数学建模中竞赛阅读中的问题摘要本文主要研究的是数学建模竞赛中试卷的优化配发，评分的标准化处理及对教师的评阅效果定量评价的问题．问题一：针对试卷的随机分发问题，先利用MATLAB软件自带的randperm 函数产生一个1至500的随机矩阵，再用reshape函数对其进行重新排列成25行20列的矩阵，对矩阵y进行列列交换的变化成两个新矩阵y1与y2，构成75行20列的新矩阵z=[]2,1yy，从而实现对试卷的随机分发；针对均匀性问题，,y以交叉数的方差作为评价任务单均匀性的评定指标，从多个随机分配方案中，选取交叉数方差最小的任务单供组委会使用．问题二：评分的预处理需要对评阅教师的分数进行标准化，评分预处理方法是将不同的评分者变换到同一个尺度下，就是以某一位评分者的均值作为参照点，以其标准差表示距离转化为以零为参照点的标准分；然后采用均值为70标准差为10将标准分转化为百分制的标准，分这样使得标准分与原始分相差不大；最后将同一份试卷的三个标准评分的几何平均值作为该份试卷的最终标准分．将附录中的200份试卷的数据根据用Excel软件的统计与函数功能最终得到各份试卷的标准分值．问题三：针对教师评阅效果的评价问题，本文给出两个评价标准：分别是评阅的原始成绩的可信度和评阅的原始成绩与成绩标准化合成后的最终成绩的偏差值的稳定性．对于可信度，结合评分分制，对评阅的原始成绩与成绩标准化合成后的最终成绩的差分值做百分化处理，建立可信度数学模型，得出可信度最高的有10，11，15，19，20号教师，高达96%；对于偏差值的稳定性，采用偏差值的方差来反映，得出稳定性最好的是第3号教师，稳定性较好的还有第1，7，10，11，19号教师．最后，综合可信度和偏差值的稳定性两项指标，得出评阅效果较好的教师有第1，3，10，11，15，19，20号教师，在下一次阅卷后合成成绩的时候可以考虑给他们以更大的权重．关键词：随机数矩阵标准化参照点可信度偏差值一、问题重述众所周知，数学建模问题无处不在，我们身边的生活、工作中随处可见各式各样的数模问题．数模竞赛之后都要经过阅卷的过程，除了几十名教师参与繁重的评阅试卷的工作外，许多管理工作都有很强的技术性．比如试卷的分发、教师评分的预处理、对每位教师评阅效果的评价等．这些做得好坏，直接影响着评阅的合理性和公正性，我们追求最优、最准确的评阅效果．一次竞赛通常试卷有几百份，评阅前已将试卷打乱编号．每份试卷就是一篇科技论文，评阅教师需要综合考虑各方面情况给出一个成绩．每份试卷应有三名不同的教师评阅，所给出的三个成绩合成该试卷的最后成绩．各位教师对自己所在单位的试卷应该回避，但这件事比较容易处理，我们这里就不考虑这个原因，也就是假设教师都没有本单位的试卷．问题一：试卷的随机分发考虑有500份试卷由20名阅卷教师评阅的情况．每份三人评阅就共需要1500人次，每人阅卷75份．提前编写程序，让试卷随机地分发到教师的任务单中．注意让每份试卷分给每位教师等可能，另外任何两位教师交叉共同评阅一份试卷的情况也尽量均匀，即尽量不要出现交叉次数过多或过少的情况．再编写一个程序，对一次分发的任务单进行均匀性的评价．然后可以在多次生成的任务单中选出一个评价比较好的来使用．请给出两个程序的算法或框图，并选出一个好的分配任务单供使用及对它的评价．如果在评阅试卷时，每位教师都不能评阅本单位的试卷，该如何分发？问题二：评分的预处理全部阅完之后，就要进行成绩的合成了．但是，每个人见到的卷子不同，实际评分标准也不完全相同（尽管评阅前已经集体开会、讨论，统一评卷标准），大家的分数没有直接的可比性，所以不能简单地合成，需要预处理．比如，可能出现一份试卷的两位评阅教师都给出70分的评价，但是其中一个70分是他给出的最高分，另一个则是他的最低分，能认为这个试卷就应该是70分吗？！请设计一个成绩预处理的算法把教师给出的成绩算得标准化成绩，然后用三个标准化成绩就可以直接合成了，使得合成的成绩尽量地公平合理并且为后面对教师评阅效果的评价提供方便．问题三：教师评阅效果的评价阅卷全部结束之后，组织者要对所聘请的教师有一个宏观的评价，哪些教师比较认真，对评分标准掌握得也好，看论文又快又准，因此给出的成绩比较准确，是这次阅卷的主力．下次再有类似的事情一定还请他们来，甚至于在下一次阅卷后合成成绩的时候给他们以更大的权值．这些除了在日常的生活工作中会有所感觉外，大家给出的成绩也会说明一些问题．请制定一个方法，利用每人给出的成绩，反过来给教师的评阅效果给出评价．二、问题分析问题一（试卷的随机分发）针对试卷的随机分发问题，为了使各位教师得到随机的分配试卷，先利用MATLAB软件产生随机矩阵并重排产生75行20列新矩阵，其分别代表各老师的阅卷编号和各阅卷老师．最后通过运行程序得出平均交叉数，且生成几组可供用的任务单。

