如果波函数没有归一化，则
定义标积（内积），简化书写
A *(r )Aˆ (r )dr ( ,Aˆ ) Aˆ *(r ) (r )dr ( , )
算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑
因此，先定义出各种力学量算符是必要的
二、由经典物理引进量子力学量算符
rˆ r
pˆ i
(x
y
如果：[Aˆ ,Bˆ ]=[Bˆ ,Aˆ ] ，称两算符对易，否则称不对易
六、厄密算符的性质 1. 两厄米算符之和仍为厄米算符
Hale Waihona Puke 2. 当且仅当两厄米算符 A和B 对易时，它们之积 AB 才为 厄米算符。
3. 无论两厄米算符是否对易，算符1 AB BA 及 1 AB BA
都是厄米算符。
2
2i
再论波函数的作用：
波函数完全描述微粒的状态
1. 由 Born 的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知 道了粒子在空间的概率分布，即 ω(r, t) = |ψ(r, t)|2
2. 已知 ψ(r, t)， 则任意力学量的可能值、相应的概率及它的 统计平均值都知道。也就是说，描写粒子状态的一切力学量 就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。
3. 知道体系初始时刻的态函数及其所处的力场，由Schrodinger 方程即可确定以后各时刻的态函数。
三、算符的定义
算符：作用于一态函数，把这个态函数变成另一个态函数
Aˆ
四、力学量算符是线性厄密算符（ Hermitian）
1. 线性算符的定义 满足如下运算法则的算符，称为线性算符
Aˆ
(c11
例：若已知波函数 (x,t) ，按照波函统计解释，利用统计
平均方法，可求得粒子坐标 x 的期望值：
x x |(x,t) |2 dx *(x,t)x(x,t)dx
同样，若已知波函数c( px , t)，可求粒子动量 px 的期望值：
px px | c(px,t) |2 dpx
问题：如何在知道波函数 (x,t) 的情况下求 px 的期望值？
等问题，就可知道所有力学量算符的基本性质
五、线性算符的运算 1. 算符的和： 算符的和运算满足交换律和结合律 Aˆ +Bˆ =Bˆ +Aˆ
(Aˆ +Bˆ )+Cˆ Aˆ +(Bˆ +Cˆ )
2. 算符的积 算符的积不一定满足交换律
xˆpˆ x pˆ x xˆ i
3. 算符的对易式, 定义：
dx 2
e
i
px
x
c(
px
)dpx
]
dx
(x)(i
d )(x)dx dx
定义算符：pˆx i
d dx
px (x) pˆ x (x)dx
力学量算符与期望值的关系：
x *(x)x(x)dx
r *(r )rˆ(r )dr
px (x) pˆ x (x)dx
p (r ) pˆ (r )dr
c22)
c（1 Aˆ
1） c（2 Aˆ
）
2
2. 厄密算符的定义 满足如下关系式的算符，称为厄密算符
Ψ*Aˆ ψdτ= (Aˆ Ψ)*ψdτ
用内积表示：(, Aˆ ) (Aˆ , )
证明：力学量算符是线性算符
设ψ1，ψ2是力学量算符F的本征方程
的两个解，有：
Fˆ f
Fˆ1 f 1 Fˆ 2 f 2
px
px | c( px ) |2 dpx
c( px ) pxc( px )dpx
1
2
(x)e i pxxdx pxc( px )dpx
1
2
(x)e i pxx pxc( px )dxdpx
1
2
(x)(i
d dx
)e
i
px
x
c(
px
)dxdpx
(x)(i d )[ 1
4. …
七、厄密算符的本征值与本征函数
得证：
例
例
证明：力学量算符是厄密算符
力学量A的期望值为
A *Aˆ d
取上式的复共轭
A* （ *）（* Aˆ ）*d＝ （Aˆ ）*d＝ （Aˆ ）* d
因为可观测力学量的期望值应为实数，即
A A*
*Aˆ d＝（Aˆ ）* d
得证：
结论：所有力学量算符都是线性厄密算符
因此，我们只需要研究 (1) 线性算符的运算特点、 (2) 厄密算符的性质 (3) 厄密算符的本征值
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
光电信息学院 李小飞
第三章：量子力学中的力学量
第一讲：力学量的算符表示
引入
微观粒子具有波粒二象性， 其运动状态用波函数描述， 那么，如何从波函数求体系的性质？
薛定谔说：用算符作用于波函数就行了
比如：对于在势场不显含时间中运动的粒子，其波函数 时间t和位置r可分离，用哈密顿算符H作用于定态波函数 上，就可以得到粒子的能量。
c1Fˆ1 c1 f 1 c2Fˆ2 c2 f 2
c1Fˆ1 c2Fˆ2 c1 f 1 c2 f 2 f (c1 1 c2 2)
(1)
根据态叠加原理, c1ψ1+c2ψ2也是本征方程的解：
Fˆ (c11 c22) f (c1 1 c2 2)
(2)
所以： Fˆ (c11 c22) c1 Fˆ1 c2 Fˆ2
Hˆ E
E *(r )Hˆ (r )dr
* (r )Hˆ (r ) *(r )E (r ) * (r )Hˆ (r ) *(r ) (r )E * (r )Hˆ (r ) 1E
E *(r )Hˆ (r )
对于任意一个力学量A，如果知道它的算符，则它的期望值应为：
A *(r )Aˆ (r )dr ( , Aˆ ) Aˆ
Hˆ E
那么，对于其它各种物理量，比如位置、动量等，是否也可以？
一、统计平均值与算符的引入（力学量期望值，或理论平均值）
经典系统与量子系统的区别：经典系统的力学量有确定 性，遵守因果论；量子系统由于波粒二象性，一般不具有确 定性，但服从统计律，即：虽然每一次测量的值可能不同， 但多次测量的统计平均值具有确定性。
x
)
i
经典物理学中，一般力学量都是坐标与动量的函数，可以 依据如下对应关系定义这些力学量的算符
A f (r, p) Aˆ f (rˆ, pˆ )
如：
T p2
2
Tˆ pˆ 2
2
2
2 2
H T U (r ) Hˆ pˆ 2 U (rˆ)
2
Lrp Lˆ rˆ pˆ i rˆ