浅谈如何提高数学解题能力陕西教育学院04数本陈勇解题能力的高低是衡量数学能力强弱的重要标志，提高学生解题能力是数学教育的主要目标。

“解题是数学的心脏”。

解数学问题是学习数学的重要环节和基本途径。

对待一个数学命题，首先需要考虑的是：探索解决它的途径，给出它的严格证明或解法。

或读懂前人已有的论证或解法中，常会受到某种启迪，也可能从中总结出值得借鉴的经验。

但如果仅仅会读、会证或会解，很难达到深入理解，更谈不上灵活运用。

数学是“思维的体操”，仅仅读懂、会证、会解，能力的培养也只能停留在初级阶段。

可见，读懂、会证、会解之后，还要继续深入思考并作许多方面的探索。

弄清问题的来龙去脉，进而适当变换题目的形式，如寻求多种证法、解法，以广开思路，增强分析和理解能力，为灵活运用奠定基础，再广泛联想，从横向对比中挖掘出联系，甚至由此发现巧妙的解法……我以为要提高数学解题能力，必须做到以下几个方面：一、一题多解，广开思路，培养思维的发散性。

发散性思维是从某一点出发，不依常规，寻找变异进行放射性联想，从多方面寻求答案的思维。

发散思维又叫求异思维，求异是创造的核心。

所谓一题多解就是同一个题目，因思考的角度不同，可得到多种不同的思路，广泛寻求不同的解法，有助于拓宽解题思路，发展思维能力。

一题多解有利于培养学生综合运用数学知识的能力，一题多解能使我们广泛地、综合的应用基础知识，提高基本技能，更有效的发挥逻辑思维，提高全面分析问题的能力，找到最便捷的解题途径，又能增强学习数学的兴趣。

对于一个题目，寻求多种证法，即能广开思路，以收培养发散思维，又可帮助我们加深对问题的认识。

因为不同的解法往往是从各自的侧面，相异的渠道反映出条件与结论间的联系。

解法的繁简，实质上又是联系紧松、深浅的标志，而奇解、妙法则是发现某种新的联系的反映。

因而寻求多种解法或证法是培养能力的重要方面。

例１、已知：如图，在⊙Ｏ直径AB延长线上取一点C作CD切⊙O于E，连接AE并过点E作EF⊥AB于F。

求证：AE平分∠DEFFO O F B CB C AAE ED ②D①MHO FO CACABEE D④分析：此题有四种证法＝90o，由AB为直径得∠AEB证法1：连接BE 90o∠AEB＝AB为⊙Ｏ直径＝>∠AED+∠AEB+∠BEC180o＝>∠AED+∠BEC＝90o∠A=∠BEC ＝>∠AED=∠AEFEF⊥AB＝>∠AEF+∠A＝90o证法2：连接OEEF⊥AB＝>∠AEF+∠A＝90oCD为⊙O切线＝>∠AED+∠AEO＝90o ＝>∠AED=∠AEFOE为半径OE=OA＝>∠AEO=∠A证法3：延长EF交⊙O于M,连接AM,EF⊥AB＝>EF=FMAB为⊙Ｏ直径＝>AM=AE＝>∠AEM=∠M＝>∠AEM=∠AEDAF⊥ME ∠AED=∠M证法4：过点A作⊙Ｏ切线AD交CE延长线于DAF为⊙Ｏ切线＝>AD=DE＝>∠AED=∠DAEDE为⊙Ｏ切线AD为⊙Ｏ切线＝>∠AEF＝∠AED ＝>AD⊥ABAB为⊙Ｏ直径＝>AD∥EF＝>∠AEF＝∠AEDAB⊥EF二、一题多变，应机思索，培养思维的灵活性。

对于一个数学题，解完后还应考虑能否能一题多变，一题多变是题目结构的变式，指变换题目的条件或结论，变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度不同方面揭示题目的实质。

