a、样本均值 x＝ 1
n
n i 1
xi ,它提供总体均值的信息。
b、样本方差S 2
1 n 1
n i 1
( xi
x)2 ,它提供总体方差的信息。
2005c-0、1-0样 4 本标准差S s2 ,它提供总体标准差的信息。
以上三个统计量是统计学中最重要、最常用的统计量。
在样本量n较小时，还有两个统计量，它们是：
㈠点估计
⑴定义：用样本的某一函设 是总体的某个未知参数，X是该总体的随机变
量，x1, x2 ,....xn是总体的一个样本量为n的样本，若
构造一个统计量，
估计，则称 是
的 点(x1估, x计2 ,..。..xn
)用它作为对
的
如抽取到一个 x1, x2 ,....xn，就可计算出 值，
设B( ) E( )
var( ) E[ E( )]2
B( )称偏倚，当B( )＝0时，E( )＝
此时称 是无偏的，否则称有偏的，无偏性是表示估计优
良性的一个重要指标，在选择估计值时尽量选用无偏估计量。
式中 var( ) 是估计量的方差，希望方差愈小愈好，这是估
计优200良5-01性-04 的另一指标。
⑵、抽样分布
统计量的分布称抽样分布
抽样分布的解释
2005-01-04
总体 8 9 9 11 10 9 11 12 10 13 9 10 11 13 10 10 9 10 10
2005-01-04 12
抽样分布的解释
样本1
11 11 9 10 8
x 9.8
样本2
9 40 11 8 13 10.2
样本3
质量分析与质量改进 培训内容2
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一、随机变量分布技术
1、质量改进用的随机变量分布 连续随机变量的概率分布问题。 采用概率密度的概念，即是随机变量（连
续）单位长度上的概率p（x） 概率密度函数是概率密度与随机变量（自
变量）的变化关系，显然p（x）≥0，它与x 轴所夹的面积恰好为1。其在区间（a，b） 上取值的概率P（a≤x ≤ b）为概率密度曲线 下，区间（a，b）上的面积。
此乃估计量中的一个具体值。
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⑵点估计优良性标准
是随机的，不能用某个具体的估计值来评价 是否接近
的优劣，应从多次使用中来评定。
与 之间总有偏差，即 ，但因 未知，其差也无法 得到，通常用多次采样，将不同的 进行 的平均。即
用
E( ) 来表征估计量 的优劣，因此
E( )2 [E( ) ]2 E[ E( )]2
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2、统计量与抽样分布 ⑴、统计量
样本通过加工把零散的信息集中起来以反映总体的特 征，其中构造样本函数是一种有效的方法，不同函数 反映总体的不同特征，通常我们将不含未知参数的样 本函数称为统计量。
统计量举例
设x1, x2 ,..., xn是来自某总体的一个样本，则常用的统计量
有如下几种：
2700 63 0.57
0.002
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问题二：分布中心与规格中心不重合时。不合格品率的计
算。1、允许有 1.5 的偏移；2、偏移只在一个方向上，
不能上下同时发生。
(1)当规格限为M 3时，距上规格限1.5，距下规格 限4.5，则PU P(x 1.5 ) 1 (1.5) 1 0.9332
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正态分布： ①概率密度函数
1
e
(
x )2 2 2
2
a、根据函数可知图形以 值构成纵向对称，
呈钟形曲线；
b、 为正态分布均值，是分布中心位置， 2
是正态分布的方差，表明分散性。 2 决定了正态
分布曲线的形状，故正态曲线用
x N(, 2)
表示；
c、曲线围绕横轴的总面积等于1；
p(x
84)
1(x )
1 (84 80.80) 1(2.46) 0.0069
1.3 不合格品率p=0.0001+0.0069=0.0070
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举例2：
已知：1、受控情况下，产品质量特性的分布 x N (, 2 )
2、产品规格限，包括上规格限 USL 和下规格限 LSL ，它 们是依据文件中的规定，顾客要求，公认的标准，企业 下达的任务书等来决定的。
66800 ppm
PL P(x 4.5 ) (4.5) 1 (4.5) 3.4 ppm (2)当规格限为M 6时，距上规格限4.5，距下规格 限7.5时。PL 0 PU P(x 4.5 ) 1 (4.5)＝3.4 ppm
3.4 ppm比不偏时的0.002 ppm增加了许多
d、固定 ，不同的 ，则曲线形状不变，只
是在横轴上的位置改变；
e、固定 ，改变 2 ，则曲线位置不变，只
是改变了形状。
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正态概率分布函数
m
P(x m)
1
( x )2
e 2 2 dx
2
有二条渐近线P() 0，P() 1
是递增函数
②标准正态分布
当 ＝0，＝1 的正态分布，称标准正态分布，记
因此以下正态分布的概率计算可方便的利用标准变换。
设x ~ N (, 2 )，则对任意实数a, b有
a)P(x b) (b ), P(x a) 1 ( a )
b)P(x a) 1( a )
c)P(a x b) (b ) ( a )
式中 () 为标准正态分布函数，可以直接查表。
Ⅰ P(u a) (a), P(u a) 1(a)
Ⅱ P(a) 1(a) Ⅲ P(a u b) (b) (a)
Ⅳ P( u a) P[a u a] (a) (a)
(a) [1 (a)] 2(a) 1
③标准正态分布的分位数
N（0，1）的 分位数是一个在分位数左侧面积为 ， 右侧面积恰好为1 的分界线，即 分位数是满足
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举例1：电阻器的规格限为 80 4k，服从正态分布，
均值80.80k， 1.3k 则其低于 Lsl 76k 的概率和超过
U sl pL
76k p(x
的概率分别为 Lsl ) p(x 76)
(
76
80.80) 1.3
(3.7) 0.0001
pU
p(x
U sl )
x 0.005
2005-01-04 u0.95 1.64 0.005 1.645
④正态分布的计算
任一正态变量x经过标准化变换(x u) / 后 都可以变 换成标准正态变量u。 例：x~N(10,22 )经标准化变换u= x-10 ~ N (0,1)
z
y ~ N (2, 0.32 )经u= y-z ~ N (0,1) 0.3
下列等式的实数
P(u ua ) a
ua 就是分位数，可根据概率 的大小在标准正态
表中查到。尾数可用内插法决定。
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例1：求 0.25 的分位数
因为表中 都大于0.5，不能直接查表，故需变换，
根据对称性知：
u0.25 u0.75 , u0.75 0.675
故u0.25＝－0.675
为 u ～ N（0，1）。其随机变量记为u，概率密度函
数记为
（u）
标准正态曲线只有一条（唯一），因而可制成表绘成
图，可以根据u的大小在表中查得对应的概率。
标准正态概率密度和标准正态概率分布表起同样的
作用
（u）=
1
eu2 / 2 ,（u）=
1
u eu2 / 2du
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2
2
根据定义及图形可获得如下的计算公式：
ii. t (n-1) 的峰值比N（0，1）略低，底部略宽；
iii. 当自由度（n－1）超过30时，两者区别不大。
iv. ③正态样S本2 的分布——2 分布
v.
定义：正态样本方S差2 除以总体方 差2
－1）倍的分布，是自由度为（n－1）2的
2005记-021(-为0n4 1)
的（n 分布，
(n 1)S 2
例：把钢材弯成钢夹，其间隙大小是一个重要特性，现 从生产线上随机取5个钢夹测量其间隙，得数据如下：
0.75 0.70 0.65 0.70 0.60 已知钢夹间隙服从正态分布 N (, 2)，试定出参数 , 2, 的无偏估计。
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解：用样本均值 x 估计 ，用样本方差 S 2估计 2：
11 10 9 11 13 10.8
样本4
12 9 10 11 10 10.4
•计算每个样本的均值，它们不全相等 •为什么这些样本均值不全相等呢？因为抽样的随机性 •若取更多的样本，会发生什么呢？会产生样本均值分布
样本1
s 1.30
样本2 样本3 样本4
1.93
1.48
1.14
•计算每个样本的标准差，它们也不全相等 •由于抽样的随机性，该样本标准差不全相等 •若取更多样本，会产生样本标准差的分布
1 0.99865 1350 ppm
P3 P[x ( 3 )] 1 (3)
0.00135 1350 ppm
规格限
1 2 3 4 5 6
合格品率（％）
68.27 95.45 99.73 99.9937 99.999943 99.9999998
不合格品率
（ppm）106 317300 45500
x (0.75 0.70 0.65 0.70 0.60) / 5 0.68
2 S 2 1 [0.072 0.022 0.032 0.022 0.082 ] 0.0325
2
n i 1
( xi
x)2