函数概念的学习与理解
丹阳五中 吴延俊
摘要：函数概念是重要的数学概念，学好函数概念是应用函数知识解决问题的前提．函数的传统定义与近代定义叙述不同，但实质都是从非空数集A 到非空数集B 的一个特殊的对应；函数概念包括定义域、值域及对应法则三个要素，缺一不可；映射从集合论的角度进一步定义函数，学习映射也有利于函数概念的学习．
一、函数定义
（一）基本定义
定义1：设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫自变量，与x 值对应的y 值叫函数值．
定义2 ：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}()|f x x A ∈叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．
（二）定义分析
定义1是函数的传统定义，定义2是函数的近代定义．两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发．函数的实质都是从非空数集A 到非空数集B 的一个特殊的对应．
举例：（1）正比例函数3y x =．（2）反比例函数1y x
= 解析：（1）是对于每一个实数x ，都有惟一的实数y 与其对应，y 是x 的3倍；非空数集A 、B 是实数集R ，对应关系f 是乘3．
（2）对每个不等于0的实数，都有惟一的实数y 与其对应，y 是x 的倒数；
非空集合A 是不等于0的全体实数组成的集合{}|0x R x ∈≠，非空集合B 可以是实数集R （只要B 包含集合{}|0y y ≠即可），对应关系f 是求倒数．
从以上两个例子中，可以进一步明确函数的两个定义本质上是相同的，只是叙述方式略有不同．符号()y f x =表示的是“y 是x 的函数”的数学表示，理解为：x 是自变量，它是对应关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可
以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量x的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式，而()
y f x
=仅仅是函数符号，表示的是与x对应的函数值．
（三）定义学习
在初中阶段主要学习了函数的传统定义、一次函数、二次函数、反比例函数；在高中阶段还会学习函数的近代定义以及更多的函数，如：对数函数、指数函数、三角函数等．因为任何函数都属于函数，都具有函数的共同特征，所以函数概念的学习尤为重要．
学习函数的概念可以通过概念的同化和知识的迁移来完成．因为在初中阶段已经学过函数的定义，学生对于函数的概念已经基本形成，学生认知结构中已有概念的基础，教师可以以定义的方式用准确的语言直接向学生讲授函数概念，突出函数概念的关键特征，控制无关特征，运用恰当的正例与反例，从而使学生获得函数概念．同时，由于函数的传统定义已经学习过，在学习函数的近代定义时会发生学习的迁移．为了防止产生负迁移，教师应该有意识地引导学生发现不同知识之间的共同点和不同点，启发学生进行概括，指导学生运用已有的知识去学习新的知识．
函数的传统定义指出了函数中y和x的关系，同时涉及到两个集合，即自变量的取值范围和函数值的取值范围，但这两个集合在定义中都没有说明．近代定义中既概括了x与y之间的对应关系是f，还明确地指出x的取值范围是集合A，y的取值范围是集合B，比函数的传统定义更具体，特点更明显．
二、函数三要素
（一）函数的三要素
由函数的近代定义知函数概念包括三个要素：定义域A、值域C、对应法则f．定义域A是自变量x的取值范围，是构成函数不可缺少的组成部分．值域之所以用C而不用B表示，那是因为值域C是集合B的子集；集合B中不仅包含与任意x相对应的y值，还可能包含其它数值，故集合B包含集合C．函数的值域是由函数的定义域A和对应法则f确定的．
例1：对应法则f就是集合A到集合B的函数吗？
答：不是．集合A、B以及对应法则f一起称为集合A到集合B的函数．
例2：写出
1
y
x
=的定义域、值域．
解：函数定义域A 是{}|0x x ≠，值域C 是{}|0y y ≠．与例2相比较，集合B 可以是R ，而值域C 是{}|0y y ≠，显然C B ⊆；同时集合B 也可以是值域C （即B C =），但是不能是C 的真子集（B C ⊆）．
（二）三要素的几点说明
1．定义域不同，两个函数不同；如：(),()(),()f x x x Z g x x x R =∈=∈与．