用这种方法考虑问题可随时根据变化了解情况，积极进行探索，迅速提一题多变可以改变条件，培养思维的灵活性。

出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，保留结论；可以保留条件，改变结论；可以同时改变条件和结论；也可以将某项条件和结论对换。

从一题多变中抓住问题的核心，揭示问题的根本原因，掌握问题的根本原因，是数学思维得到训练和发展。

交圆于BEDP交圆于E，例：如图，PA切圆于A，PA=PB，线段BCD是圆的割线，。

求证：CF∥BP。

F，连接CFAFPOBDC2=PE·PAPD 证明：由切割线定理有BP=PA2=PE·PD〉=BPPEPB=〉= PDPD=〉△PE B ∽△PBD∠BPD=∠BPD=〉∠1=∠D=〉∠1=∠F=〉BP∥CF∠D=∠F可将此题作如下几种变化：1、如果假设点A、P、B在一条直线上，其他条件不变圆求证结论CF∥BP是否成立？EAPEDBC证明过程同上。

换成结论，所得题目是否成立？PA=PB换成条件，把BP∥CF、若把2．FAP21BDCF∥BP=〉∠1=∠证明：CD∠〉1= =△PE B〉∽△PBD= ∠F=∠D∠2=∠2PDBP2=PE·PD=〉BP =〉= PBPE2=PE·PD 〉PA =AP=PB若能这样把题目演变，使题目由一道题变为一类题，他们的解法彼此具有紧密的联系，能起到举一反三、逐类旁通的作用，而这正是思维灵活性得到形成的体现。

三、多题一解、透表求里，培养思维的深刻性。

解数学题时，经常会遇到一些题目，表面上看互不相干，但实质上结构相同，因而他们可以用同一种方法解答，将这类题归类分析，可透表及里，从而自觉注意到从本质上看问题，以形成思维的深刻性。

例1、如图1：从C点测旗杆AB的仰角为30°，前进10米到点D，从点D测旗杆AB的仰角为60°，求旗杆AB的长。

例2、如图2，圆形暗礁群半径为4.8海里，在礁群中心有一灯塔A，某船在点C 处测得灯塔在北偏东30处，前进10海里到D处，测得灯塔在北偏东30°处，问船继续向东航行，能否触礁？例3、如图3：山上有一铁塔高10米，从点A测得点C仰角为60°，点D仰角为30°，求AB长。

C BABDDAACDBC3图 2图1 图分析：这三代题可用一种解法来解。

CBD ∠C+∠解法1：如图：∵∠ADB=BC=30°∠BDA=60°∠∴∠CBD=60°-30°=30°∴∠C=∠CBDACBD=CD=10DAB sin∠BDA=在Rt△ABD中有BD3 sin60=5∠BDA=10·∴AB=BD·sin解法2：设AB=xAD∠BDA=△ABD中有cot 在Rt AB BDAAD=AB·cot∠∴3x =·AD=x·cot60°3在Rt△ABC中有xx tanC= 即tan30°= 10?x10?x3 x=5解得：探求这些题目同一解法的过程中，实践了从事物间相同与变异矛盾的统一中认识事物的本质，可防止和减少表面性和绝对化毛病，从而形成思维的深刻性。

四、寻找源头，弄清问题的“来龙”。

数学的发展与社会的发展不同，即使缺乏资料，亦可从题目间的逻辑联系去分析，去推断，倘若执果寻因，联系合情又合理，则是成立的，因为实际的发展，有时难免走弯路，而逻辑的必然联系，比曲折的事实对我们更有启迪，所以追溯源头，对深钻数学及数学教学都很有必要，很有价值。

例2：如图，正方形ABCD边长为8，DE＝2，在AC上找一点P，使PD＋PE最小。

ADAB源头El PCPCB②①．l AP+PB直线上找一点P使分析：①可看作②的变形，而②是八年级课本上的例题，要在ll BE连接对称,点即可, ①中B于D最小，作A关于关于对称点C,连接BC交AC于P 为所求点。

