• 有什么更好的方法么? 我们前面假定的图像 都是黑白图像(二值图像)，实际上这些二值 图像多是彩色或灰度图像通过边缘提取来 的。我们前面提到过，图像边缘除了位置 信息，还有方向信息也很重要，这里就用 上了。根据圆的性质，圆的半径一定在垂 直于圆的切线的直线上，也就是说，在圆 上任意一点的法线上。这样，解决上面的 问题，我们仍采用2维的参数空间，对于图 像上的每一前景点，加上它的方向信息， 都可以确定出一条直线，圆的圆心就在这 条直线上。这样一来，问题就会简单了许 多。
点都变换后，对小格进行检验，计数值最 大的小格，其(a，p)值对应于直角坐标中所 求直线。
四、hough变换检测圆
• 再看下面一个问题：我们要从一副图像中 检测出半径以知的圆形来。这个问题比前 一个还要直观。我们可以取和图像平面一 样的参数平面，以图像上每一个前景点为 圆心，以已知的半径在参数平面上画圆， 并把结果进行累加。最后找出参数平面上 的峰值点，这个位置就对应了图像上的圆 心。在这个问题里，图像平面上的每一点 对应到参数平面上的一个圆。
• 接下来还有许多类似的问题，如检测出椭 圆，正方形，长方形，圆弧等等。这些方 法大都类似，关键就是需要熟悉这些几何 形状的数学性质。霍夫变换的应用是很广 泛的，比如我们要做一个支票识别的任务， 假设支票上肯定有一个红颜色的方形印章， 我们可以通过霍夫变换来对这个印章进行 快速定位，在配合其它手段进行其它处理。 霍夫变换由于不受图像旋转的影响，所以 很容易的可以用来进行定位。
• 把上面的问题改一下，假如我们不知道半 径的值，而要找出图像上的圆来。这样， 一个办法是把参数平面扩大称为三维空间。 就是说，参数空间变为x--y--R三维，对应圆 的圆心和半径。图像平面上的每一点就对 应于参数空间中每个半径下的一个圆，这 实际上是一个圆锥。最后当然还是找参数 空间中的峰值点。不过，这个方法显然需 要大量的内存，运行速度也会是很大问题。
• 三、hough变换检测直线
• 设已知一黑白图像上画了一条直线，要求 出这条直线所在的位置。我们知道，直线 的方程可以用y=k*x+b 来表示，其中k和b是 参数，分别是斜率和截距。过某一点(x0,y0) 的所有直线的参数都会满足方程y0=kx0+b。 即点(x0,y0)确定了一族直线。方程y0=kx0+b 在参数k--b平面上是一条直线，(你也可以是 方程b=-x0*k+y0对应的直线)。如下图1所示：
• 霍夫变换有许多改进方法，一个比较重要 的概念是广义霍夫变换，它是针对所有曲 线的，用处也很大。就是针对直线的霍夫 变换也有很多改进算法，比如前面的方法 我们没有考虑图像上的这一直线上的点是 否连续的问题，这些都要随着应用的不同 而有优化的方法。
五、程序实现（圆）
• 上文中提到了检测圆的切线的方法，这里 暂且不讨论，这里讨论经典HOUGH算法。 下面为我写的利用极坐标表示圆的一种算 法流程：
基于matlab的霍夫变换
• 一、简单介绍 • 二、基本原理 • 三、hough变换检测直线 • 四、hough变换检测圆 • 五、程序实现（圆） • 六、总结
一、简单介绍
• Hough变换是图像处理中从图像中识别几何 形状的基本方法之一。Hough变换的基本原 理在于利用点与线的对偶性，将原始图像 空间的给定的曲线通过曲线表达形式变为 参数空间的一个点。这样就把原始图像中 给定曲线的检测问题转化为寻找参数空间 中的峰值问题。也即把检测整体特性转化 为检测局部特性。比如直线、椭圆、圆、 弧线等。
• 也就是说，极坐标a-p上的一点(a，p)，对应 于直角坐标X-Y中的一条直线，而且它们是 一一对应的。为了检测出直角坐标X-Y中由 点所构成的直线，可以将极坐标a-p量化成
许多小格。根据直角坐标中每个点的坐标 (x,y)，在a = 0-180°内以小格的步长计算各 个p值，所得值落在某个小格内，便使该小 格的累加记数器加1。当直角坐标中全部的
平面上的三条直线，而这三条直线会相交 于一点(k=1,b=0)。
