2018年北京市海淀区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．2．（2分）图1是数学家皮亚特•海恩（Piet Hein）发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成．图2不可能是下面哪个组件的视图（）A．B．C．D．3．（2分）若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是（）A．6B．5C．4D．34．（2分）下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．河图幻方D．谢尔宾斯基三角形5．（2分）如果a﹣b＝1，那么代数式的值是（）A．2B．﹣2C．1D．﹣16．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论中正确的是（）A．b+c＞0B．C．ad＞bc D．|a|＞|d|7．（2分）在线教育使学生足不出户也能连接全球优秀的教育资源．下面的统计图反映了我国在线教育用户规模的变化情况．（以上数据摘自《2017年中国在线少儿英语教育白皮书》）根据统计图提供的信息，下列推断一定不合理的是（）A．2015年12月至2017年6月，我国在线教育用户规模逐渐上升B．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持续上升C．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万D．2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70%8．（2分）如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x＝1，y＝3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（）A．点A的横坐标有可能大于3B．矩形1是正方形时，点A位于区域②C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是．10．（2分）我国计划2023年建成全球低轨卫星星座﹣﹣鸿雁星座系统，该系统将为手机网络用户提供无死角全覆盖的网络服务.2017年12月，我国手机网民规模已达753 000 000，将753 000 000用科学记数法表示为．11．（2分）如图，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝．12．（2分）请写出一个根为1的分式方程：．13．（2分）京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多2分钟（小时），求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为．14．（2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝72°，则∠BAE＝°．15．（2分）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝°．16．（2分）下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O和⊙O上一点P．求作：⊙O的切线MN，使MN经过点P．作法：如图2，（1）作射线OP；（2）以点P为圆心，小于OP的长为半径作弧交射线OP于A，B两点；（3）分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于M，N两点；（4）作直线MN．则MN就是所求作的⊙O的切线．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：19．（5分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD，过点B作CD的平行线EF，求证：BC平分∠ABF．20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2+1＝0．（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；（2）若m为负数，判断方程根的情况．21．（5分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AD＝2，则当四边形ABCD的形状是时，四边形AOBE的面积取得最大值是．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），Q（﹣1，2），函数y＝．（1）当函数y＝的图象经过点P时，求m的值并画出直线y＝x+m．（2）若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组（m＞0），求m 的取值范围．23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D．（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；（2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝，求⊙O的半径．24．（6分）某校九年级八个班共有280名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全．收集数据调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中，合理的是（填字母）；A．抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本B．抽取各班体育成绩较好的40名学生的体质健康测试成绩组成样本C．从九年级中按学号随机选取男女生各20名学生的体质健康测试成绩组成样本整理、描述数据抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下：77 83 80 64 86 90 75 92 83 8185 86 88 62 65 86 97 96 82 7386 84 89 8 692 73 57 77 87 8291 81 86 71 53 72 90 76 68 78整理数据，如下表所示：2018年九年级部分学生学生的体质健康测试成绩统计表50≤x ＜5555≤x＜6060≤x＜6565≤x＜7070≤x＜7575≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x＜10011224552分析数据、得出结论调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩（直方图）进行了对比，你能从中得到的结论是，你的理由是．体育老师计划根据2018年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目，则全年级约有名同学参加此项目．25．（6分）在研究反比例函数y＝的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深入分析．