针对均匀性问题，以交叉数的方差作为评价任务单均匀性的评定指标，从多个随机分配方案中，选取交叉数方差最小的任务单供评阅小组使用。

问题二（评分的预处理）由于像数学建模这样的开放性竞赛答卷，都是由每一个考生按照自己的思维所得到的答案，所以答卷并没有标准的答案，每一位教师的评分标准不同对于一份试卷的所给的分值也不一样，也就是老师的主观因素对答卷的分数起很重要的作用，因此需要对教师的分数进行标准化处理；标准化处理的方法有很多比较著名的方法有两种分别是：归一化法、标准化分数评分法．由于归一化法本身存在着复杂难以实现，条件苛刻等的缺点而标准化分数评分法具有较强的理论依据且能较好的把不同平均值、标准差的一组分数转换为平均数为0标准差为1统一的，固定不变的标准形式，因此选择放弃归一化法而采用标准化分数评分法对评分进行预处理。

采用标准化分数评分法对分数进行标准化后出现的分数会有正有负还有零而不是百分制的分数会让人们难以接受，因此需要把这些分数转化为百分制的分数转化为百分制，需要找到一个参照点作为参照以便分数统一转化，避免再次出现不同标准的分数．最后就是把同一份试卷的三个分数的标准分（经过转化为百分制的标准分）的几何平均值作为这份试卷的最终得分。

问题三（教师评阅效果的评价）要对教师评阅的效果做出评价，需要给出评价的标准，而题目已经明确给出，对教师评阅效果的评价仅以教师给出的分数为参考，不考虑其他因素，那么主要是对每位教师给出的分数进行分析以及与试卷的最终成绩作比对，据此可以考虑评价的标准为：1、教师评阅的原始成绩的可信度，可信度越高，说明对评分标准的把握越好；2、教师评阅的成绩与成绩标准化合成后的最终成绩的偏离值的稳定性，稳定性越好，说明对评分标准的把握越好，给出的成绩越合理．三、模型假设1、每位教师得到每份试卷是随机的；2、每位教师批改试卷时对待每一份试卷都是公平公正的；3、教师不能认出所批阅的试卷是谁写的；四、符号说明z ：教师交叉评阅一份试卷的份数；K ：交叉人数；D ：交叉次数的方差；ij z ：表示第i 份试卷第j 位教师的标准化评分；x ： 表示第i 份试卷第j 位教师的原始分数；j x ：表示第j 位教师的75份试卷的平均分；j σ：表示第j 位教师评分的标准差；ij F ：表示将标准化分数ij z 转化为百分制后的分数；ij F ：表示第i 份试卷平均标准化百分制的分数；ij y ：表示第i 分试卷第j 位教师的评阅分数与试卷最终得分的差值；j y ：表示第j 位教师所有评阅分数与试卷最终得分的差值的平均值；jS ：表示第j 位教师所有评阅分数与试卷最终得分的差值的方差；五、模型的建立与求解5．1 问题一（试卷的随机分发）：试卷随机分发过程需要随机的将试卷分发给各位评阅教师，并且需要评阅教师之间相互交换评阅但交换次数不能过多也不能过少．因此首先应该将试卷随机分发给每一位评阅教师的初步方案，再去分析判断评阅教师之间的交换次数．为了得到随机分发试卷给评阅教师的多个初步方案，首先将500份试卷从1～500编号然后将其打乱编号，再用MATLAB 软件自带的randperm 函数产生一个1至500的随机矩阵x=randperm （500），用reshape 函数对其进行重新排列成25行20列的矩阵y=reshape （x ，25，20）．因为一份试卷需要三位评阅教师进行批阅而矩阵y 只是满足了一个教师批阅一份试卷，因此需要三个矩阵来表示评阅教师所批阅的试卷；所以对矩阵y 进行列列交换的变化成两个新矩阵y1与y2将矩阵y ，y1，y2合成75行25列的新矩阵z ，z=[]2,1,y y y ，其中z 的每一列元素即代表每一位老师所阅卷的编号，而相应的行则代表与其相应评阅教师对试卷所给的分数．