(1)第一次取到奇数卡片的概率;
(2)已知第一次取到偶数,求第二次取到奇数卡片 的概率; (3)第二次才取到奇数卡片的概率.
解 设A, B分别表示第一次和第二次取到奇数 卡片这两个事件, 则
3 3 (2) P( B A) (3) P( AB) (1)P(A)= 5 4 23
3 54 10
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率. 解 以Ai ( i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破",
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”. 所以 P B P A1 A2 A3 P A1 P A2 | A1 P A3 | A1 A2 1 7 9 3 1 1 1 . 2 10 10 200
前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.
计算条件概率P(B|A)有两种方法： 方法1 在样本空间S的缩减样本空间SA中计 算B发生的概率, 得到P(B|A).
方法2 在样本空间S中, 计算P(AB),P(A), 然后利用定义表达式求出P(B|A).
例1 在标有1,2,3,4,5这5个数字的卡片里,无放回 地抽取两次,一次一张,求
二. 乘法公式
由条件概率的定义：
P ( AB) P ( A | B) P ( B) 若已知P(B), P(A|B)时, 可反求P(AB).
设A,B为两个事件
若P(B)>0,则
P(AB)=P(B)P(A|B) 若P(A)>0,则 P(AB)=P(A)P(B|A) (2) (1)
何时用？
例1 m个产品中有n个一等品，m-n个二等品，按 不放回抽样，依次抽取两个产品，计算两次都取 到一等品的概率。 解法1：设Ai={第i次取到一等品} 则
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc r rc b r b r c b r 2c b r 3c
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率.
这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病 患者,都会增加再传染的概率.
依次类推,
前两个人没有摸到 票时，第三个人摸 到票的概率为1/3
每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.
波里亚罐子模型
b个白球, r个红球 例3 一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随 机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再 加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手 续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、 四次取到红球的概率.
4 1 1 P ( A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) 5 4 5
P ( A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
＝（4/5） （3/4） （1/3） =1/5
( 3) 可列可加性: 设 B1 , B2 , 是两两不相容的事 件 , 则有
P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
(4) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B);
(5) P ( A B) 1 P ( A B).
§1.4 条件概率和乘法公式
一、条件概率 二、乘法定理
三、小结
一. 条件概率

在自然界及人类的活动中, 存在着许多互 相联系、互相影响的事件. 除了要分析随 机事件B发生的概率P(B)外, 有时我们还要 提出附加的限制条件, 也就是要分析“在 事件A已经发生的前提下”事件B发生的概 率. 记为P(B|A). 这就是条件概率问题.
例 一批产品有5件，其中有3件正品，2件次品，
从中取两次，做不放回抽样，
A=“第一次取到的是正品”
B=“第二次取到的是正品” 求P(B|A)?
解法一 ：在原来的样本空间S中，用条 件概率的定义计算
两次都取得正品的概 率 P ( AB) 3 2 3
5 4 10
1 P ( AB) P(B|A)= 2 P ( A)
n n1 P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P( A2 | A1 ) m m 1
解法2：设A={两次都取到一等品}
n ( n 1) P ( A) m ( m 1)
乘法公式推广
设 A1 , A2 ,, An 为n个事件,若P(A1A2…An-1)>0， 则有
3 P ( A) 5
解法2：在缩减后的样本空间A上计算
由于事件A已经发生，即第一次取到的是 正品，所以第二次取产品时，只剩下4件， 并且正品只有2件，所以
1 P(B|A)= 2源自性质(1) 非负性 : P ( B A) 0; ( 2) 规范性 : P ( S B ) 1, P ( B ) 0;
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A A A A ) 4 1 2 3
P ( An A1 A2 An1 )
Q. 何时用？
计算多个事 件同时发生 的概率
例2 一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
他们不相等的原因:
“事件A已发生”这个新条件改变了样本空间。 Q. 公式是否具有普遍性?
条件概率的定义:
设A、B是两个事件，且 P(B)>0 ,则称
P ( AB) P ( A | B) P ( B)
为在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率.
注: 区别P(A|B), P(AB)
求法是什么？
（两种）
因为 B A1 A2 A3 ,
三、小结
P ( AB ) 1.条件概率 P ( B A) P ( A)
乘法定理
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
2. 条件概率 P ( A B ) 与积事件概率 P ( AB) 的区别.
P ( AB ) 表示在样本空间 S 中, AB 发生的 概率, 而 P ( B A) 表示在缩小的样本空间 S A 中, B 发生的概率. 用古典概率公式, 则 AB 中基本事件数 P ( B A) , S A 中基本事件数 AB 中基本事件数 P ( AB ) , S 中基本事件数 一般来说, P ( B A) 比 P ( AB ) 大 .
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出 的球具有相同颜色的球. b个白球, r个红球 解 设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4 于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、 第二个是白球，第三、四个是红球. ”
(2)的答案是12/20=0.6. 但是, 这两个问题的提法是有区别的. 第二个问 题是一种新的提法. 记A={选中男生}, B={选中 1.70米以上同学}, 则第二问是“在A发生的条件 下事件B发生的概率”问题, 即P(B|A).
注意到P(A)=20/30, P(AB)=12/30, 从而有
上例中， P(B|A) ≠ P(B)
12
例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, P ( AB ) P ( B A) . 则有 P ( A) 因为 P ( A) 0.8, P ( B ) 0.4, P ( AB) P ( B ), P ( AB ) 0.4 1 所以 P ( B A) . P ( A) 0.8 2
“先抽的人当然 要比后抽的人
抽到的机会大. ” “大家不必争先恐后， 一个一个按次序来， 谁抽到‘入场券’的 机会都一样大.”
解：Ai={第i个人抽到入场券} 则 Ai ={第i个人未抽到入场券}, i＝1,…,5. P(A1)=1/5，P(A1)＝4/5
第一个人没有摸到票时，第 二个人摸到票的概率为1/4
例 某班有30名学生, 其中20名男生, 10名女生; 这30名学生中身高在1.70米以上的有15名, 其中 12名男生, 3名女生. (1) 任选一名学生, 问该学生的身高在1.70米以 上的概率是多少? (1)的答案是15/30=0.5
(2) 任选一名学生, 选出来后发现是位男生,问该同学的身 高在1.70米以上的概率又是多少?