类型二 二次函数性质综合题
针对演练
1. 已知抛物线和直线l 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x ＝－1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线l 上的点，且x 3<－1<x 1<x 2，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )
A. y 1<y 2<y 3
B. y 2<y 3<y 1
C. y 3<y 1<y 2
D. y 2<y 1<y 3
第1题图
2. 如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：① b 2
－4ac ＜0；② 方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝
－1，x 2＝3；③ 2a ＋b ＝0；④ 当y ＞0时，x 的取值范围是－1＜x ＜3；⑤当x ＞0时，y 随x 增大而减小．其中结论正确的个数是( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
第2题图
3. 一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)、二次函数y ＝ax 2
＋bx 和反比例函数y ＝k
x
(k ≠0)在同一直角
坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为(－2，0)．则下列结论中，正确的是( ) A. b ＝2a ＋k B. a ＝b ＋k
C. a >b >0
D. a >k >0
第3题图
4. 如图，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象的顶点为(2，－3)，若|ax 2
＋bx ＋c |＝k 有三个不相等的实数根，则k 的值是( )
A. 3
B. －3
C. 4
D. －4
第4题图
5. 如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为(2，0)，若抛物线y ＝12x 2
＋k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，
则实数k 的取值范围是( )
A ．－2＜k ＜12
B ．－2＜k ＜－1
2
C ．－2＜k ＜0
D ．－2＜k ＜2－1
第5题图
6. 如图，抛物线y ＝－12
x 2
＋bx ＋c 过A (0，2)，B (1，3)，CB ⊥x 轴于点C ，四边形CDEF
为正方形，点D在线段B C上，点E在此抛物线上，且在直线BC的左侧，则正方形CDEF 的边长为________．
第6题图
答案
1. D 【解析】设点P0(－1，y0)为抛物线的顶点，∵抛物线的开口向下，点P0(－1，y0)为抛物线的最高点．∵直线l上y值随x值的增大而减小，且x3<－1，直线l在抛物线上方，∴y3>y0，∵在x>－1时，抛物线y随x的增大而减小，且－1<x1<x2，∴y0>y1>y2，∴y2<y1<y3.
2. B 【解析】∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，∴①错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点(－1，0)关于直线x＝1的对称点的坐标为(3，0)，∴方程ax2＋bx ＋c＝0的两个根是x1＝
－1，x2＝3，∴②正确；∵x＝－b
2a
＝1，即b＝－2a，∴2a＋b＝0，∴③正确；∵抛物线
与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，∴当
－1＜x＜3时，y＞0，∴④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，∴⑤错误．故正确的结论有②③④，共3个，故选B.
3. D 【解析】逐项分析如下：
4. A 【解析】如解图，将题图中抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数y＝|ax2＋bx＋c|的图象，其顶点坐标为(2，3)，当|ax2＋bx＋c|＝k有3个不相等的实数根时，作平行于x轴的直线y＝k，只有当k＝3时，直线与y＝|ax2＋bx＋c|的图象有3个交点，∴k＝3.
第4题解图
5. A 【解析】由图可知，∠AOB ＝45°，∴直线OA 为一、三象限的角平分线，∴直线OA
的解析式为y ＝x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝12
x 2＋k ，整理得x 2－2x ＋2k ＝0，b 2－4ac ＝(－2)2
－4×1×2k
＝4－8k ＝0，即k ＝12时，抛物线与OA 有一个交点，此时，方程为x 2
－2x ＋1＝0，解得x
＝1，∴此交点的横坐标为1，∵点B 的坐标为(2，0)，∴OA ＝2，∴点A 的坐标为(2，2)，∴交点在线段AO 上；当抛物线经过点B (2，0)时，1
2
×4＋k ＝0，解得k ＝－2，∴要使抛物
线y ＝12x 2＋k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，实数k 的取值范围是－2＜k ＜12
.
6. －3＋332 【解析】把A (0，2)，B (1，3)代入y ＝－12
x 2
＋bx ＋c 得，解得，∴二次函
数解析式为y ＝－12x 2＋3
2
x ＋2，设正方形CDEF 的边长为a ，则D (1，a )，E (1－a ，a )，把
E (1－a ，a)代入y ＝－1
2x 2＋32x ＋2得－12(1－a )2＋32
(1－a )＋2＝a ，整理得a 2＋3a －6＝0，
解得a 1＝－3＋332，a 2＝－3－332(舍去)，∴正方形CDEF 的边长为－3＋33
2.。