第九讲 三角函数式的恒等变形1基本知识与基本方法 1.1基本知识介绍①两角和与差的基本关系式βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；.tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα ±=±②和差化积与积化和差公式2cos()2sin(2sin sin βαβαβα-+=+,2sin()2cos(2sin sin βαβαβα-+=-)2cos()2cos(2cos cos βαβαβα-+=+)2sin()2sin(2cos cos βαβαβα-+-=-[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=[])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-=③倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=.tan 1tan 22tan 2ααα-=④半角公式⎪⎭⎫⎝⎛2sin α2)cos 1(α-±=, ⎪⎭⎫⎝⎛2cos α2)cos 1(α+±=,=⎪⎭⎫⎝⎛2tan α)cos 1()cos 1(αα+-±=.sin )cos 1()cos 1(sin αααα-=+⑤辅助角公式如果b a ,是实数且022≠+b a ，则)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ，其中ϕ满足22sin ba b +=ϕ22cos ba a +=ϕ.1.2基本方法介绍①变角思想在三角化简、求值中，往往出现较多相异的角，可根据角与角之间的关系，通过配凑，整体把握公式，消去差异，达到统一角的目的，使问题求解.如已知βα、均为锐角，并且,31)tan(,54cos -=-=βαα求βcos 的值.观察到目标角与已知角不同，应寻找它们的关系，将目标角转化为已知角，即)(βααβ--=，所以求出10103)cos(,53sin =-=βαα1010)sin(-=-βα,则[])sin(sin )cos(cos )(cos cos βααβααβααβ-+-=--= 50109= .②变名思想当条件与所求的三角函数名不一样时,可以利用三角函数关系实现弦切、弦割互化,还可通过诱导公式实现正、余函数名的互化,使问题得到解决.如)10tan 31(50sin 00+的值,可先将正切化成弦，即=+=+)10cos 10sin 31(50sin )10tan 31(50sin 0180sin 100sin 10cos 50cos 250sin 10cos 10sin 310cos 50sin 000000000===+=. ③配对偶式法对偶式是指与原数学式子结构对称，或结构相似的数学式.根据原数学式子结构，构造一个对偶式，共同参与运算或变换，使问题得以巧妙的解决，这种解题方法叫做对偶式法.在化简求值或证明一些三角问题时，如果能灵活的运用对偶的数学思想，合理的构造出对偶式，并对原式和对偶式进行和、差或积的计算，则可以使问题得到巧妙的解决. 比如说计算0072cos 36cos 的值,可以设000072sin 36sin ,72cos 36cos ==y x ，则将它们两边相乘，y xy 4136sin 72sin 41144sin 72sin 410000===， 4172cos 36cos 00==x . ④消元思想对于三角变换的多元问题,需要根据题意尽量将多元向单元(或二元)转化,防止多元变量对我们解题的干扰.如锐角γβα,,满足βγαβγαcos cos cos ,sin sin sin =-=+，求βα-的值.考虑将γ角消去，由条件，γβαγαβcos cos cos ,sin sin sin =-=-， 再将两式两边平方再相加，得1)cos(22=--βα,21)cos(=-βα.由条件)0,2(πβα-∈-，得3πβα-=-.⑤1的代换三角函数中常遇到1的变形，主要有1cot tan ,1sec cos csc sin =⋅=⋅=⋅αααααααααααα22222200cot csc tan sec cos sin 1,45tan 90sin 1-=-=+===.如已知,31tan -=α求ααcos sin 11-的值,不需求ααcos ,sin ，可以将1看作αα22cos sin +，即原式=13109139101tan tan 1tan cos sin cos sin cos sin 222222==+-+=-++ααααααααα. 2基本知识应用 2.1基本三角公式的应用基本三角公式向我们揭示了同角或异角的三角函数之间的关系，利用它们可以在已知与未知之间进行转化，帮助我们进行化简、求值、求角.【例１】已知41)2sin(,312cos(=--=-βαβα，且,2,223πβππαπ<<<<求 2cos βα+的值.解： 由条件可观察得到 2)2()2(βαβαβα+=---由πβππαπ<<<<2,223， 所以 224,472πβαππβαπ<-<-<-< 又41)2sin(,312cos(=--=-βαβα 所以415)2cos(,322)2sin(=--=-βαβα所以121522)2(2(cos 2cos+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=+βαβαβα .【例２】已知,αβ为锐角，且3cos cos cos()2αβαβ+-+=求,αβ的值.解： 由题意，得012cos 2cos 42cos 42=+-+-+βαβαβα配成完全平方式可得 02sin )2cos 2cos 2(22=-+--+βαβαβα所以02cos 2cos 2=--+βαβα 且 02sin =-βα.因为,αβ为锐角，所以22πβαπ<-<- . 由02sin =-βα, 得βα=.将βα=代入02cos 2cos 2=--+βαβα，得212cos=+βα. 所以32πβα=+. 又βα=, 得3πβα==.在利用三角公式化简、求值时应找出已知条件与欲求的值之间的差异，主要是角及函数名称的差异，然后对已知式与欲求式施以适当的变形，消除它们的差异，以达到解决问题的目的。