首先，确定自变量x的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y轴分成两部分；其次，分析解析式，得到y随x的变化趋势：当x＞0时，随着x值的增大，的值减小，且逐渐接近于零，随着x值的减小，的值会越来越大…，由此，可以大致画出y＝在x＞0时的部分图象，如图1所示：利用同样的方法，我们可以研究函数y＝的图象与性质．通过分析解析式画出部分函数图象如图2所示．（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横坐标为0的点A；（画出网格区域内的部分即可）（2）观察图象，写出该函数的一条性质：；（3）若关于x的方程＝a（x﹣1）有两个不相等的实数根，结合图象，直接写出实数a的取值范围：．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．（1）若a＝1，①当m＝b时，求x1，x2的值；②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c，使得x1≤c﹣1，且x2≥c+7成立，求m的取值范围．27．（7分）如图，已知∠AOB＝60°，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE⊥OB，交OB于点E，点D在∠AOB内，且满足∠DP A＝∠OPE，DP+PE＝6．（1）当DP＝PE时，求DE的长；（2）在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M，使得的值不变？并证明你的判断．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一点T不与O重合，使点P关于直线OT的对称点P'在⊙C上，则称P为⊙C的反射点．下图为⊙C的反射点P的示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0），⊙A的半径为2，①在点O（0，0），M（1，2），N（0，﹣3）中，⊙A的反射点是；②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙A的反射点，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，y轴上存在点P是⊙C的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x的取值范围．2018年北京市海淀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．2．（2分）图1是数学家皮亚特•海恩（Piet Hein）发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成．图2不可能是下面哪个组件的视图（）A．B．C．D．【分析】依次分析所给几何体从正面看及从左面看得到的图形是否与所给图形一致即可．【解答】解：A、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形；B、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形；C、主视图左往右2列正方形的个数均依次为1，1，不符合所给图形；D、主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形．故选：C．【点评】考查由视图判断几何体；用到的知识点为：主视图，左视图分别是从正面看及从左面看得到的图形．3．（2分）若正多边形的一个外角是120°，则该正多边形的边数是（）A．6B．5C．4D．3【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得＝3，即该正多边形的边数是3．故选：D．【点评】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．4．（2分）下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．河图幻方D．谢尔宾斯基三角形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（2分）如果a﹣b＝1，那么代数式的值是（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【分析】先计算括号内的减法，再计算乘法，继而将a﹣b＝1整体代入计算可得．【解答】解：原式＝＝•＝2（a﹣b），当a﹣b＝1时，原式＝2×1＝2，故选：A．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．6．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论中正确的是（）A．b+c＞0B．C．ad＞bc D．|a|＞|d|【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案．【解答】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，A、b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；B、＜0，故B不符合题意；C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；D、|a|＞|b|＝|d|，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a ＜b＜0＜c＜d是解题关键，又利用了有理数的运算．7．（2分）在线教育使学生足不出户也能连接全球优秀的教育资源．下面的统计图反映了我国在线教育用户规模的变化情况．（以上数据摘自《2017年中国在线少儿英语教育白皮书》）根据统计图提供的信息，下列推断一定不合理的是（）A．2015年12月至2017年6月，我国在线教育用户规模逐渐上升B．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持续上升C．2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万D．2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70%【分析】根据折线统计图表示出数量的增减变化情况解答．【解答】解：2015年12月至2017年6月，我国在线教育用户规模逐渐上升，A推断合理；2015年12月至2016年6月，我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持续下降，B推断不合理；2015年12月至2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万，C 推断合理；2017年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70%，D推断合理；故选：B．【点评】本题考查的是折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．8．