如何培养学生运用数学知识的能力
作者：刘娟英
来源：《中学教学参考·语英版》2011年第10期
在多年的教学实践中，笔者发现不少学生有此困惑：“在课内接受教师传授的数学知识并没有太大的困难，但在课后自己动手解决问题时却感到很难.”笔者认为，这是由于学生应用数学知识的能力差，而怎样培养学生应用数学知识的能力是我们一线教师面临的一大课题
一、联想性知识
大多数学生感到数学难并不是掌握知识难，而是遇到数学问题，不知道该从哪入手，该用什么知识去解决.对于他们来说，知识不是难在贮存，而是怎样检索和提取.那么，怎样使学生在解决问题时能顺利地检索和提取到所需要的知识呢?根据心理学的条件反射原理，将所学的知识变成联想性知识，形成“已知……，就可以推出……”“要解决这一问题，就需要已知……”等联想性知识.面对问题，学生就能条件反射地进行联想和转化.所以，数学教师在教学中应注重培养学生形成联想性知识.同时，数学知识有文字语言、符号语言、图形语言，教学中也应重视培养学生这三种语言间的转化
如：奇函数的概念教学中，不但要让学生知道概念的内容，更要让学生认识到如何运用概
念：如果函数（x∈区间D，0∈D）是奇函数，就联想到有f(0)=0；如果函数f(x)是奇函数，就可联想对于定义域内的每一个x都有f(-x)=-f(x)；如果函数f(x)是奇函数，就可联想到其图像关于原点对称；要判断一个函数是否是奇函数，就联想到必须有定义域关于原点对称且f(-x)=-
数学的概念、定理一般是从实践经验中总结概括出来的，通常需要满足一定的条件和范围，随着概念、定理的演变，其适用的条件和范围也会随着改变.将数学知识形成联想性知识时，必须让学生明白此概念、公式的适用前提
如：对于直线方程的截距式xa+yb=1
，只有当a≠0且b≠0时才适用，即此方程不能表示截距为零的直线，不能表示过原点的直线，这在解题中要特别注意
【例】求过点(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程
分析：(待定系数法)(1)当截距不为0时，设方程为xa+yb=1，将点(2，3)代入即可求得a、b，得出直线方程
(2)当截距为0时，设方程为y=kx，将点(2，3)代入即可求k，得出直线方程
因为学生学习概念时，对概念的适用条件和范围没有很好地重视，所以解上例时第二种情况容易被忽略.教学中教师须不断地强调
将数学知识形成联想性知识，应注意培养学生从特殊到一般和一般到特殊的联想.这可让
学生掌握的知识得到活化，提高数学知识在解决问题中的实效性，从而能在更广的范围内产生迁移效应
如：学习等差数列的前n项和公式-d2)n后，让学生分析其特征，不难得出前n项和为的数列是等差数列，它是一个关于n的二次
函数，可运用二次函数的有关知识进行求解
二、网络性知识
研究发现，学生解题能力的差异，体现在他们知识表征上的差别，能力强的学生头脑中的知识是有序排列的，是一个系统的知识体系.能力弱的学生头脑里的知识是零散孤立的，是一堆杂乱无章的东西.网络性知识，要求教师在教学每个知识点时，把它们置于一个大的知识框架中，重视对整个教材进行结构分析，使学生对所学的知识有一个整体认识
如：对于三角函数的公式，教师可以引导学生梳理好各公式间的关系，可采用下面图表记忆：
学生掌握的知识是纵横交错的，形成一个有层次结构的知识网络体系，就可以在应用数学知识时，在较广的范围内与其他知识建立联系
让学生头脑里的知识形成层次分明的网络结构，数学教师在教学过程中必须多采用类比教学法，知识间多做比较和类比，揭示知识间的区别与联系，让学生把相近的知识及相对的知识都对照放置，既有利于对知识的理解，也有利于对知识的检索和提取
三、策略性知识
