复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ） A （ac+bd, a ） B (ac-bd, b) C （ac-bd, ac+bd ） D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）} A |z|<R B 0<|z|<R C R<|z|<+∞ D |z|>R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D4、若A= ，则 |A|=（C ）A 3B 0C 1D 2二、填空题1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv, 则v=（ 2xy ）2、复平面上满足Rez=4的点集为（ {z=x+iy|x=4} ）3、（ 设E 为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。

4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，则{z n }以z o 为极限的充2zz +2z z -i z z 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--++∞→n lim+∞→n lim分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。

三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。

解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。

解：3、写出复数 的代数式。

解：4、求根式 的值。

解： ππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i ii ii i i i i ii i i212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-iii i -+-11327-)3sin 3(cos 3327)27arg(327303ππππi eW z i +==-=∴=-=⋅的三次根的值为四、证明题1、证明若 ，则a 2+b 2=1。

证明：而bi a yix yix +=+-bia yi x yi x +=+- ||||yix yix bi a +-=+∴22||b a bi a +=+11122222222=+∴=+∴=++=+-∴b a b a yx y x yi x yi x3、证明：证明：)Re(2212221221z z z z z z +++=+∴=+=--++-++=-++-+=+∴-=+=-=+=+++=+++=++=++=+)Re(2)(2)()())(())(())(())((211221*********22112212************21z z by ax i ay bx by ax i ay bx by ax bi a yi x yi x bi a z z z z yix z yi x z bi a z bi a z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 则则设)Re(2212221221z z z z z z ⋅++=+第2章 解析函数一、单项选择题1．若f(z)= x 2-y 2+2xyi,则 2、若f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 则柯西—黎曼条件为（D ）A BC D3、若f(z)=z+1, 则f(z)在复平面上（C ） A 仅在点z=0解析 B 无处解析C 处处解析D 在z=0不解析且在z ≠0解析 4、若f （z ）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)+g(z)在复平面上（C ）A 解析B 可导C 连续D 不连续 二、填空题1、若f(z)在点a 不解析，则称a 为f(z)的奇点。

2、若f(z)在点z=1的邻域可导，则f(z)在点z=1解析。

3、若f(z)=z 2+2z+1，则4、若 ，则 不存在。

)()(D z f ='yv x v y u x u ∂∂=∂∂∂∂=∂∂且xv x u x v y u ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂且yv xv yu xu ∂∂=∂∂∂∂=∂∂且xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂且22)(+='z z f )2)(1(7)(--=z z z f =')1(f三、计算题：1、设f(z)=zRe(z), 求 解： =2、设f(z)=e x cosy+ie x siny,求解：f(z)=e x cosy+ie x siny=e z ,z=x+iy u=e x cosy v=e x siny f(z)=u+iv∴f(z)在复平面解析，且 =e x cosy+ie x siny3、设f(z)=u+iv 在区域G 内为解析函数，且满足u=x 3-3xy 2， f(i)=0,试求f(z)。

解：依C-R 条件有Vy=ux=3x 2-3y 2则V （x1y ）=3x 2y-y 3+c(c 为常数)故f(z)=x 3-3xy 2+i(3x 2y-y 3+c)=x 3-3xy 2+i(cx 2y-y 3)+ic =z 3+ic ，为使f(i)=0, 当x=0,y=1时， f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0∆Z-∆Z +→∆)0()0(limf f z ∆Z-∆Z +→∆)0()0(lim 0f f z ∆Z ∆Z ∆Z →∆)Re(lim 0z 0)Re(lim 0=∆Z =→∆z )(z f 'y e y vx u x cos =∂∂=∂∂ y e yv y u x sin =∂∂-=∂∂iey e z f x +='cos )()(z f 'cx Q xy uy x Q xy v x Q y y x dy y x v x =∴=-='+=∴+-=-=∴⎰)(6)(6)(3)33(3222∴c=1 ∴f(z)=Z 3+i4、设f(z)=u+iv 在区域G 内为解析函数，且满足u=2(x-1)y, f(2)=-i,试求f(z)。

解：依C-R 条件有Vy=ux=2y∴V= =y 2+ϕ(x) ∴Vx= ∴ϕ(x)= V=y 2-x 2+2x+c(c 为常数) ∴f(z)=2(x-1)y+i(y 2-x 2+2x+c)为使f(z)=-i,当x=2 y=0时,f(2)=ci=-i ∴c=-1 ∴f(z)=2(x-1)y+i(y 2-x 2+2x-1) =-(z-1)2i 四、证明题1、试在复平面讨论f(z)=iz 的解析性。

