学 Mechanics of Materials
变形分为两类：体积变形与形状变形。单元体如果原是立方 体，变形后仍为立方体，或单元体原是球体，变形后仍为球体。 这种变形只是体积发生了变化，而形状没有变化，称为纯体积变 形。如果原是立方体的单元体，变形后为体积相等的长方体，或 原是球形单元体，变形后为体积相等的椭球体。这种变形只是形 状发生了变化，而体积没有变化，称为纯形状变形 。
xm

Du Dx
点 a在 x 方向 的平均线应变
lim x

Dx0
Du Dx
点 a在 x 方向的线 应变（或正应变）
应变（strain）概念 线应变与切应变
点 a 在 x 方向的线应变或称为正应变。它描述了该点处在 x 这个线度方向变形的程度。
同理， y 、 z 分别表示点 a 沿 y 、z 方向的线应变。
主应变方向 主应变
tan 2

xy x -y
max min

x
y
2


(
x
-

y
)2


(
xy
)2
2
2
最大切应变及其方向
最大切应变
max
( x
-
y
)2


(
xy
)2
2
2
2
即
max
( x
-
y )2

2 xy
最大切应变方向
tan 2
第六节 广义胡克定律
2、体积应变与体积模量
s2
dz
单位体积的改变或体积应变为:

V1 -V V
1 2
3
dy
s1


1- 2
E
(s1
s2
s3)

sm
K
s3
dx
体积应力：
sm
(s1 s 2 s 3)
3
--平均应力。
体积模量
K

E
（3 1- 2）
❖ 第六节 平面应变状态的分析
第四节 三向应力状态下的最大应力
1、三向应力状态的应力圆
如图所示三向应力状态的主单元体 考察图示的三棱柱体，斜面与前后 面向垂直。
与s3平行的斜截面上的应力可在s1、s2
应力圆的圆周上找到对应的点。
与s2平行的斜截面上的应力可在s1、s3
应力圆的圆周上找到对应的点。
与s1平行的斜截面上的应力可在s2、s3
-x -y xy
应变圆
斜向方向应变公式中


x
y
2

x
-y
2
cos2

xy
2
s in 2
- b x - y sin2 - xy cos2
2
2
2
消去参数 ，得应变圆方程
(
-
x
y
2
)2
( b
2
)2

(x
-y
2
)2
( xy
s E -86.6MPa 1
M t maxWp
在应力圆上标出:
100 π 100 3 10 -3 19.6N m 16
2、体积应变与体积模量
当单元体处在复杂应力状态时，其体积也将发生变化，
如图所示:
s2
变形前的体积: V0 dxdydz
dz
变形后边长变化为:
取一个任意角度的单元体: sx2
由图可得: s x1 -s x2
sx1
根据广义胡克定律:


x1

1 E
s
x1
-
(s
x2

0)
x

x1

1 E
s
x1
-
(-s
x1)
1
E
s x1
''
M
45 '
t A 2 t
-t
0
t s
p
-t
B
sx1 sx2
M x1源自1 Es x1-
z
sy
y
sy
1、广义胡克定律的简单推导
对于各向同性材料:
tyx
tyz tzy sz
小变形及线弹性范围内，线应变 只和正应力有关，与切应力无关；而 切应变只和切应力有关，与正应力无
sx
txy
tzx
txz tzx
tyz
tzy tyx
sz
txz txy
sx
x
关。
z
sy
利用叠加法可求得各方向上的线 应变。
dx(1 1) dy(1 2 ) dz(1 3)
dy
s1
体积变化为:
V1 dxdydz(1 1)(1 2 )(1 3)
s3
dx
V0 (1 1 2 3 12 23 13 123)
略去高阶微量: V1 V0 (1 1 2 3)

1 E
sx
-
sy
sz

y

1 E
sy
- s x

s
z



tyx
tyz tzy sz
sx
txy
tzx
txz tzx
tyz
tzy tyx
txz txy
sx
x
sz
z