12.已知函数 f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a 为常数）． （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若存在 x0∈（0，1]，使得对任意的 a∈（﹣2，0]，不等式 2mea（a+1）+f（x0）＞ a2+2a+4（其中 e 为自然对数的底数）都成立，求实数 m 的取值范围．
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13.已知函数 f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）． （1）求函数 f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数 f（x）单调增区间； （3）若存在 x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e 是自然对数的底数），求 实数 a 的取值范围．
f
( x1 )
g(x2 ) 成立，求实数 a
的取值范围.
8.设函数 f (x) = e x − ax − 2 （1）求 f (x) 的单调区间； （2）若 a = 1, k 为整数，且当 x 0 时， k − x f (x) 1恒成立，其中 f (x) 为 f (x) 的导
x +1 函数，求 k 的最大值.
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2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（三）
1.已知函数 f (x) = ln x + a . x
（1）若函数 f (x) 有零点，求实数 a 的取值范围； （2）证明：当 a 2 时， f (x) e−x .
e
2.已知函数 f (x) = x2 − a ln x （ a R ）， F(x) = bx （ b R ）.
+
1 33
+
+
1 n3
.
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10.已知函数 f (x) = ax − e(x +1) ln a − 1 （ a 0 且 a 1）， e 为自然对数的底数． a
（Ⅰ）当 a = e 时，求函数 y = f (x) 在区间 x 0, 2上的最大值；
（Ⅱ）若函数 f (x) 只有一个零点，求 a 的值．
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）设 a = 2 ， g(x) = f (x) + F(x) ，若 x1, x2 （ 0 x1 x2 ）是 g(x) 的两个零点，且
x0
=
x1
+ 2
x2
，试问曲线
y
=
g(x) 在点
x0
处的切线能否与
x
轴平行？请说明理由.
3.已知函数 f (x) = x3 + mx2 + nx （ m, n R ） （1）若 f (x) 在 x = 1 处取得极大值，求实数 m 的取值范围； （2）若 f ' (1) = 0 ，且过点 P(0,1) 有且只有两条直线与曲线 y = f (x) 相切，求实数 m 的
值.
学海无涯 4.已知函数 f (x) = x2ex ， g(x) = 2x3 . （1）求函数 f (x) 的单调区间； （2）求证： x R ， f (x) g(x)
5.已知函数 f（x）= x ﹣ax+b 在点（e，f（e））处的切线方程为 y=﹣ax+2e． ln x
（Ⅰ）求实数 b 的值； （Ⅱ）若存在 x∈[e，e2]，满足 f（x）≤ 1 +e，求实数 a 的取值范围．
为长方形的材料，沿 AC 折叠后 AB 交 DC 于点 P，设△ADP 的面积为 S2 ，折叠后重合部 分△ACP 的面积为 S1 ． （Ⅰ）设 AB = x m，用 x 表示图中 DP 的长度，并写出 x 的取值范围； （Ⅱ）求面积 S2 最大时，应怎样设计材料的长和宽？
（Ⅲ）求面积 (S1 + 2S2 ) 最大时，应怎样设计材料的长和宽？
11.已知函数 f (x) = x − 1 ， g(x) = 2a ln x . x
（1）当 a −1时，求 F(x) = f (x) − g(x) 的单调递增区间；
（2）设 h(x)
=
f
(x) +
g
(
x)
，且
h(x)
有两个极值
x1
,
x2
，其中
x1
(0,
1 3
]
，求
h(x1) − h(x2 ) 的最小值.
（3）当 b = 0 时，若 f (x) 与 g(x) 的图像有两个交点 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，求证： x1x2 2e2
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15.某工艺品厂要设计一个如图 1 所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图 2 所示， 其周长为 4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图 1 的情况．如图，ABCD（AB＞AD）
9.设函数 f (x) = x2 + b ln(x +1) .
（1）若对定义域内的任意 x ，都有 f (x) f (1) 成立，求实数 b 的值；
（2）若函数 f (x) 的定义域上是单调函数，求实数 b 的取值范围；
（3）若 b
=
−1，证明对任意的正整数 n
，
n k =1
f
(1) k
1+
1 23
16.已知 f ( x) = e2x + ln ( x + a) . （1）当 a =1时，求 f ( x) 在 (0,1) 处的切线方程； （2）若存在 x0 0, +) ，使得 f ( x0 ) 2ln ( x0 + a) + x02 成立，求实数 a 的取值范围.
+
x1
+
x2
+ 3x1x2
=
Байду номын сангаас
2
，证明：
x1
+
x2
1 2
.
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7.已知函数 f (x) = x ln x + a ， g(x) = x3 − x2 − 3 ， a R . x
（1）当 a = −1时，求曲线 y = f (x) 在 x = 1 处的切线方程；
（2）若对任意的
x1,
x2
[1 , 2] ，都有 2
4
6.已知函数 f (x) = ln x − 1 ax2 + bx +1 的图像在 x = 1 处的切线 l 过点 (1 , 1) .
2
22
（1）若函数 g(x) = f (x) − (a −1)x(a 0) ，求 g(x) 的最大值（用 a 表示）；
（2）若 a
=
−4 ，
f
(x1) +
f
(x2 )
14.已知函数 f (x) = ln x − 1 ， g(x) = ax + b ． x
（1）若函数 h(x) = f (x) − g(x) 在 (0, +) 上单调递增，求实数 a 的取值范围；
（2）若直线 g(x) = ax + b 是函数 f (x) = ln x − 1 图像的切线，求 a + b 的最小值； x