……○………_______班级：_______……○………绝密★启用前湖南省2016年普通高中学业水平考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．如图是某圆柱的直观图，则其正视图是（ ）A ．三角形B ．梯形C ．矩形D ．圆2．函数cos ,y x x R =∈的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．4π 3．函数f （x ）＝2x –1的零点为( ) A ．2 B ．12C ．12-D ．–24．执行如图所示的程序框图，若输入a ，b 分别为4，3，则输出的S =（ ）…○………………线…………○……※※请※※不※…○………………线…………○……A ．7B ．8C ．10D ．125．已知集合{|13},{|25}M x x N x x =<<=<<，则M N =I （ ） A ．{|12}x x << B ．{|35}x x << C ．{|23}x x <<D ．∅6．已知不等式组4,0,0x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩表示的平面区域为Ω，则下列坐标对应的点落在区域Ω内的是（ ） A ．(1,1)B ．(3,1)--C ．(0,5)D ．(5,1)7．已知向量(1,)a m =r ，(3,1)b =r ，若a b ⊥r r，则m =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．38．已知函数()y x x a =-的图象如图所示，则不等式()0x x a -<的解集为（ ）A ．{|02}x x ≤≤B ．{|02}x x <<C ．{|0x x ≤或2}x ≥D ．{|0x x <或2}x >9．已知两直线20x y -=和30x y +-=的交点为M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ） A ．22(1)(2)1x y +++= B ．22(1)(2)1x y -+-= 2222○…………线……_○…………线……10．某社区有300户居民，为了解该社区居民的用水情况，从中随机抽取一部分住户某年每月的用水量(单位：t )进行分析，得到这些住户月均用水量的频率分布直方图（如图），由此可以估计该社区居民月均用水量在[4,6)的住户数为（ ）A ．50B ．80C ．120D ．150第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．若sin 5cos αα=，则tan α=____________.12．已知直线1:320l x y -+=，2:10l mx y -+=.若12l l //，则m =________. 13．已知幂函数y x α=（α为常数）的图象经过点(4,2)A ，则α=________. 14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2a =，3b =，1cos 4C =-，则c =_______.15．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此收集若干数据，并对数据进行分析，得到加工时间(min)y 与零件数x （个）的回归方程为$0.6751y x =+.由此可以预测，当零件数为100个时，加工时间为__________.三、解答题16．从一个装有3个红球123,,A A A 和2个白球12,B B 的盒子中，随机取出2个球. （1）用球的标号列出所有可能的取出结果； （2）求取出的2个球都是红球的概率. 17．已知函数2()(sin cos ),f x x x x R =+∈.订…………○……内※※答※※题※※订…………○……（1）求()4f π的值；（2）求()f x 的最小值，并写出()f x 取最小值时自变量x 的集合. 18．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a +=. （1）求1a 及n a ；（2）若等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，求数列{}n n a b +的前n 项的和n S . 19．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45o ，求四棱锥P ABCD -的体积.20．已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =. （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由； （3）若不等式()()42xxf t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据直观图的概念可直接得出答案. 【详解】解：当圆柱直立放置时，正视图为矩形，边长分别为圆柱的底面直径和高. 故选：C. 【点睛】本题考查了圆柱的三视图，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】由余弦曲线的周期可直接得结果. 【详解】解：函数cos ,y x x R =∈的最小正周期是2π. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦曲线的周期性，是基础题. 3．B 【解析】 【分析】令f （x ）＝0，解一元一次方程即可求出函数的零点. 【详解】根据题意，函数f （x ）＝2x –1，令f （x ）＝0，即2x –1＝0，解可得x 12=，即函数f （x ）＝2x –1的零点为12，故选B ． 【点睛】本题考查了一次函数零点的求法，考查了解一元一次方程的能力.4．D 【解析】 【分析】模拟程序的运行过程，可得结果. 【详解】解：由框图可得4312S ab ==⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查根据输入数据，由程序框图得输出数据，是基础题. 5．C 【解析】 【分析】由交集的运算可直接得结果. 【详解】解：由集合{|13},{|25}M x x N x x =<<=<<， 得{|23}M N x x ⋂=<<. 故选：C. 【点睛】本题考查交集的概念和运算，是基础题. 6．A 【解析】 【分析】将选项中的点逐一代入验证即可. 【详解】解：点(1,1)满足不等式组400x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩中的每一个不等式；点(3,1)--不满足不等式组400x y x y +≤⎧⎪>⎨⎪>⎩中的每一个不等式；点(0,5)不满足不等式4x y +<； 点(5,1)不满足不等式4x y +<. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域，是基础题. 7．A 【解析】 【分析】由条件可得0a b ⋅=r r，代入坐标解方程呢即可. 【详解】解：由已知得30a b m ⋅=+=r r，则3m =-. 故选：A. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，是基础题. 8．B 【解析】 【分析】不等式()0x x a -<的解集看x 轴下方的图像即可. 【详解】解：根据图像可得不等式()0x x a -<的解集为{|02}x x <<. 故选：B. 【点睛】本题考查二次不等式的解集，是基础题. 9．D 【解析】【分析】联立两直线方程，得到交点坐标，即为圆心，再结合半径就可写出圆的方程. 