rr
r
⑵ ⑶
0?a 你能说出
ar （br选的几0 还何是意义0 吗）？
3) 空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量 er ，则 ar er | ar | cos ar , er ．
（2） ar
r b
ar
r b
．
（3） ar ar
＝.
4（) 1空）间( 向ar量) 数br 量积(运ar 算br )律：ar
ABC
o
60
，求
AB 与 CD 的夹角的余弦值
D
变式 ：如图，在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中，若
AB= 2 BB 1 ,则 AB 1 与 C 1 B 所成的角为（ ）
A. 60° B. 90° C. 105°
D. 75°
A
C
B
例 3 如图，在平行四边形 AB 4, AD 3 , AA' 5 , BAD 90 , BAA' =
DAA ' =60 ° ,求 AC ' 的长 .
ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ，
※ 动手试试
uur uur
r
r
rr
rr
练 1. 已知向量 a,b 满足 a 1 ， b 2 ， a b 3 ，则 a b ____.
r
r
练 2. 已知 a 2 2 , b
2 rr ,a b
2
rr 2 , 则 a 与b 的夹角大小为 _____.
(
r b) ．
（2） ar （3） ar
r b
r (b
r b cr
ar )
（ar交br换律ar ）cr．（分配律
反思 ： rr r r rr
⑴ （a b) c a (b c) 吗？举例说明 .
rr rr
rr
⑵ 若 a b a c ，则 b c 吗？举例说明 .
rr
rr rr
⑶ 若 a b 0 ，则 a 0 或 b 0 吗？为什么？
正确有个数为（
）
A. 0 个 B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
ur uur
uur ur
2. 已知 e1 和 e2 是两个单位向量，夹角为
，则下面向量中与 2e2 e1 垂直的是（ ）
ur uur
ur uur
ur
3 uur
A. e1 e2 B. e1 e2
C. e1
D. e2
uuur uuur
3.已知 ABC 中， A, B, C 所对的边为 a,b, c ，且 a 3,b 1 , C 30 ,则 BC ? CA =
D
A
C
B
2. 已知线段 AB、BD 在平面 内 ,BD⊥ AB, 线段 AC 距离 .
,如果 AB＝ a,BD ＝ b,AC＝ c,求 C、D 间的
1. 下列r 命r 题中： r r
r
①若 a ?b 0 ，则 a ， b 中至少一个为 0
r r rr rr
rr
②若 a 0 且 a ?b a ? c ，则 b c rr r r rr
③ (a ? b) ? c a ? (b ?c)
rr rr
r2
r2
④ (3a 2b) ? (3a 2b) 9 a 4 b
※ 典型例题 例 1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么它也和这条斜线垂直 .
变式 1：用向量方法证明：已知： 为 B ，且 l m,l n . 求证： l ．
m, n 是平面
内的两条相交直线，直线
l 与平面
的交点
例 2 如图， 在空间四边形 ABCD 中， AB 2 ， BC 3， BD 2 3 ，CD 3 ， ABD 30o ，
r
r
rr
r rr r
4. 已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线，当 a b 与 a b 的夹角是锐角时， 的取值范
围是
.
uur uur
r
r
rr
rr
5. 已知向量 a, b 满足 a 4 ， b 2 ， a b 3 ， 则 a b ____
课后作业：
1. 已知空间四边形 ABCD 中， AB CD ， AC BD ，求证： AD BC .
; a, b =π时 , a 与 b
⑵
ar ,
r b
r b
,ar
成立吗？
⑶
ar ,
r b
，则称
r a
与
r b
互相垂直，记作
.
2已) 知向向量量的数ar ,量br 积，：则
叫做
ar ,
r b
的数量积，记作
ar
r b
ห้องสมุดไป่ตู้
，即
ar
r b
.
规定 :零向量与任意向量的数量积等于零 .
反思 ：
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？
的夹角和空间线段的长度问题？
能否用向量的知识解决空间两条直线
新知 ：
1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量
则
AOB 叫做向量
ar
与
r b
的夹角，记作
ar ,
r b
，在空间
.
uuur 一点 O ，作 OA
ar ,
uuur OB
r b，
试试 ： ⑴ 范围 :
ar ,
r b
rr
rr
rr
rr
a, b =0 时 , a 与 b
§3.1.3．空间向量的数量积（ 1）
学习过程
一、课前准备 （预习教材 P90~ P92，找出r疑惑r之处） 复习 1：什么是平面向量 a 与 b 的数量积？
uuur uuur 复习 2：在边长为 1 的正三角形⊿ ABC 中，求 AB ? BC .
二、新课导学
※ 学习探究 探究任务一 ：空间向量的数量积定义和性质 问题 ：在几何中， 夹角与长度是两个最基本的几何量，
三、总结提升 ※ 学习小结 1..向量的数量积的定义和几何意义 . 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用 .
※ 知识拓展
向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法
.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（
）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：