近世代数习题解答第一章 基本概念1 集合1.A B ⊂,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ׃只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ∉,显然矛盾; 若A B ⊂,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A =2.假定B A ⊂,?=B A ,A ∩B=? 解׃ 此时, A ∩B=A,这是因为A ∩B=A 及由B A ⊂得A ⊂A ∩B=A,故A B A = ,B B A ⊃ , 及由B A ⊂得B B A ⊂ ,故B B A = ,2 映射1.A =}{100,3,2,1，⋯⋯,找一个A A ⨯到A 的映射. 解׃ 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ⨯到A 的映射.2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ⨯到A 的一个元的的象? 解׃容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ⨯的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ⨯的象.3 代数运算1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ⨯到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ?解׃取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ⨯到D 的代数运算;同时说明这样的D 不只一个.2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解׃a b c aa b c a b c b b c aaa a ac c a b bd a aca a a4 结合律1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:bab a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解׃ 这个代数运算不适合结合律: 212)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠.2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律?解׃ 这个代数运算不适合结合律c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c .3.A ={c b a ,,},由表所给的代数运算适合不适合结合律?解׃ 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.5 交换律1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律?解׃ 一般地a b b a -≠- 除非b a =.2.},,,{d c b a A =,由表a b c d a a b c d b b d a c c c a b d dd c a b所给出代数运算适合不适合交换律? 解׃ d d c = , a c d =a b c aa b cb bc a cc a b从而c d d c ≠.故所给的代数运算不适合交换律.6 分配律假定:⊗⊕,是A 的两个代数运算,并且⊕适合结合律,⊕⊗,适合两个分配律.证明)()()()(22122111b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗ )()()()(22211211b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗= 证׃)()()()(22122111b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗ =])[(])[(221121b a a b a a ⊗⊕⊕⊗⊕ =)()(2121b b a a ⊕⊗⊕=)]([)]([212211b b a b b a ⊕⊗⊕⊕⊗)()()()(22211211b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗=7 一 一 映射、变换1.A ={所有0〉的实数},=-A {所有实数}.找一个A 与-A 间的意义映射.证 φ:a a a log =→-因为a 是大于零的实数,所以a log 是实数即 A a ∈,而--∈A a ,而且b a b a log log =⇒=.因此φ是A 到-A 的映射.又给了一个-A 的任意元-a ,一定有一个A 的元a ,满足-=a a log ,因此φ是A 到-A 的满射.a a a log =→-b b b l o g =→-若 b a ≠, 则 b a log log ≠.即 --≠⇒≠b a b a 因此φ又是A 到-A 的单射.总之,φ是A 到-A 的一一映射.2. A ={所有0≥的实数},=-A {所有实数-a ,10≤≤-a }. 找一个A 到-A 的满射. 证 a a a s i n :=→-φ,容易验证φ是A 到-A 的满射.3.假定φ是A 与-A 间的一个一一映射,a 是A 的一个元.?)]([1=-A φφ?)]([1=-a φφ若φ是A 的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?解׃ a a =-)]([1φφ, a a =-)]([1φφ未必有意义;当φ是A 的一一变换时,.)]([,)]([11a a a a ==--φφφφ8 同态1.A ={所有实数x },A 的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A 到A 的一个子集-A 的同态满射?x x a →) x x b 2)→ 2)x x c → x x d -→)证׃ )a 显然=-A {所有0≥的实数}.又由于 y x xy xy =→ 可知x x →是A 到-A 的同态满射.)b 由于)2)(2(2y x xy xy ≠→ ( 除非0=xy )所以x x 2→不是A 到-A 的同态满射.)c 由于222)()()(y x xy xy =→,易知2x x →是A 到-A 的同态满射.这里-A ={所有0≥的实数}.)d 一般来说,))((y x xy --≠-,:所以x x -→不是A 到-A 的同态满射 .2. 假定A 和-A 对于代数运算ο和-ο来说同态，-A 和=A 对于代数运算-ο和=ο来说同态，证明 A 和=A 对于代数运算ο和=ο来说同态。

证: 用:1φ -→a a 表示A 到-A 的同态满射,2φ =-→a a 表示-A 到=A 的同态满射.令φ： ])([12a a a φφ=→=,容易验证φ是A 到=A 的满射 ===---==→b a b a b a b a οοϕοφφο)][()]([212所以φ是A 和=A 的关于代数运算=οο,来说的同态满射。

9 同构、自同构1.A ={c b a ,,},代数运算ο由下表给定a b c a c c c b c c c cc c c找出所有A 的一一变换.对于代数运算ο来说,这些一一变换是否是A 的子同构.证 : 所有A 的一一变换有6个 a a →:1τ b b → c c → b a →:2τ a b → c c → b a →:3τ c b → a c → c a →:4τ b b → a c → c a →:5τ a b → b c → a a →:6τ c b → b c → 容易验证1τ及2τ是A 的子同构.2.A ={所有有理数},找一个A 的对于普通加法来说的子同构 (映射x x ↔除外)证 φ:x x 2→,对普通加法来说是A 的一个子同构,验证这一点是容易的.3.=A {所有有理数};A 的代数运算是普通加法.=-A {所有0≠的有理数}-A 的代数运算是普通乘法.证明 对于给的代数运算来说,A 与-A 间没有同构映射存在(现决定 0在一个同构映射之下的象)证: 设A 与-A 间有同构映射φ存在,先看在φ之下0的象00-→a 再看在φ之下某一元a 的象-→a a , 那么 --→+a a a 00 . 但a a =+0. 所以---=a a a 0 ,0≠-a 故必10=-a , 即10→对-∈-A 1来说,在φ之下设有A x ∈≠0, 1-→x 由于φ是一同构映射,于是)1)(1(12--=→=+x x x 但又知,10→,故,02=x 从而0=x ,与0≠x 矛盾.>10 等价关系与集合的分类1.A ={所有实数},A 的元间的关系〉以及≥是不是等价关系? 解׃ >不是, 因为a 不大于a ≥ 不是等价关系, 因为12≥但1不大于等于2.2.有人说:假如一个关系R 适合对称和推移律,那么它也适合 反射律.他的推论方法是:因为R 适合对称律bRa aRb ⇒ 因为R 适合推移律 a R a b R a a R b ⇒, 这个推论方法有什么错误?证: 这里aRa 的a 是受对称律,推移律约束的而不是集合中的任意a .今举一例 说明上述推论方法是错误的:比如:A ={}2,ππ,是” 互补”是A 的元间的一个关系.容易验证这一关系R 适合对称律,推移律,但不适合反射律.3.仿照例3规定整数间的关系 )5(-≡b a证明你所规定的一个等价关系,并且找出模5-的剩余类.证 : 规定)5(-≡b a 当而且只当b a --5时, 因为b a --5所以)5(-≡a a b a --5a b --⇒5 )5()5(-≡⇒-≡a b b a)5()5(,5-⇒-≡--a c b b a ,)5()5(),5(-≡⇒-≡-≡c a c b b a 因而是等价关系,对模5-的剩余类: },10,5,0,5,10,{]0[ --=},11,6,1,4,9,{]1[ --= },12,7,2,3,8,{]2[ --= },13,8,3,2,7,{]3[ --= },14,9,4,1,6,{]4[ --=。