（2分）如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x＝1，y＝3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（）A．点A的横坐标有可能大于3B．矩形1是正方形时，点A位于区域②C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等【分析】A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x＝1时，y＜3，得k＝xy＜3，因为y是矩形周长的一半，即y＞x，可判断点A的横坐标不可能大于3；B、根据正方形边长相等得：y＝2x，得点A是直线y＝2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；C、先表示矩形面积S＝x（y﹣x）＝xy﹣x2＝k﹣x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；D、当点A位于区域①，得x＜1，另一边为：y﹣x＞2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x＞1，y＞3，即另一边y﹣x＞0，可作判断．【解答】解：设点A（x，y），A、设反比例函数解析式为：y＝（k≠0），由图形可知：当x＝1时，y＜3，∴k＝xy＜3，∵y＞x，∴x＜3，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；B、当矩形1为正方形时，边长为x，y＝2x，则点A是直线y＝2x与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，故选项B不正确；C、当一边为x，则另一边为y﹣x，S＝x（y﹣x）＝xy﹣x2＝k﹣x2，∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，∴矩形1的面积会越来越大，故选项C不正确；D、当点A位于区域①时，∵点A（x，y），∴x＜1，y＞3，即另一边为：y﹣x＞2，矩形2落在区域④中，x＞1，y＞3，即另一边y﹣x＞0，∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；故选项④正确；故选：D．【点评】本题考查了函数图象和新定义，有难度，理由x和y的意义是关键，并注意数形结合的思想解决问题．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是．【分析】由在“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中只有1张写有“加”字，利用概率公式计算可得．【解答】解：∵在“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中只有1张写有“加”字，∴这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是，故答案为：．【点评】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．（2分）我国计划2023年建成全球低轨卫星星座﹣﹣鸿雁星座系统，该系统将为手机网络用户提供无死角全覆盖的网络服务.2017年12月，我国手机网民规模已达753 000 000，将753 000 000用科学记数法表示为7.53×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：753 000 000＝7.53×108．故选：7.53×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．（2分）如图，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝2．【分析】由AB∥DE，即可证得△ABC∽△ECD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE的长．【解答】解：∵AB∥DE，∴△ABC∽△ECD，∴，∵AC＝4，BC＝2，DC＝1，∴，解得：CE＝2．故答案为：2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．12．（2分）请写出一个根为1的分式方程：﹣1＝0．【分析】分式方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．【解答】解：把x＝1代入方程+k＝0中，得k＝﹣1，则有方程﹣1＝0．故答案为﹣1＝0，此题答案不唯一．【点评】本题考查了分式方程的解，此题答案不唯一，紧扣分式方程的定义，写出一个比较简单的方程即可．13．（2分）京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多2分钟（小时），求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为．【分析】设清华园隧道全长为x千米，根据“，地下隧道运行时间比地上大约多2分钟（小时）”列出方程．【解答】解：设清华园隧道全长为x千米，则地上区间全长为（11﹣x）千米，依题意得：．故答案是：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．14．（2分）如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝72°，则∠BAE＝36°．【分析】根据平行四边形的性质得到∠DCB＝（180°﹣∠D）＝108°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB＝∠D＝72°，由三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝72°，∴∠DCB＝（180°﹣∠D）＝108°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝72°，∠B＝180°﹣∠BCD＝72°∴∠BAE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案为：36【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．（2分）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝60°．【分析】如图2，连接OA、OC、OE，先计算得到AD＝BD+BC＝7，则根据阿基米德折弦定理得到点E为弧ABC的中点，即弧AE＝弧CE，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOE＝∠COE，接着利用圆周角得到∠AOC＝2∠ABC＝120°，则可得到∠AOE＝∠COE ＝120°，然后再利用圆周角定理得到∠CAE的度数．【解答】解：如图2，连接OA、OC、OE，∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，∴AD＝7，BD+BC＝7，∴AD＝BD+BC，而ED⊥AB，∴点E为弧ABC的中点，即弧AE＝弧CE，∴∠AOE＝∠COE，∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，∴∠AOE＝∠COE＝120°，∴∠CAE＝∠COE＝60°．