《抽象代数》试题及答案 本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。

每小题3分)1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2x +1,则（fg ）(x)等于（ B ）A. 221x x ++B. 23x + C. 245x x ++ D. 23x x ++2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。

A. 1B. 2C. 3D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。

\A. 1个B. 2个C. 4个D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。

A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 97．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111)(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶C. G 的单位元不唯一D. G 中消去律不成立8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [C. G 是交换群D. G 的任何子群都是循环群9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ⨯A 的子集为等价关系的是( C )A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。

A. 1B. 2C. 3D. 4…12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。

A. R 的零元惟一B. 若0x a +=，则x a =-C. 对a R ∈，a 的负元不惟一D. 若a b a c +=+，则b c = 14. 设G 是群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素32a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 915．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A )A. ||||a GB. |b| = ∞C. G 的单位元不唯一D. 方程ax b =在G 中无解16. 设G 是交换群，则以下结论正确．．的是( B ) -A. G 的商群不是交换群B. G 的任何子群都是正规子群C. G 是循环群D. G 的任何子群都是循环群17. 设A={1，-1, i ，-i}，B = {1, -1},ϕ: A →B, 2a a , ∀a ∈A ，则ϕ是从A 到B 的( A )。

A. 满射而非单射B. 单射而非满射C. 一一映射D. 既非单射也非满射18.设A=R （实数域）， B=+R （正实数集）， γ:a→a 10， a ∈A ，则γ 是从A 到B 的( C )。

A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射19.设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集的同态满射的是( C )。

→10x →2x →|x| →-x20. 数域P 上的n 阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法( C )A. 构成一个交换群B. 构成一个循环群C. 构成一个群D. 构成一个交换环 21.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为（ D ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 22 . 剩余类加群Z 8的子群有( B )。

`A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个23. 下列含有零因子的环是 （ B ）A. 高斯整数环Z[i]B.数域P 上的n 阶全矩阵环C. 偶数环 2ZD. 剩余类环5Z 24． 设(R,+,·)是一个环，则下列结论正确的是（ D ）A. R 中的每个元素都可逆B. R 的子环一定是理想C. R 一定含有单位元D. R 的理想一定是子环 25．设群G 是6阶循环群，则群G 的子群个数为（ A ） A ． 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个26. 设A = {a, b, c}，B = {1,2,3}, 则从集合A 到集合B 的满射的个数为 ( D )。

A. 1B. 2C. 3D. 627. 设集合 A = {a, b, c}, 则以下集合是集合A 的分类的是 ( C )\A. 1P = { {a, b},{a, c}}B. 2P = {{a},{b, c},{b,a}}C. 3P = {{a},{b,c}}D. 4P = {{a,b},{b,c},{c}}28. 设R = 00a a b Z b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( A )。

A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环29. 设S 3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3的子群的个数是( D )。

A. 1B. 2C. 3D. 630. 在高斯整数环Z[i]中，单位元是( B )。

A. 0B. 1C. iD. i -31.. 设G 是运算写作乘法的群，则下列关于群G 的子群的结论正确的是 ( B )。

、A. 任意两个子群的乘积还是子群B. 任意两个子群的交还是子群C. 任意两个子群的并还是子群D. 任意子群一定是正规子群32. 7阶循环群的生成元个数是( C )。

A. 1B. 2C. 6D. 7 33. 设A={a,b,c}，B={1,2,3}, 则从集合A 到集合B 的映射有( D )。

A. 1 B. 6 C. 18 D. 2734. 设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。

那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ D ）和x -； 和0； C.k 和k x 2-； D.k -和)2(k x +-}35. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素，且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ A ）A.11--a bc ；B.11--a c ；C.11--bc a ；D.ca b 1-。

36. 下列正确的命题是（ A ）:A.欧氏环一定是唯一分解环；B.主理想环必是欧氏环；C.唯一分解环必是主理想环；D.唯一分解环必是欧氏环。

37．设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。

如果=|H |6，那么G 的阶=G （ B ） ； ； ； 。

38. 设G 是有限群，则以下结论正确．．的是（ A ） A. G 的子群的阶整除G 的阶 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群39．设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ D ） A.f 的同态核是1G 的正规子群； B.2G 的正规子群的原象是1G 的正规子群； C.1G 的子群的象是2G 的子群； D.1G 的正规子群的象是2G 的正规子群。

、40. 关于半群，下列说法正确的是：（ A ）A. 半群可以有无穷多个右单位元B. 半群一定有一个右单位元C. 半群如果有右单位元则一定有左单位元D. 半群一定至少有一个左单位元二、填空题(每空3分)1. 设A 是m 元集，B 是n 元集，那么A 到B 的映射共有 （ mn ）个. 2. 2. n 次对称群n S 的阶是（ n ！ ）.3.一个有限非交换群至少含有（ 6 ）个元素.4.设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有（ )1p -个.5.除环的理想共有（ 2 ）个.6.剩余类环6Z 的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是（ ［4］ ）.7.在 i+3, 2π, e-3中，（ 3i + ）是有理数域Q 上的代数元.8. 2在有理数域Q 上的极小多项式是（ 2x 2- ）. 9. 设集合A ={a,b}， B={1,2,3}，则A ⨯B=（)}.3,b (),3,a (),2,b (),2,a (),1,b ,1,a {(（）） 、10. 设R 是交换环，则主理想)(a =（ Z}.m R,r |ma {ra Ra ∈∈+=）11．设),3154(=π 则).1345(1=-π12 . 设F 是9阶有限域，则F 的特征是（ 3 ）. 13．设)2154(),351(21==ππ是两个循环置换，则=12ππ（（1342）） 14 . 设F 是125阶有限整环，则F 的特征是 （ 5 ）.15. 设集合A 含有3个元素，则A A ⨯的元素共有（ 9 ）个.16. 设群G 的阶是 2n,子群H 是G 的正规子群，其阶是n, 则G 关于H 的商群所含元素的个数是（ 2 ）. 17.设a 、b 是群G 的两个元，则 1)ab (-=（ 11a b --）.18. 环10Z 的可逆元是（ ]9[],7[],3[],1[）.19. 欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环， 但欧式环一定是主理想环）. 、20．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]a)(1=-a f f 。

21.设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n=，那么m 与n 存在整除关系为（n m 整除）。

22．设)31425(=π是一个5-循环置换，那么)).52413((1=-π。

23．有限群G 的阶是素数p ，则G 是（ 循环 ）群。

24．若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 （}R y ,x |ayx {i i iii ∈∑有限和）。

25．群),(12⊕Z 的子群有（ 6 ）个。