解：令f(z)=u+iv z=x+iy 则iz=i(x+iy)=-y+ix ∴u=-y v=x 于是ux=0 uy=-1 Vx=1 Vy=0∵ux 、uy 、vx 在复平面内处处连接 又Ux=Vy Uy=-Vx 。

⎰ydy 2zx uy x +-=-='2)(ϕ⎰++-=+-c x x dx x 2)22(2∴f(z)=iz在复平面解析。

2、试证：若函数f(z)在区域G内为解析函数，且满足条件f'（z）=0，z∈G，则f(z)在G内为常数。

证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G∵f(z)在G内解析，Ux=Vy, Uy=-Vx又f'（z）=0, f'（z）=Ux+iVxUx=0 Vx=0Uy=-Vx=0 Ux=Vy=0U为实常数C1，V也为实常数C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在G内为常数。

复变函数课程作业参考解答2第3章初等函数一、单项选择题1. z = ( A ) 是根式函数n zw=的支点.(A) 0 (B) 1(C) π(D) i2. z = ( D ) 是函数zw ln=的支点.(A) i (B) 2i(C) -1 (D) 03. e i =( B ).(A) e -1+e (B) cos1+isin1 (C) sin1 (D) cos1 4. sin1= ( A )(A) i e e i i 2-- (B) i e e ii 2-+ (C) 21--e e (D) 21-+e e二、填空题1. cosi = 21ee +-2.i e +1= e(cos1+isin1)3. lni =i 2π4. ln(1+i) = )24(221ππk i Ln ++k 为整数.三、计算题 1. 设z=x+iy ，计算2ze .解:xyi y x iy x z 2)(2222+-=+= ∴xy i y e e x z 2222⋅+-=)]]2sin()2)[cos(ex p[(22xy i xy y x +- ∴ 2ze =22y x e -)exp(2z = 22y xe-2. 设z = x+iy, 计算)Re(1ze . 解: ∵ z = x+iy∴ 222211y x y i y x x iy x z +-+=+=∴ )sin (cos 1222222y x yi y x y y x x zee +-++=∴2221cos)Re(22y x y e e y x x +=-3. 求方程i z π=ln 2的解. 解: ∵ lnz =2/πi∴ 由对数函数的定义有: Z=ii e i =+=2sin2cos2/πππ∴ 所给方程的解为z = i4. 求方程i e z31+=的解.解: ∵)3sin 3(cos 231ππi i e z +=+= =)3sin 3(cos 2ππi e Ln + 根据指数函数的定义有: z=n2+i 3/π 或z=n(1+i 3)四、证明题1. 试证: z z z cos sin 22sin ⋅=.证明：根据正弦函数及余弦正数定义有：i e e z iziz 22sin 22--=222cos sin 2iziz iz e e i iz e z z -+⋅-=i e e iz iz 222⋅-⋅-=∴ sin2z=2sinz ·cosz2. 证明:xn x xn nx x x 2sin 2sin 21sinsin 2sin sin ⋅+=+++ .证明: 令A=nx x x cos 2cos cos 1++++ B=sinx+sin2x+…sinnx∴ inx x i ix e e e Bi A ++++=+ 2122)1(121111x i iz ixxn i ex n e e e-+-=--=+x n i x i x n ie x x n ex i xen i 22212sin 21sin 2sin 221sin 2⋅+=+=⋅+=)2sin 2(cos 2sin 21sinx n i x n x xn ++∴xn x xn x x x 2sin 2sin 21sinsin 2sin sin +=+++第4章 解析函数的积分理论一、单项选择题1.=⎰cdz 2( D ) , c 为起点在0 , 终点在1+i 的直线段.(A) 0 (B) 1 (C) 2i (D) 2(1+i) 2.⎰==1)(sin z A zdz .(A) 0 (B) 10i π(C) i (D) 123+i3.⎰==5)(5z B dz z(A) i (B) 10i π (C) 10i (D) 04. ⎰=-32)23(sin 2z z z =( A ).(A)23cos4⋅i π (B) i π4(C) i π2 (D) i π2- 二、填空题1. 若)(z f 与)(x g 沿曲线c 可积，则⎰⎰⎰+=+cccdzz g dz z f dz z g z f )()()]()([.2. 设L 为曲线c 的长度, 若f(z)沿c 可积, 且在c 上满足M z f ≤)(,则MLdz z f c≤⎰)(.3.⎰=177izdz4.ee zdz i i-=⎰-01cos 2三、计算题 1.计算积分⎰czdzIm ,其中c 为自0到2+i 的直线段.解: c 的方程为:)10()()(≤≤+==t t i z t z z 其次由t i t z z yi x )2()(+===+得 t z =Im dt i dt t z dz )2()(+='= ∴⎰⎰+=ctdti zdz 1)2(Im =⎰+1)2(tdti=i211+2. 计算积分⎰=+-+1212102sin z z dz z z ze .解:⎰=+-+1212102sin z z dz z z ze =⎰=--+1)3)(2(2sin z z dz z z ze作区域D:1≤z 积分途径在D 内被积函数的奇点Z=2与Z=3均不在D 内,所以被积函数在D 内解析. 由定理4.2得:⎰=+-+1212102sin z z dz z z ze =03. 计算积分⎰=--cz c dz z z 41:,)1)(1(132. 解: ⎰--c dz z z )1)(1(132∵ 奇点z=1和z=-1不在区域D,1<z 内 013=-z 的三个根2,1,0,32==k e z ik k π也不在D 内∴ 由定理4.2 得⎰--c dz z z )1)(1(132=04. 计算积分⎰c zdz z e 5, 5:=z c .解: 由定理4.6得0)4(5])[(!42==⎰z z c z e i dz z e π=12iπ四、证明题1. 计算积分⎰=+121z dz z ，并由此证明0cos 45cos 210=++⎰θθθd n.证明：∵21)(+=z z f 在圆域|z|≤1内解析∴⎰=+121z dz z =⎰==+1021z dz z另一方面,在圆|z|=)2)(sin (cos 1≤≤+⋅θθθz i ∴⎰=+121z dz z =⎰-+++ππθθϑθ)sin (cos 2sin cos 1i d (实部和虚部为0)=⎰⎰---+++-++-=+++-ππππθθθθθθθθθθϑθθθd i i i i c d i ]sin )cos 2][(sin )cos 2[(]sin )cos 2[(cos sin 2sin cos cos sin=θθθθθθππd i ⎰-+++++-sin cos cos 44)1cos 2(sin 2=dz i ⎰-+++-ππθθθcos 45)cos 21(sin 2=θθθθθθππππd i d ⎰⎰--++++-cos 45cos 21cos 45sin 2∵⎰=+121z dz z =0 ∴0cos 45sin 2=+-⎰-θθθππd∴ 0cos 45cos 21=++⎰-θθθππd 而θθcos 45cos 21++为偶函数 ∴0=θθθππd ⎰-++cos 45cos 21=θθθπd ⎰++0cos 45cos 212∴cos 45cos 210=++⎰θθθπd复变函数课程作业参考解答3第5章 解析函数的幂级数表示一、单项选择题 1. 幂级数∑∞=0n nz的收敛半径等于( B )( A ) 0 (B) 1 ( C ) 2 (D) 32. 点z=-1是f(z)=51052++z z r ( B )级零点.( A ) 1 (B)2 (C)3 (D)5 3. 级数∑∞=0n nz的收敛圆为( D ).(A) | z-1|< 3 (B) |z|<3 (C) |z-1| >1 (D) |z| <14. 设f(z)在点a 解析, 点b 是f(z)的奇点中离点a 最近的奇点,于是,使f(z)=∑∞=-0)(n nna z c成立的收敛圆的半径等于( C ).(A) a+b+1 (B) b-a+1 (C) |a-b| (D) |a+b| 二、填空题1.级数1+z+⋯⋯++⋯⋯+!!22n z z n的收敛圆R=+∞．即整个复平面．2.若f(z)= sinz k ⋅(k 为常数),则z=m π(m=0, 2,1±±……)为f(z)的 1 级零点.3.幂有数∑∞=0!n nzn 的收敛半径等于 0 .4.z=0是f(z)=e z -1的 1 级零点. 三、计算题1.将函数f(z)=()()[]121-+-z z 在点z=0展开幂级数.解: f(z)=()()21161312131113121111110z z z z z z z z n n +--=+--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-∑+∞==-∑∑∑∞+=∞+=∞+=⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-000261312116131n nn n n n z z z z 1<z2.将函数f(z)=(1-z)-2在点z=0展开成幂级数. 解：()()[]'-=-=--1211f(z)z z 而(1-z)-1=∑+∞==-011n n z z()[]∑∑+∞=-+∞=--='='-=-∴0112))((1)1(n n n nnzz z z=∑+∞=+0)1(n nzn 1<z3．将函数f(z)=(z+2)-1在点z=1展开成幂级数.解：f(z)=(z+2)-1=[]3)1(11)1(3113121---⋅=---=-+=+z z z z=∑∑∞+=∞+=-⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅003)1()1(313)1(31n n nn n nz z 31<-z4．将函数f(z)=e z 在点z=1展开成幂级数. 解： f(z)=e z f (n)=ez ()e fn =∴1)(nn n z z n f e )1(!f(z)0)1()(-⋅==∴∑∞+=＝∑+∞=-0)1(!n n z n e四、证明题1．证明:1-e i2z =-2isinze iz 证：e iz =cosz+isinz∴e -iz =cos-isinz∴e iz -e -iz =2isinz ∴-2isinz=-( e iz -e -iz ) = e iz -e -iz∴-2isinz e iz=( e -iz - e iz ) e iz=e 0- e 2iz =1- e 2iz2．试用解析函数的唯一性定理证明等式: cos2z= cos 2z-sin 2z证①f 1(z)=cos2z,则f 1(z)复平面G 解析设f 2(z)＝cosz －sin 2ｚ，则f 2(z)也在整个复平面G 解析 ②取E=K 为实数轴,则E 在G 内有聚点.③当E 为实数时,知cos2z=cos 2z-sin 2z,即f 1(z)= f 2(z)∴由解析函数唯一性定理,由以上三条知f 1(z)= f 2(z) G Z ∈成立 即cos2z= cos 2z-sin 2z G Z ∈第6章 解析函数的罗朗级数表示一、单项选择题1．函数f(z)=2312+-z z 在点z=2的去心邻域( D ) 内可展成罗朗级数.(A) 0<3<z (B) 0<51<-z (C) 1<31<-z (D) 0<12<-Z2．设点α为f(z)的孤立奇点，若α→z z Iimf )(=c ()∞≠，则点α为f(z)的( C ).(A) 本性奇点 (B) 极点 (C) 可去奇点 (D) 解析点3．若点α为函数f(z)的孤立奇点，则点α为f(z)的极点的充分必要条件是( D ). (A) ∞→z Iimff(z)=c(∞≠) (B)∞→z Iimf(z)=∞ (C)α→z Iimf(z)=c(∞≠) (D)α→z Iimf(z)=∞4．若点α为函数f(z)的孤立奇点，则点α为f(z)的本性奇点的充要条件是（ B ）. (A) ∞→z Iimf(z)= c(∞≠) (B) α→z Iimf(z)不存在 (C)α→z Iimf(z)=c(∞≠) (D)α→z Iimf(Z)=∞二、填空题 1．设∑+∞-∞=-n nnz c)(α为函数f(z)在点α的罗朗级数,称nn na z c)(1-∑--∞=为该级数的主要部分.2.设点α为函数f(z)的奇点,若f(z)在点α的某个 某个去心邻域εα<-z 内解析,则称点α为f(z)的孤立奇点.3.若f(z)=z e +14，则点z=0为f(z)的 0 级极点. 不是极点,若f(z)= z e +14则z=0为f(z)的一个极点.4.若f(z)=(sin 21)-1,则点z ＝0为f(z)非孤立 奇点.三、计算题1．将函数f(z)=(z-2)-1在点z=0的去心邻域展成罗朗级数.解: f(z)=21-z =- z -21=-nnn n nn z z z 2)1(21)2(212112100∑∑∞=∞=--=--=--2．将函数f(z)＝12-z z 在点ｚ＝１的去心邻域展成罗朗级数. 解: f(z)=111211111)1)(1(111122-+-+=-++=-++-=-+-=-z z z z z z z z z z z 3．试求函数f(z)=z -3·sinz 3的有限奇点,并判定奇点的类别. 解: 3sin z 解析,无奇点,∴f(z)的有限奇点为z=0. 并且为3阶极点.4．试求函数f(z)=[z ()21z -]-1的有限奇点，并判定奇点的类别.解: f(z)的m 阶奇点即)(1z f 的阶零点,而)1)(1()1()(12z z z z z z f +-=-=零点为z=0，z=1，z=-1，且均为1阶零点。