【详解】解：联立2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得()2,1M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=. 故答案为：D 【点睛】本题考查圆的标准方程，是基础题. 10．C 【解析】 【分析】根据月均用水量在[4,6)的住户数占总体的比例可得答案. 【详解】解：由频率分布直方图可得该社区居民月均用水量在[4,6)的住户数为：()0.223001200.050.10.150.22⨯⨯=+++⨯.故选：C. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，是基础题. 11．5 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系将弦变切即可得答案. 【详解】解：由已知得sin tan 5cos ααα==. 故答案为：5. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，是基础题. 12．3 【解析】 【分析】根据直线与直线平行的系数关系列方程求解即可. 【详解】解：因为直线1:320l x y -+=，2:10l mx y -+=，且12l l //， 则()()311m ⨯-=-，解得3m =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查直线与直线的平行的系数关系，是基础题. 13．12【解析】 【分析】将点(4,2)A 代入幂函数y x α=计算即可得答案.【详解】解：将点(4,2)A 代入幂函数y x α=得24α=，得12α=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查的知识点是幂函数的解析式，其中根据已知构造方程，求出幂函数的解析式，是解答的关键. 14．4 【解析】 【分析】根据余弦定理直接计算即可. 【详解】解：由余弦定理得：2222212cos 23223164c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则4c =. 故答案为：4. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，是基础题. 15．118min 【解析】 【分析】令100x =，代入$0.6751y x =+即可. 【详解】解：当100x =时，$0.6710051118min y =⨯+=. 故答案为：118min . 【点睛】本题考查回归方程的应用，是基础题. 16．（1）答案见解析；（2）310【解析】 【分析】（1）利用列举法，列举所有可得；（2）列举出取出的2个球都是红球的所有能，再根据（1）的结果，利用古典概型公式求解即可. 【详解】解：（1）随机取出2个球的可能的结果有：11213112223212132312,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A A A A A A B B ；（2）取出的2个球都是红球的结果有121323,,A A A A A A ， 则取出的2个球都是红球的概率310P =. 【点睛】本题考查古典概型中基本事件的探求方法枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的，考查古典概型的概率公式，是基础题.17．（1）2；（2）()f x 的最小值为0，此时|,4x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭ 【解析】【分析】由已知可得()1sin 2f x x =+，（1）将4x π=代入()f x 即可；（2）根据正弦函数的性质求解即可.【详解】解：由已知得()12sin cos 1sin 2f x x x x =+=+，（1）1sin 242f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）由()1sin 2f x x =+得()f x 的最小值为0， 此时22,2x k k Z ππ=-+∈，即,4x k k Z ππ=-+∈，则()f x 取最小值时自变量x 的集合为|,4x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】 本题主要考查三角恒等变形及三角函数的性质，是基础题.18．（1）12a =，2n a n =；（2）2122n n S n n +=++-【解析】【分析】（1）由条件可得126a d +=，代入2d =解方程即可；（2）由（1）可得22n n n a b n +=+，通过分组求和法求数列的n 项的和.【详解】解：（1）由126a a +=，得126a d +=，又2d =，12a ∴=，22(1)2n a n n =+-=∴；（2）由题意122,24b b q ===，即2q =，2n n b ∴=，于是22n n n a b n +=+，故()221(242)22222n n n S n n n +=+++++++=++-L L .【点睛】 本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式及前n 项和公式等知识，同时考查运算求解能力，是基础题.19．（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）通过AC ⊥BD 与PD ⊥AC 可得AC ⊥平面PBD ；（2）由题先得出∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBD =45°，则可先求出菱形ABCD 的面积，进而可得四棱锥P - ABCD 的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，又PD BD D ⋂=，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，于是∠PBD =45°，因此BD =PD =2.又AB = AD =2，所以菱形ABCD 的面积为sin 60S AB AD ︒=⋅⋅=故四棱锥P - ABCD 的体积13V S PD =⋅=. 【点睛】 本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题.20．（1）3a =，函数()f x 的定义域()0,∞+（2）()g x 为奇函数，详见解析（3）2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）直接代值计算a 的值，写出定义域即可；（2）根据奇偶性的定义直接判断即可； （3）根据奇偶性将不等式化为42x xt t ⋅≥-，分离参数得241xx t ≥+在[]1,2上恒成立，解出t 的取值范围.【详解】(1)()3log 31a f ==，3a =；()()3log 0f x x x =>(2)()()()11g x f x f x =+--1010x x +>⎧⎨->⎩ ∴11x -<<()()()()11g x f x f x g x -=--+=-∴()g x 为奇函数；(3)()3log f x x =()f x 是单调递增函数()()42x x f t f t ⋅≥-420x x t t ⋅≥->()412x x t +≥2114122x x x xt ≥=++ 令122x xy =+ []1,2x ∈时上式为增函数min 15222y =+= 12552t ≥=又∵20x t ->∴()min 22xt <= 综上2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查对数函数的定义、证明函数的奇偶性以及利用函数单调性解抽象不等式，属于常考题.。