在得到多个初步方案后，有可能出现某两位教师之间交叉次数特别多或者某两位教师之间没有一次交叉次数，对于这些不合理的初步方案应该将其去除留下一些交叉次数不过多也不过少的方案．因此用MATLAB 软件自带的intersect 函数得到每两位评阅教师之间交叉次数，先编写一个程序运行得到交叉次数的大致范围，然后根据交叉次数的范围大致确定出交叉次数应该在什么范围之内，再编写一个程序只是在原程序的基础上添加一个交叉次数的限制条件，运行程序得到一些交叉次数不过多也不过少的方案．其算法框图如图（1-1）所示：图（1-1）在多次运行程序后得到多个任务单但是每一个任务单的均匀性不可能全部相同，因此需要对每一个任务单的均匀性进行评价．因为每份试卷需要3个不同的老师批改3次，即交叉3次，所以500份试卷的总交叉次数的总数为1500次，总共有20位教师，所以总共有190220=C 组试卷交叉评阅比较组，假设任意两位教师交叉评阅一份试卷的份数为z ，则有1500191=∑=k z k ，解得，8947.7=z为了使任何两位教师的交叉共同评阅一份试卷的情况尽量均匀，以交叉数的方差作为评价任务单均匀性的指标，方差越小，交叉次数越稳定，即任务单的均匀性越高．用D 表示交叉数的方差，ij z 表示第i 位教师与第j 位教师交叉评阅试卷份数．得出方差的计算公式如下：∑∑==-=2012201220)(1j ij i z z C D ， (其中，=j i ,1，2，…，20；j i ≠）．最后用MATLAB 软件对上述内容进行编程评价上一个程序得到的任务单；其程序的算法框图如图（1-2）所示：图（1-2）运行程序得到三组随机数（如附录所示）并且得到与其相应的方差及交叉数，通过利用模型判断出一个较好任务单任务单由于数据较多所以只给出了前四行数据如下所示：463 448 431 17 116 372 91 139 452 386 374 247 214 297 254 306 36 378 320 71 103 449 493 117 489 241 2 392 390 171 252 84 115 269 332 324 352 439 136363373 368 351 132 190 263 179 359 350 337 237 86 184 441 89 473 394 456 458177438 389 228 25 77 99 421 360 349 442 357 472 60 446 411 464 403 310 33 18 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….得到此任务单的交叉数为. 5 5 5 5 30 5 5 5 5 10 5 5 5 5 30 5 5 5 5 5 5 5 5 30 5 5 5 5 10 5 5 5 5 30 5 5 5 5 5 5 5 30 5 5 5 5 10 5 5 5 5 30 5 5 5 5 5 5 30 5 5 5 5 10 5 5 5 5 30 5 5 5 5 5 30 5 5 5 5 10 5 5 5 5 30 5 5 5 5 30 5 5 5 5 10 5 5 5 5 5 5 5 5 30 5 5 5 510 5 5 5 5 5 5 5 30 5 5 5 5 10 5 5 5 5 5 5 30 5 5 5 5 10 5 5 5 5 5 30 5 5 5 5 10 5 5 5 5 30 5 5 5 5 5 5 5 5 30 5 5 5 5 5 5 5 30 5 5 5 5 5 5 30 5 5 5 5 5 30 5 5 5 5 5 5 5 5 5得到各组交叉数方差为58.7528从这组随机数的交叉数可以看出虽然各组交叉数基本上都是5但是存在着少数较大的交叉数如交叉数30，但是从总体上来看这些交叉数还是较为平均的；但是存在着一些较为极端的交叉数所以导致方差较大因此这个任务单只能是一个比较合理的任务单。