2．对应法则不同，两个函数不同；如：(),()()2,()f x x x R g x x x R =∈=∈与．
3．定义域、值域分别相同的函数，也不一定是同一个函数，还要看对应法则；如：
(),(,)()2,(,)f x x x R y R g x x x R y R =∈∈=∈∈与不同；()||,()f x x g x ==与 4．()() f x f a a 与（为常数）
的区别()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量．
例3：判断(1),(2)||,(3)y x y x y ===
解：y x x R y R =∈∈的定义域是，值域是，对应法则是y 的值等于x 的值；
{}||,|0y x R y y =≥的定义域是值域是，对应法则是y 等于x 的绝对值；
{}|0y x R y y =∈≥，值域是，对应法则是y 等于x 的绝对值；
根据函数的三要素，判断（2）和（3）表示的是同一函数．
注意：由于值域是由定义域和对应法则来决定，当且仅当定义域和对应法则分别相同时，函数才是同一函数．
例4：判断()51()51f x x g t t =+=+与是否为同一函数？
解：()51()51f x x g t t =+=+与的定义域、值域、对应法则完全相同，故是同一函数．
注意：函数是两个数集之间的对应关系，与使用什么字母来表示自变量、因变量以及对应关系都是无关的．
三、函数与映射
（一）映射的定义及特点
1．定义：设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有惟一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射．
2．映射特点：①映射中集合A 、B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，同时两个集合必须有先后次序，从集合A 到集合B 的映射与从集合B 到集合A 的映射截然不同；②映射包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可；③对于一个从集合A
到集合B 的映射，A 中的每一个元素必有唯一的象，但B 中的每一个元素却不一定都有原象，也不一定只有一个原象．
例5：判断下列关系是不是集合A 到集合B 的映射？
①,:A B R f x y ==→=对应法则②{}{}20,1,2,4,9,0,1,4,9,64,:(1)A B f a b a ==→=-对应法则
解：①集合A 中的负数在集合B 中没有元素与之对应，并且一个原象有两个象，故不
是映射；
②集合A 中的0，1，2，4，9分别对应集合B 中的1，0，1，9，64，一个原象有惟一确定象，故是映射．
例6：试举两例生活中的映射．
解：①每本书的封底都有一个条形码，这个条形码与书之间是一个映射；
②每个学校都给该校的学生编写一个学号，学号与学生之间是映射．
（二）函数与映射
通过学习映射的概念可以进一步理解函数，即：
集合A 、B 是非空数的集合，且B 中的每一个元素都有原象时，映射:f A B →，就是从定义域A 到值域B 的函数．记作：(),,y f x x A y B =∈∈．简记：一个数集到另一个数集的映射，即称函数．（注意：此时的集合B 就是值域）
举例：映射①235 4 ()y x x x R =+-∈；②我国的每位居民与他的身份证号之间的
映射；③平面上的点到其坐标的对应关系是从平面上的点集到二元实数集 (){},|,x y x y R ∈的一个映射与函数关系．
解析：①是二次函数，是从定义域R 到值域R 的函数.
②不是函数.因为居民与其身份证号的集合都不是数集,故不是函数.
③不是函数.因为平面上的点构成的集合是点集不是数集，故不是函数.
映射中的集合可以是数集、点集或其他集合；而函数中的集合只能是数集，可以说函数是特殊的映射．映射的范围要广于函数，可以更广泛地应用于实际生活中．
函数概念既是中学数学的学习重点也是学习难点。

函数概念在初中采用“变量说”，在高中采用“对应说”，它的学习决不是单纯的知识记忆。

只有充分理解函数的本质，抓住函数的三要素分析其性质、根据实际情况构造函数，将实际生活与数学知识有机的结合起来，为将来进一步学习打下良好的基础；而学生也只有真正地理解、掌握函数概念的本质属性，才能增强其使用函数知识解决问题的灵活性，从而提高自身的数学素养和应用数学的能力．。