求值时要注意角的范围限制对结果的影响. 2.2辅助角公式的应用在三角化简中经常会出现ααcos sin b a +的结构，我们可以把它化成一个角的三角函数，简化三角式的结构，这就需要引入辅助角ϕ，)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ，其中ϕ满足22sin ba b +=ϕ22cos ba a +=ϕ.【例3】求])10tan 31(10sin 40cos 220cos 1000+++o 的值.解： 原式＝10cos 10sin 310cos 10sin 40cos 2(10cos 2000++ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)10sin 2310cos 21(10sin 40cos 10cos 2200000630cos 22)40sin 10sin 40cos 10(cos 2200000==+=.将ααcos sin b a +的结构化成一个角的三角函数，其方式并不唯一，注意公式的正负号，另外也要熟悉公式的反用与变用.３基本方法应用 3.1配对偶式法三角函数中，正弦函数和与余弦函数，正切函数与余切函数，正割函数与余割函数称为互余函数，利用互余函数来构造对偶式，通过运算使问题获得解决.【例４】求值：︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 22︒︒-︒+︒=80sin 40sin 50cos 10cos 22x 令︒︒-︒+︒=80cos 40cos 50sin 10sin 22y0000040cos 2)80sin 40sin 80cos 40(cos 2-=+-=+y x 则 00000080sin 40sin 80cos 40cos )80cos 20(cos -+-=-y x 又2140cos 2150sin 120cos )30sin(50sin 200000-=-=+--= 两式相加得232122=-=x ,所以43=x .某些结构特殊的三角函数问题，如果加以观察、利用，构造出与之匹配的对偶结构式整体求解，常常可以达到意想不到的效果.3.2消元思想在三角函数的问题中，往往会出现多个角，多个函数名，在变角或变名过程中，可先设法减少角（或名）的个数（种类），这种思想称为消元思想.【例５】已知0cos cos cos sin sin sin =++=++z y x z y x ， 求z y x z y x S tan tan tan )tan(+++=的值.解： 由已知得z y x z y x cos cos cos ,sin sin sin -=+-=+平方相加，得1sin sin 2cos cos 22=++y x y x ，即21)cos(-=-y x同理21)cos(-=-z y ，21)cos(-=-x z .不妨设)(,23211Z k k y x ∈++=ππ)(,23222Z k k z y ∈++=ππ),(,)(2342121Z k k k k z x ∈+++=ππ所以π)12(2321+++=++k k z z y x .z z z z z y x z y x S tan )32tan()34tan(3tan tan tan tan )tan(ππ+++=+++= 0tan 3tan(3tan(3tan =-++=z z z z ππ.【例6】设12π≥≥≥z y x ，且2π=++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值.解：由已知条件，0)sin(,0)sin(,31222)(2≥-≥-=⨯-≤+-=z y y x z y x ππππ于是，[])sin(cos 21)sin()sin(cos 21cos sin cos z y x z y z y x z y x +≥-++=813cos 21cos 2122=≥=πx （当且仅当12,3ππ===z y x 时取等号）. 又[])sin(cos 21)sin()sin(cos 21cos sin cos y x z y x y x z z y x +≤--+=83212cos 21cos 2122+=≤=πz （当且仅当12,245ππ===z y x 时取等号）.消元法可以减少三角问题中的变元，使问题的条件变得简洁，能够让我们容易观察条件之间的联系，从而准确地寻找突破口，运用相关知识进行解决. 3.3 1的代换在三角函数中的应用三角函数中1有着特殊的地位，在求值、化简中为了进一步变形的需要，往往将1作灵活的代换，主要方式有αααα222200tan sec cos sin 1,45tan 90sin 1-=+===等等.【例7】设b a ,是非零实数，R x ∈，若，2224241cos sin ba b xa x +=+求2006200820062008cos sin bxa x +的值.（表示用b a ,）解： 已知，2224241cos sin ba b x a x +=+ ………………①将①改写成x ba x ab x x 42242244cos sin cos sin 1+++=.而 x x x x x x 2244222cos sin 2cos sin )cos (sin 1++=+=, 所以有0cos cos sin 2sin 42222422=+-x ba x x x ab . 即0cos sin 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x b a x a b , 也即4444cos sin b xa x = 将该值记为C. 则由（1）知，22221b a C b C a +=+。