问题是数学的核心，学习数学知识就是要运用它们解决问题，而解题需要联想，正是联想，使学生将面临的问题与相关的知识进行联系，使知识得到迁移，从而解决了问题.但如何进行联想，学生却没有头绪.所以，在教学中，数学教师要不断地鼓励学生展开联想，更要具体指导学生如何进行联想，帮助学生形成策略性知识.策略性知识是学生掌握如何思维的知识，它是知识结构的最高层次，对学生的思维起到监控和调节的作用
通过教学，让学生掌握两种数学解题的策略：顺推法和反推法.在解题过程教学中，教会学生用顺推法从以下思路探索解题途径：“题中已知条件是什么?由这些条件运用掌握的知识能推出哪些结论?所推出的结论与要解决的问题有何联系，哪些接近目标，是有效结论？哪些远
离目标，是无效结论？”然后再考虑“由所推出的有效结论，能不能进一步推出什么”，如此步步深入，直到推出最终目标.“正难则反”是数学解题的一个基本策略，即反推法，数学教师要教会学生用反推法从以下思路探索解题途径：即从后向前推，从要解决的问题出发 (要求的东西：未知量、结论)开始向前推，联想要解决这一问题，需要哪些条件，所需要的条件中哪些是已知或已推出，哪些需要进一步推导，逐步推过去.教师在教给学生使用反推法时，要注意引导学生形成以下的思维习惯：面对问题，条件反射地进入思维状态：“题中的目标是什么?未知量是什么?要求出未知量，需要什么条件?”一旦达到“力所能及”的东西，就可以由此作为出发点，顺着原路推出目标，即“从头想到尾，从尾想到头，两头中间靠
数学解题的过程就是一种等价转化的过程，属于策略性知识的教学.笔者认为数学的策略性知识有：顺推法、反推法、归纳法、类比法、数形结合法、化归法等等.策略性知识教学中教师一是要突出重要策略和常用策略教学，即注重通性通法，不要对所有策略平均用力；二是传授要与具体方法相结合，如“正难则反”策略，与之相对应的具体方法有：反证法、淘汰法、分析法、举反例法等.教会学生根据具体的问题，选择恰当的方法
在进行策略性知识教学时，还应注意遵循以下原则：（一）先易后难原则.即先教通性通法，即应用范围较广的，后教技巧性较强的特殊方法，即应用范围较窄的，要循序渐进；（二）形象教学原则.针对各种策略性知识要选择更多的恰当的事例说明，让学生能对所学的策略性知识有形象的认识；(三)分散教学原则.在短时间内不宜将过多的策略教给学生，不宜进行多种策略的密集训练；（四）化归教学原则.针对具体问题教给学生基本的转化策略.例如：对于不等式的解法，可以通过下图表使学生掌握其基本转化方法
四、自动性知识
研究表明，能力强的学生对典型题目经过反复训练后，能使解决各类典型题目的相关知识紧密地联系在一起，达到自动化的熟练程度，这些知识在头脑中形成网络状结构，层次分明，这样的知识点占据空间很小，便于检索、提取和应用
面对问题，学生是否能快速地作出反应，成功地解决问题，不但取决于学生头脑中是否存
有大量相关的知识，更取决于学生能否对知识和问题进行自动迁移.因为高手头脑中存有大量解决典型问题的自动性知识，所以高手在解题时，往往识别多于尝试，在处理繁杂问题时，善于将繁杂的问题分解为若干个简单的问题，将陌生的问题化归为熟悉的问题，从而又快又准地进行解题.所以，数学教师在教学中，应注重典型问题和通性通法的训练，对学生的训练既要注重知识的“质”，又要注重知识的“量”，让学生对所学的数学知识和基本方法得以牢固掌握，达到举一反三的程度，面对问题能自动联想，自动迁移.如：遇到高次函数、复杂函数的单调性问题就能自动联想到利用导数知识解之
参考文献
［1］郑毓信．数学方法论［M］．南宁：广西教育出版社，
［2］郑君文，张恩华．数学学习论［M］．南宁：广西教育出版社，
［3］康宇，罗拱云等．高中数学解题思维方法大全［M］．太原：山西教育出版社，
(责任编辑金铃）。