解:(1)根据空腔导体的静电性质和球对称性,两空腔内表面的 电荷面密度分别是
1


Q1
4R12
和 2


Q2
4R22
又根据电荷守恒定律,导体外表面的的电量Q=Q1+Q2,由于 球对称性,导体外表面的电荷面密度是


Q1 Q2
的电容分别为
C1

0
S d
,
C2

0
S 2d
板极上带电± Q时所储的电能为
W1

1 2
Q2
0C1

1 2
Q2d
0S
，W2

1 2
Q2 2d
0S
故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量 为
W＝W2－W1

1 2
Q2d
0S
（2）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板时 所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以
（c）圆柱电容器
C

2 0L
ln( R2 )
R1
（F）电容器的联接 （G）电容器的能量
（1）串联
1 1
C i Ci
（2）并联
C Ci
W

Q2

1 CU 2

i
1 QU
2C 2
2
(H) 点电荷系的静电能
1n W 2 i1 qiVi
4.例题
例1.如图所示,一个半径为R的中性导体球,内部有两个球 形空腔,半径分别为R1和R2,在空腔中心分别放置点电 荷Q1和Q2,试求:
F A W Q2
d d 20S
第二章小结
本章知识要点：
1.基本概念
（1）静电平衡 （2）静电屏蔽 （3）电容 （4）静电能
2.基本理论
(1)库仑定律
(2)叠加原理
(3)高斯定理
(4)环路定理
3.基本知识
(5)电场线和等势面的性质
(1)金属导体电结构的特点 (A)导体内部场强处处为零
1.2 三个点电荷
依次把q1 、q2、 q3从相距无限远移至所在的位置。
把q1 移至A点，外力做功 A1 0
再把q2 移至B点，外力做功
最后把q3 移至C点，外力做功
C
A2 A3

q2 q3 (
q1
4
q1
0
r12
4 0 r13
q2
4 0 r23
)
q3 r13
r23 A r12
所以
A

q2V1

1
4 0
q1q2 r
Ar B
q1
q1
q2
q2
同理，先把q2从无限远移B点，再把q1移到A点，外力做功为
A q1V2
1 q1q2
40 r
(V2是q2在A点产生的电势)
可见：两种不同的迁移过程，外力做功相等。
根据功能原理，外力做功等于系统相互作用能增量，因此
q1、q2处于相距为r的状态时静电能为W
S
3.电容器的静电能
设电容器的电容为C，某一瞬时极板带电量绝对值 为q(t)，则该瞬时两极板间电压为 u(t) q(t)
C 此时再继续将电量为dq的正电荷从负极板—>正极板， 外力作多少功？外力所作的功将转化为电容器的能量。
dA dWe u(t)dq
静 电 能
We
Q
u(t)dq
(1)两空腔内表面的电荷面密度 1和 2
导体球外表面的电荷面密度

R Q2
O
R2
Q1
(2)导体外任意点的场强和电势,
R1
(3)两空腔内部的场强和电势,
(4)如果导体接地,上述答案如何变化?如果Q1、Q2位置 变化（仍在空腔内），上述答案是否变化?如果有另 一个点电荷Q3置于导体外，上述答案是否变化?
0
Q q dq 1 Q2
0C
2C
电量 0——>Q
例题、一空气平行板电容器的板极面积为S，间距为d， 用电源充电后两极板上带电分别为± Q。断开电源后 再把两极板的距离拉开到2d。求（1）外力克服两极 板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸 引力。（空气的电容率取为ε0）。
解 （1 ）两极板的间距为d和2d时，平行板电容器
先把q1从无限远移至A点，因q2与A点相距仍然为无限远， 这一过程外力做功等于零。
A
q1
q1
q2
再把q2从无限远移至B点，外力要克服q1的电场力做功，其 大小等于系统电势能的增量。
A q2 (V1 V )
(V1是q1在B点产生的电势，V∞是q1在无限远处的电势)
V1

1
4 0
q1 r
V 0
（2）静电平衡条件： (B)外表面场强垂直于导体表面
（3）导体的静电性质：
（A）电势分布特点
（B）电荷分布特点
（C）场强分布特点 （D）空腔导体的静电性质
（a）空腔内无带电体 （b）空腔内有带电体
（a）平板电容器 （E）电容器的电容 （b）球形电容器
C 0S
d C 4 0R1R2
R2 R1
§2-5 带电体系的静电能
电荷之间具有相互作用能（静电势能），当电荷间相对位 置发生变化或系统电荷量发生变化时，静电能与其它形式的能量 之间发生转化。
1.带电体系的静电能 1.1 两个点电荷
约定q1、q2处于相距无穷远的静电状态时静电能为零,则它们 处于任意状态时(相距为r)的静电能便有确定的数值。
W A 1 q1q2
40 r
Ar B
q1
q1
q2
q2
为了写成对称的形式，可改写为
W

1 2 q1
1
4 0
q2 r

1 2 q2
1
4 0
q1 r

1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
2
qiVi
i 1
结论:两个点电荷组成的系统的相互作用能（电 势能）等于每个电荷在另外的电荷所产生的电场中
的电势能的代数和的一半。
（电势能)为
W

1 2
n

i 1
qiVi
(Vi是除qi外的其它所有电荷在qi 所在处产生的电势)
2.电荷连续分布时的静电能
以体电荷分布为例，设想不断把体电荷元dV从
无穷远处迁移到物体上，系统的静电能为
W

1 2

V
dV
(是体电荷元处的电势)
同理，面分布电荷系统的静电能为
W

1 2
dS
q2
( q1
4 0
r12

q3 )
4 0 r23

q3
(
q1
4 0
r13

q2 )]
4 0r23

1 2
(q1V1

q2V2

q3V3 )

1 2
3
qiVi
i 1
(V1是q2和q3在q1 所在处产生的电势，以此类推)
1.3 多个点电荷
推广至由n个点电荷组成的系统，其相互作用能
q1
B q2
三个点电荷组成的系统的相互作用能量（电势能）
W A1 A2 A3

q2
q1
4 0r12

q3
(
q1
4 0
r13

q2 )
4 0r23
C q3
r13
q1
r23 A r12
B q2
可改写对称的形式为
W

1 2
[q1
(
q2
4 0 r12

q3 )
4 0 r13