故答案为60°．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形外心的定义和外心的性质．也考查了圆周角定理．16．（2分）下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O和⊙O上一点P．求作：⊙O的切线MN，使MN经过点P．作法：如图2，（1）作射线OP；（2）以点P为圆心，小于OP的长为半径作弧交射线OP于A，B两点；（3）分别以点A，B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于M，N两点；（4）作直线MN．则MN就是所求作的⊙O的切线．请回答：该尺规作图的依据是与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两点确定一条直线．．【分析】根据两点确定一条直线、线段的垂直平分线的性质和切线的判定定理进行作图．【解答】解：利用两点确定一条直线画OP，利用与一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上画MN⊥AB于P，利用经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线确定MN为⊙O的切线．故答案为两点确定一条直线；与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和绝对值的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝3﹣2+3×+2﹣＝5﹣2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）解不等式组：【分析】根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣3，解不等式②，得x＜2，所以原不等式组的解集为﹣3＜x＜2．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．19．（5分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD，过点B作CD的平行线EF，求证：BC平分∠ABF．【分析】根据直角三角形的性质得到CD＝BD，根据等边对等角得到∠ABC＝∠DCB，根据平行线的性质证明即可．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴，∴∠ABC＝∠DCB，∵DC∥EF，∴∠CBF＝∠DCB，∴∠CBF＝∠ABC．∴BC平分∠ABF．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2+1＝0．（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；（2）若m为负数，判断方程根的情况．【分析】（1）由方程根的定义，代入可得到关于m的方程，则可求得m的值；（2）计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可．【解答】解：（1）∵m是方程的一个实数根，∴m2﹣（2m﹣3）m+m2+1＝0，∴；（2）△＝b2﹣4ac＝﹣12m+5，∵m＜0，∴﹣12m＞0．∴△＝﹣12m+5＞0．∴此方程有两个不相等的实数根．【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．21．（5分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AD＝2，则当四边形ABCD的形状是正方形时，四边形AOBE的面积取得最大值是2．【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；（2）根据正方形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB．∵OE＝CD，∴OE＝AB．∴平行四边形AEBO是矩形，∴∠BOA＝90°．∴AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形；（2）当AD＝2时，四边形ABCD的形状是正方形，AB＝AD＝2，OE＝AB＝2，即四边形AOBE的面积取得最大值是2．故答案为：正方形，2【点评】此题考查菱形的判定和性质，解本题的关键是根据平行四边形的性质和菱形的判定解答．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），Q（﹣1，2），函数y＝．（1）当函数y＝的图象经过点P时，求m的值并画出直线y＝x+m．（2）若P，Q两点中恰有一个点的坐标（x，y）满足不等式组（m＞0），求m 的取值范围．【分析】（1）依据函数的图象经过点P（2，2），即可得到m＝4．进而得出函数y ＝x+4的图象；（2）当点P（2，2）满足（m＞0）时，解不等式组得0＜m＜4．当点Q（﹣1，2）满足（m＞0）时，解不等式组得m＞3．即可得到m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数的图象经过点P（2，2），∴，即m＝4．∴y＝x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝﹣4，图象如图所示．（2）当点P（2，2）满足（m＞0）时，解不等式组得0＜m＜4．当点Q（﹣1，2）满足（m＞0）时，解不等式组得m＞3．∵P，Q两点中恰有一个点的坐标满足（m＞0），∴m的取值范围是：0＜m≤3，或m≥4．【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D．（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；（2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE，OF，如图，利用等腰三角形的性质得到∠DOF＝∠DOE．而∠DOE＝2∠A，所以∠DOF＝2α，再根据切线的性质得∠OFD＝90°．从而得到∠D＝90°﹣2α；（2）连接OM，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝90°．再证明OM∥AE得到∠MOB ＝∠A＝30°．而∠DOF＝2∠A＝60°，所以∠MOF＝90°，设⊙O的半径为r，利用含30度的直角三角形三边的关系得OM＝BM＝r，然后根据勾股定理得到即（r）2+r2＝（）2，再解方程即可得到⊙O的半径．【解答】解：（1）连接OE，OF，如图，∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴∠DOF＝∠DOE．∵∠DOE＝2∠A，∠A＝α，∴∠DOF＝2α，∵FD为⊙O的切线，∴OF⊥FD．∴∠OFD＝90°．∴∠D+∠DOF＝90°，∴∠D＝90°﹣2α；（2）连接OM，如图，∵AB为⊙O的直径，∴O为AB中点，∠AEB＝90°．∵M为BE的中点，∴OM∥AE，∵∠A＝30°，。