• 同理，原图像上直线y=x上的其它点(如 (3,3),(4,4)等) 对应参数平面上的直线也会 通过点(k=1,b=0)。这个性质就为我们解决问 题提供了方法，就是把图像平面上的点对 应到参数平面上的线，最后通过统计特性 来解决问题。假如图像平面上有两条直线， 那么最终在参数平面上就会看到两个峰值 点，依此类推。
• 简而言之，Hough变换思想为：在原始图像 坐标系下的一个点对应了参数坐标系中的 一条直线，同样参数坐标系的一条直线对 应了原始坐标系下的一个点，然后，原始
• 坐标系下呈现直线的所有点，它们的斜率 和截距是相同的，所以它们在参数坐标系 下对应于同一个点。这样在将原始坐标系 下的各个点投影到参数坐标系下之后，看 参数坐标系下有没有聚集点，这样的聚集 点就对应了原始坐标系下的直线。这个性 质就为我们解决问题提供了方法：
• 二、基本原理
• Hough变换的基本原理在于，利用点与线的 对偶性，将图像空间的线条变为参数空间 的聚集点，从而检测给定图像是否存在给 定性质的曲线（圆的方程为：(x-a)^2+(yb)^2=r^2，通过Hough变换，将图像空间对 应到参数空间）。
• 霍夫变换是图像处理中从图像中识别几何 形状的基本方法之一，应用很广泛，也有 很多改进算法。最基本的霍夫变换是从黑 白图像中检测直线(线段)。
从图1中可看出，x-y坐标和k-b坐标有点----线 的对偶性。x-y坐标中的点P1、P2对应于k-b坐 标中的L1、L2；而k-b坐标中的点P0对应于x-y
坐标中的线L0 。
• 这样，图像x--y平面上的一个前景像素点就
对应到参数平面上的一条直线。我们举个
例子说明解决前面那个问题的原理。设图 像上的直线是y=x, 我们先取上面的三个点： A(0,0), B(1,1), C(22)。可以求出，过A点的直 线的参数要满足方程b=0, 过B点的直线的参 数要满足方程1=k+b, 过C点的直线的参数要 满足方程2=2k+b, 这三个方程就对应着参数
• Hough变换能够查找任意的曲线，只要你给 定它的方程。Hough变换在检验已知形状的 目标方面具有受曲线间断影响小和不受图
形旋转的影响的优点，即使目标有稍许缺 损或污染也能被正确识别。
输出结果是： par1=205,par2=180,par3=174
Байду номын сангаас
• 首先，我们初始化一块缓冲区，对应于参 数平面，将其所有数据置为0。
• 然后，对于图像上每一前景点，求出参数 平面对应的直线，把这直线上的所有点的
值都加１。 • 最后，找到参数平面上最大点的位置，这
个位置就是原图像上直线的参数。
• 上面就是霍夫变换的基本思想。就是把图 像平面上的点对应到参数平面上的线，最 后通过统计特性来解决问题。假如图像平 面上有两条直线，那么最终在参数平面上 就会看到两个峰值点，依此类推。
• 1.图像灰度化，二值化（注意：二值化的 好坏对检测结果有很大影响，常用的有 SOBEL算子）
• 2.检测图像中的边缘点，并保存其坐标位 置。设置角度theta的变化范围和步长，
• 半径r的变换范围和步长。
• 3.利用公式x=a+rcos(theta),y=b+rsin(theta)求 出a和b的值。（注意：x和y为实际的图像空 间某个边缘点的坐标，a和b为其对应的参 数空间的坐标），如果a和b的值在合理的 范围之类，则对该位置进行累加。
六、总结
• 图像空间中的在同一个圆，直线，椭圆上 的点，每一个点都对应了参数空间中的一 个图形，在图像空间中这些点都满足它们 的方程这一个条件，所以这些点，每个投 影后得到的图像都会经过这个参数空间中 的点。也就是在参数空间中它们会相交于 一点。所以，当参数空间中的这个相交点 的越大的话，那么说明元图像空间中满足 这个参数的图形越饱满。越象我们要检测 的东西。
• 在实际应用中，y=k*x+b形式的直线方程没 有办法表示x=c形式的直线(这时候，直线的 斜率为无穷大)。所以实际应用中，是采用 参数方程p=x*cos(theta)+y*sin(theta)。这样， 图像平面上的一个点就对应到参数p---theta
平面上的一条曲线上。其它的还是一样。 在极坐标a-p中变为一条正弦曲线，a取(0180°)。可以证明，直角坐标X-Y中直线上 的点经过Hough变换后，它们的正弦曲线在 极坐标a-p有一个公共交点，如图2所示: