全国中考数学压轴题精选全解之二Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之二25.（杭州市）24. 在直角梯形ABCD 中，90C ∠=︒，高6CD cm =（如图1）。

动点,P Q 同时从点B 出发，点P 沿,,BA AD DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，两点运动时的速度都是1/cm s 。

而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C 。

设,P Q 同时从点B 出发，经过的时间为()t s 时，BPQ ∆的面积为()2y cm （如图2）。

分别以,t y 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P 在AD 边上从A 到D 运动时，y 与t 的函数图象是图3中的线段MN 。

（1）分别求出梯形中,BA AD 的长度； （2）写出图3中,M N 两点的坐标；（3）分别写出点P 在BA 边上和DC 边上运动时，y 与t 的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象。

解: （1）设动点出发t 秒后，点P 到达点A 且点Q 正好到达点C 时，BC BA t ==，则1630,102BPQ S t t ∆=⨯⨯=∴=（秒）则()()10,2BA cm AD cm ==； （2）可得坐标为()()10,30,12,30M N （3）当点P 在BA 上时，()213sin 010210y t t B t t =⨯⨯⨯=≤<； 当点P 在DC 上时，()()1101859012182y t t t =⨯⨯-=-+<≤ 图象略（图1）（图2）3）26.（宁波市）27．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．解：(1)如图2，点P即为所画点．(答案不唯一，但点P不能画在AC中点)。

(2)如图3，点P即为所作点．(答案不唯一)(3)连结DB，在△DCF与△BCE中，∠DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，∠ CF=CE.∴△DCF ≌△BCE(AAS)， ∴CD=CB ， ∴∠CDB=∠CBD. ∴∠PDB=∠PBD ， ∴PD=PB ， ∵PA≠PC∴点P 是四边形ABCD 的准等距点．(4)①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个． 27.(温州市)第24题.在ABC ∆中，,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以s 的速度沿BC 向终点C 移动。

过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连结EQ 。

设动点运动时间为x 秒。

（1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度；（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设EDQ ∆的面积为2()y cm ，求y 与月份x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 为何值时，EDQ ∆为直角三角形。

PP解：（1）在,4,3,5Rt ADC AC CD AD ∆==∴=中，,,EP DC AEP ADC ∴∆≅∆ 55,,,55444EA AP EA x EA x DE x AD AC ∴==∴==-即 （2）5,3,2BC CD BD ==∴=，当点Q 在BD 上运动x 秒后，DQ ＝2－,则21157(4)(2 1.25)42282y DQ CP x x x x =⨯⨯=--=-+即y 与x 的函数解析式为：257482y x x =-+，其中自变量的取值范围是：0＜x<(3)分两种情况讨论： ①当EQD Rt ∠=∠时，4,,EQ PC x EQ AC EDQADC ==-∴∆∆显然有又,EQ DQAC DC∴= 4 1.252, 2.543x x x --==即解得　2.5x =解得　②当QED Rt ∠=∠时，,,CDA EDQ QED C Rt EDQ CDA ∠=∠∠=∠=∠∴∆∆5(4) 1.252,,125EQ DQ x x CD DA --∴==即 3.1x =解得　综上所述，当x 为秒或秒时，EDQ ∆为直角三角形。

28.(金华市) 如图1，在平面直角坐标系中，已知点(0A ，点B 在x 正半轴上，且30ABO =∠．动点P 在线段AB 上从点A 向点B个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x 轴上取两点M N ，作等边PMN △． （1）求直线AB 的解析式；（2）求等边PMN △的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边PMN △的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；（3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt AOB △内部作如图2所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上．设等边PMN △和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当02t ≤≤秒时S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．解：（1）直线AB的解析式为：3y x =-+． （2）方法一，90AOB ∠=，30ABO ∠=，2AB OA ∴==，3AP =，BP ∴=，PMN △是等边三角形，90MPB ∴∠=，tan PMPBM PB∠=，)83PM t ∴=⨯=-． 方法二，如图1，过P 分别作PQ y ⊥轴于Q ，PS x ⊥轴于S ，可求得122AQ AP ==，2PS QO ==， （图（图822PM t⎛⎫∴=÷=-⎪⎪⎝⎭，当点M与点O重合时，60BAO∠=，2AO AP∴=．∴=，2t∴=．（3）①当01t≤≤时，见图2．设PN交EC于点H，重叠部分为直角梯形EONG，作GH OB⊥于H．60GNH∠=，GH=2HN∴=，8PM t=-，162BM t∴=-，12OB =，(8)(16212)4ON t t t∴=----=+，422OH ON HN t t EG∴=-=+-=+=，1(24)2S t t∴=+++⨯=+S随t的增大而增大，∴当1t=时，S=最大②当12t<<时，见图3．设PM交EC于点I，交EO于点F，PN交EC于点G，（图（图重叠部分为五边形OFIGN．方法一，作GH OB⊥于H，4FO=，)EF∴==-，22EI t∴=-，21(22FEIONGES S S t∴=-=+--=-++△梯形方法二，由题意可得42MO t=-，(42)OFt=-PC=，4PI t=-，再计算21(42)2FMOS t=-△2)PMNS t=-△，2)PIGS t=-△2221))(42)2PMN PIG FMOS S S S t t t∴=--=----△△△2=-++230-<，∴当32t=时，S有最大值，S=最大．③当2t=时，6MP MN==，即N与D重合，设PM交EC于点I，PD交EC于点G，重叠部分为等腰梯形IMNG，见图4．226244S=-⨯=综上所述：当01t≤≤时，S=+当12t<<时，2S=-++当2t=时，S=1732>S∴的最大值是2．（图29（丽水市）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO 的边OC 落在x 轴的正半轴上，且AB ∥OC ，BC OC ⊥，AB =4，BC =6，OC =8．正方形ODEF 的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO 面积．将正方形ODEF 沿x 轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO 的重叠部分面积为S ． （1）分析与计算：求正方形ODEF 的边长； （2）操作与求解：①正方形ODEF 平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S （S ＞0）的变化情况是 ； A ．逐渐增大 B ．逐渐减少 C ．先增大后减少 D ．先减少后增大 ②当正方形ODEF 顶点O 移动到点C 时，求S 的值； （3）探究与归纳：设正方形ODEF 的顶点O 向右移动的距离为x ，求重叠部分面积S 与x 的函数关系式．解：（1）∵ODEF 1S =(48)6362ABCO S =+⨯=，设正方形的边长为x ，∴236x =，6x =或6x =-（舍去）． （2）C ．1(36)264332S =+⨯+⨯=．（备用（3）①当0≤x ＜4时，重叠部分为三角形，如图①． 可得△OMO '∽△OAN ，∴64MO x '=，MO '=32x ．∴2133224S x x x =⨯⋅=．②当4≤x ＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②． 1(4)66122S x x x =-+⨯⨯=-．③当6≤x ＜8时，重叠部分为五边形，如图③．可得，3(6)2MD x =-，4AF x =-．113(4)6(6)(6)222S x x x x =⨯-+⨯-⨯--=2315394x x -+-．④当8≤x ＜10时，重叠部分为五边形，如图④．231539(8)64AFO DM BFO C S S S x x x ''=-=-+---⨯=23994x x -++．⑤当10≤x ≤14时，重叠部分为矩形，如图⑤．[]6(8)6684S x x =--⨯=-+．30(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．Ox A B C Oy D EFO ' AO x B Cy DE FO ' M （如图④） A BC Ox y D EFO ' （如图②）A BCO x y DE F O ' M （如图③）（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ， 使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是 平行四边形如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）令y=0，解得11x =-或23x = ∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3） ∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2） 则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F -31.(台州市) 24．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的折叠，使点B 落矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 在边OA 的点D处．已知折叠CE =3tan 4EDA ∠=．（1）判断OCD △与ADE △是否相似请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；（第24（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．解：（1）OCD △与ADE △相似． 理由如下：由折叠知，90CDE B ∠=∠=°，1290∠+∠=∴°，13902 3.∠+∠=∴∠=∠，又90COD DAE ∠=∠=∵°，OCD ADE ∴△∽△． （2）3tan 4AE EDA AD ∠==∵，∴设3AE t =， 则4AD t =．由勾股定理得5DE t =．358OC AB AE EB AE DE t t t ==+=+=+=∴． 由（1）OCD ADE △∽△，得OC CDAD DE=， 845t CDt t=∴， 10CD t =∴．在DCE △中，222CD DE CE +=∵，222(10)(5)t t +=∴，解得1t =．83OC AE ==∴，，点C 的坐标为(08)，， 点E 的坐标为(103)，， 设直线CE 的解析式为y kx b =+，1038k b b +=⎧⎨=⎩，∴，解得128k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，，（第24题图2）182y x =-+∴，则点P 的坐标为(160)，． （3）满足条件的直线l 有2条：212y x =-+，212y x =-．如图2：准确画出两条直线．32.(嘉兴市) 24．如图，已知A （8，0），B （0，6），两个动点P 、Q 同时在△OAB 的边上按逆时针方向（→O →A →B →O →）运动，开始时点P 在点B 位置，点Q 在点O 位置，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位． （1）在前3秒内，求△OPQ 的最大面积；（2）在前10秒内，求P 、Q 两点之间的最小距离，并求此时点P 、Q 的坐标；（3）在前15秒内，探究PQ 平行于△OAB 一边的情况，并求平行时点P 、Q 的坐标．解: （1）∵)0,8(A ，)6,0(B ，∴6=OB ，8=OA ，10=AB ．在前3秒内，点P 在OB 上、点Q 在OA 上， 设经过t 秒，点P 、Q 位置如图． 则t OP 26-=，t OQ =．∴△OPQ 的面积)3(21t t OQ OP S -=⋅=， 当23=t 时，49max =S ．（2）在前10秒内，点P 从B 开始，经过点O 、点A ，最后到达AB 上，经过的总路程为20；点Q从O 开始，经过点A ，最后也到达AB 上，经过的总路程为10．其中P 、Q 两点在某一位置重合，最小距离为0．设经过t 秒，点Q 被点P “追及”（两点重合），则62+=t t ，∴6=t ． ∴在前10秒内，P 、Q 两点的最小距离为0，点P 、Q 的相应坐标为)0,6(． （3）①设30<≤t ，则点P 在OB 上、点Q 在OA 上，t OP 26-=，t OQ =．若AB PQ //，则86=OQ OP ， ∴4326=-t t ，解得1124=t ． 此时，)1118,0(P ，)0,1124(Q ． ②设73≤≤t ，则点P 、Q 都在OA 上，不存在PQ 平行于△OAB 一边的情况． ③设87<<t ，则点P 在AB 上、点Q 在OA 上，142-=t AP ，t AQ -=8．若OB PQ //，则108=PA AQ ， ∴541428=--t t ，解得1396=t ． 此时，)136,1396(P ，)0,1396(Q ． ④设128≤≤t ，则点P 、Q 都在AB 上，不存在PQ 平行于△OAB 一边的情况． ⑤设1512<<t ，则点P 在OB 上、点Q 在AB 上，242-=t BP ，t BQ -=18．若OA PQ //，则106=BQ BP ， ∴5318242=--t t ，解得13174=t ． 此时，)1342,0(P ，)1342,1348(Q ．33.(衢州市) 24． 如图，点),(...,),........,3(),,2(),,1(332211n n y n B y B y B y B (n 是正整数)依次为一次函数12141+=x y 的图像上的点，点)0,(...,),........0,(),0,(),0,(332211n n x A x A x A x A (n 是正整数)依次是x 轴正半轴上的点，已知)10(1<<=a a x ,1433322211,........,,,+∆∆∆∆n n n A B A A B A A B A A B A 分别是以n B B B B ..,,.........,,321为顶点的等腰三角形。