则P交AC于P, ”。

五、变形推广，看出问题的“去脉相当数量中考题都来源于课本的例题、习题或稍做改造、每年中考会上反复强调：“或拼合、或稍做提高。

使常规题型、常见思路、常用方法在试卷中占主导地位。

即中考题目是对书本题目变形或由书本的题目组合而成，也有将书中题目与实际结合起来而编的。

为了适合中考的要求我们每做完一个题后应考虑它能做哪些变化，或如何引申或可与那些题目结合而成新的题目，以探究问题的去脉，从而达到将每个问题作以可能的延伸。

从而将所学的知识尽可能的推广，使自己将知识学活，也可将题目与实际结合起来以加强解决问题的能力。

对于初学的学生，最忌陷入单纯、枯燥的推理之中，如果能把某些推理与结论同生活从而主动，就会使初学者倍感亲切又趣味无穷，从而就会消除推理的枯燥，实际联系起来，积极地去学好数学；如果一个有趣的题目，初看难如上青天，甚至怀疑不可能解决，一旦得到解决，方法之妙又简单出奇，令人拍案叫绝。

这不仅激发了学生的极大兴趣，又感到数学之美。

许多问题，单就题目的本身，往往很难弄清其中的奥秘，如果适当变形推广，就会豁然贯通。

BF⊥CD于F是⊙Ｏ的直径例3、如图：AB,CD是弦，AE⊥CD于E，EC=DF 求证：BBOO变形DCEA F MME CFAD证明：过圆心O作OM⊥EF于点MOM过圆心O=>CM=MDOM⊥CDBF⊥EFOM⊥EF => A E∥OM∥BFAE⊥EF =>EM=MFOA=OB=>EM-CM=MF-MD=>EC=DF六、变形转化，寻找问题的“去脉”。

唯物辩证法指出客观事物是发展变化的，各事物间有种种联系、各种矛盾在一定条件下可相互转化，数学解题也不例外。

转化，是数学研究中克服难关的利器。

如：初等变换在解几何证明题能将比较复杂的题目转化得比较容易。

转化，还是数学重大发现的思维方法。

如：解析几何就是通过坐标，把几何对象转化成数和方法，从而使众多的几何问题可用代数运算去统一解决，可以说，解析几何这门重要的数学分支，为“转化”树立了一座光彩夺目的丰碑。

在解题中转化更是广为运用的法宝，面临一些难题，或推理中遇到难关而一筹莫展时，一旦找到适当的转化，难关就会变成易行的大道；有时冗长的推导或复杂的演算令人头痛，倘若找到巧妙的转化，简明的论证、简练的演算又会让人拍案叫绝；更多的时候，题目的陌生，让人不知如何下手，一经转换而现其原貌，却原来是我们已经解过的题型。

由此可见，转化在解题过程中常能收到化难为易，以简驭繁、变生为熟的效果，值得我们去摹仿、搜索，从而很好地掌握这一锐利的武器。

总之，在解题过程中，我们既应对未知结论或已知条件进行变形，尤应善于对于各个问题进行变形。

另外熟悉化、简单化和直观化是一切转化方法应遵循的基本原则，而转化的方向应该是由未知向已知、由难向易、化繁为简、从抽象到具体、化一般为特殊，同时又须由特殊到一般。

分析：将三个阴影旋转在同一象限，则它们之和是大面积的1/4＝，即Sл/4阴影七、广泛联想妙法诞生之源。

——联想是思维的一种形式，也是记忆的一种表现，是由一种事物想到另一事物的心理过程。

客观事物总是相互联系的。

具有不同联系的事物反应在人脑中就形成了各种不同的联．想。

在教育教学中应用联想，能使学生进一步了解数量关系，促进思维的灵活性，特别是发展学生的创造性思维有很重要的作用。