数学分析教学内容
前两个学期的教学内容是在《数学分析教程》（科大版）的基础上删改而成。
同样的教材上下册，曾经在ACM班的教学中，多次使用，稍加删减两个学期可以完成。
我们这里就是这样做的。
第三学期是更加深入的分析内容。
为了更明确的表示修改的内容，下面黑色的是原书目录。
改动的地方用彩色标出。
第一学期
第1章实数和数列极限
§1.1数轴
§1.2无尽小数
§1.3数列和收敛数列
§1.4收敛数列的性质
§1.5数列极限概念的推广
§1.6单调数列
§1.7自然对数底e
§1.8 基本列和收敛原理
§1.9上确界和下确界
§1.10有限覆盖定理
§1.11上极限和下极限
§1.12stolz定理
§1.13数列极限的应用
第2章函数的连续性
§2.1集合的映射
§2.2集合的势
§2.3函数
§2.4函数的极限
.§2.5极限过程的其他形式
§2.6无穷小与无穷大
§2.7连续函数
§2.8连续函数与极限计算
§2.9函数的一致连续性
§2.10有限闭区间上连续函数的性质§2.11函数的上极限和下极限
§2.12混沌现象（去掉）
第3章函数的导数
§3.1导数的定义
§3.2导数的计算
§3.3高阶导数
§3.4微分学的中值定理
§3.5利用导数研究函数
§3.6l hospital法则
§3.7函数作图
第4章一元微分学的顶峰——taylor定理
§4.1函数的微分
§4.2带peano余项的taylor定理
§4.3带lagrange余项和cauchy余项的taylor定理
第5章插值与逼近初步（去掉）
§5.1lagrange插值公式
§5.2多项式的bernstein表示
§5.3bernstein多项式
第6章求导的逆运算
§6.1原函数的概念
§6.2分部积分和换元法
§6.3有理函数的原函数（简单介绍一下有理函数的原函数是可以求的。
不讲具体的求法。
）
§6.4可有理化函数的原函数
第7章函数的积分
§7.1积分的概念
§7.2可积函数的性质
§7.3微积分基本定理
§7.4分部积分与换元
§7.5可积性理论
§7.6lebesgue定理（看具体情况选讲）
§7.7反常积分
§7.8面积原理
§7.9wallis公式和stirling公式（去习题课）§7.10 数值积分（去掉）
第8章曲线的表示和逼近（去掉）
§8.1参数曲线
§8.2曲线的切向量
§8.3光滑曲线的弧长
§8.4曲率
§8.5bézier曲线
第9章数项级数
§9.1无穷级数的基本性质
§9.2正项级数的比较判别法
§9.3正项级数的其他判别法
§9.4一般级数
§9.5绝对收敛和条件收敛
§9.6级数的乘法
§9.7无穷乘积
第10章函数列与函数项级数
§10.1问题的提出
§10.2一致收敛
§10.3极限函数与和函数的性质
§10.4由幂级数确定的函数
§10.5函数的幂级数展开式
§10.6用多项式一致逼近连续函数
§10.7幂级数在组合数学中的应用（去掉）
§10.8从两个着名的例子谈起
第二学期
第11章反常积分（本章和级数的内容太平行了，改课外选读）
第12章§11．1非负函数无穷积分的收敛判别法
第13章§11．2无穷积分的dirichlet和abel收敛判别法
第14章§11．3瑕积分的收敛判别法
第12章fourier分析
§12．1周期函数的fourier级数（加入复值形式）
§12．2fourier级数的收敛定理（不要讲奇偶延拓问题，逐点收敛只要知道分段可维就好了）
§12．3fourier级数的cesaro求和（去掉）
§12．4平方平均逼近
§12．5fourier积分和fourier变换（增加傅立叶积分介绍）
第13章多变量函数的连续性
§13．1n维euclid空间
§13．2rn中点列的极限
§13．3rn中的开集和闭集
§13．4列紧集和紧致集
§13．5集合的连通性
§13．6多变量函数的极限
§13．7多变量连续函数
§13．8连续映射
第14章多变量函数的微分学
.§14．1方向导数和偏导数
§14．2多变量函数的微分
§14．3映射的微分
§14．4复合求导
§14．5拟微分平均值定理
§14．6隐函数定理
§14．7隐映射定理
§14．8逆映射定理
§14．9高阶偏导数
§14．10taylol公式
§14．11极值
§14．12条件极值
第15章曲面的表示与逼近（去掉）§15．1曲面的显式方程和隐式方程
§15．2曲面的参数方程
§15．3凸曲面
§15．4bernstein-bezier曲面
第16章多重积分
§16．1矩形区域上的积分
§16．2可积函数类
§16．3矩形区域上二重积分的计算
§16．4有界集合上的二重积分
§16．5有界集合上积分的计算
§16．6二重积分换元（不严格证明，留待第三学期）§16．7三重积分
§16．8n重积分
§16．9重积分物理应用举例
第17章曲线积分
§17．1第一型曲线积分
§17．2第二型曲线积分
§17．3green公式
§17．4等周问题
第18章曲面积分
§18．1曲面的面积
§18．2第一型曲面积分
§18．3第二型曲面积分
§18．4gauss公式和stokes公式
§18．5微分形式和外微分运算（不讲，放第三学期）
第19章场的数学
§19．1数量场的梯度
§19．2向量场的散度
§19．3向量场的旋度
§19．4有势场和势函数
§19．5正交曲线坐标系中梯度、散度和旋度的表达式
第20章含参变量积分
§20．1含参变量的常义积分
§20．2含参变量反常积分的一致收敛
§20．3含参变量反常积分的性质
§20．4γ函数和b函数（介绍定义）
§20．5n维球的体积和面积（改习题）
第三学期
一．实数公理化理论
二．积分理论
a)多元函数的若当积分理论。
包括一个若当面积的定义，可积性
的严格讨论，换元公式的严格证明；
b)Riemann-Stieltjes 积分理论；
c)欧式空间中的子流形上的积分；
d)微分形式积分与广义Stokes定理。
三．Lebesgue积分简介与Fourier积分续
a)Lebesgue积分的定义
b)Lebesgue积分与Riemann积分之比较
c)积分与极限号交换
d)Fourier积分的L^1理论
e)Fourier积分的L^2理论
f)广义函数简介
四．无穷维分析
a)Banach空间定义
b)Banach空间之间的可维映射
c)无穷维隐函数定理，反函数定理
d)压缩映射原理
e)Banach空间上的常微分方程。