第2章杆件的内力与内的内力与内力图
第3章 最简单的 材料力学
问题
第4章 弹性杆件 横截面上的 正应力分析
第5章 弹性杆件 横截面上的 切应力分析
第6章 应力状态分析
第7章 一般应力状态下的 强度失效分析与设计准则
第9章 弹性杆件 的位移分析 与刚度设计
第10章 压杆的弹性 稳定性分析 与稳定性
材料力学
ΣFy=0:
FQ+q dx- FQ－d FQ =0
ΣMC=0: -M+(M+dM)- FQ dx-q dx ·dx /2=0
略去高阶项，得到
dFQ q dx
dM dx FQ
d2M q dx 2
此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。
根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ 、M 的变化规律。
解方程得：FRA＝-0.89 kN , FRB＝-1.11 kN
材料力学
例题2-3
1kN.m
A
C
FRA
1.5m
1.5m
D
2kN
1.5m
B FRB
简支梁受力的大小和方向如图示。试画 出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯 矩绝对值的最大值。
解：1、求支反力
列平衡方程： M A 0, FRB 4.5 2 3 1 0 M B 0, FRA 4.5 1 21.5 0
试画出：杆件的轴力图。
解：1 求约束反力 FRA F2 F1 5kN
2 求AB段轴力
FAB FRA 5kN 3 求BC段轴力
FBC FRA F1 5 5 10kN
l
l
FRA A
B F1
C F2
FRA
FRA
FAB F1 FBC
材料力学 4 画轴力图
l
FRA A
B F1
C F2
FRA
材料力学
剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图大体相似，但略有差 异。主要步骤如下： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。 建立FQ——x和M——x坐标系，并将控制面上的剪力 和弯矩值标在相应的坐标系中。 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩 图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
材料力学
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必 然是平衡的。
材料力学
C
截面法
用假想截面从所要 求的截面处将杆截为 两部分 考察其中任意一部 分的平衡 由平衡方程求得横 截面的内力分量
Fx＝0， Fy＝0， M C＝0，
材料力学
例题2-4（P32)
例题2-5(P34)
q
材料力学
梁(杆件)弯曲变形时 外力与内力之间的关系
材料力学
平衡微分方程
y
O
x
x
dx
考察 dx 微段的受力与平衡
q(x)
M
M+d M
FQ
FQ+ dFQ
材料力学
考察 dx 微段的受力与平衡
y
q(x)
M
M+d M
O
C
x
FQ
FQ+ dFQ
ΣFy=0:
FQ+q dx- FQ－d FQ =0
ΣMC=0: -M+(M+dM)- FQ dx-q dx ·dx /2=0
向上凹的变形
⊕ Mz Mz
⊕ Mx
Mx
材料力学
杆件拉压变形时的内力图
材料力学
轴力图
当所有外力均沿杆的轴线方向作用时，杆的横截面 上只有轴力FN一种内力分量。表示轴力沿杆轴线方 向变化的图形，称为轴力图（diagram of normal forces）。
材料力学
例题2-1
直杆，A端固定，在B、C两处 作 用 有 集 中 载 荷 F1 和 F2 ， 其 中 F1＝5 kN，F2＝10 kN。
F1
分布内力
F
F1
3
FR
内力主矢与主矩
F3
M
材料力学
内力分量
FQ
FR
FN
Mx
MB
M
FN——轴力：产生轴向的伸长或缩短变形； FQ——剪力：产生剪切变形； Mx——扭矩：产生扭转变形； MB（ My或Mz)——弯矩:产生弯曲变形。
材料力学
内力分量的正负号规则
左上右下的剪切变形
⊕ FNx FNx ⊕ FQy FQy
变截面传动轴受外加扭力矩作用，如下图所示。试画出扭矩图。
2M e
5M e
3M e
解： 2M e
l
l
M x 2M e
Mx
M x 3M e
Mx
Mx
3M e
＋
－
2Me
3M e x
材料力学
梁(杆件)弯曲变形时的内力
材料力学
弹性体的平衡原理
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必 然是平衡的。
q
A
B
C
C
q
A
B
D
qa
FRA
FRB
4a
a
l
FRA l
FRB
FQ 9qa/4
＋
M
81qa2/32
x
－
qa 7qa/4
＋
qa2
x
FQ
ql
＋
x
－
ql
ql2/2
M
＋
x
材料力学
杆件内力变化的一般规律
在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变 化（函数连续）。
材料力学
控制面
外力规律发生变化截面——集中力、集中力偶作用 点、分布荷载的起点和终点处的横截面。
材料力学
杆件扭转变形时的内力图
材料力学
扭矩图
{M e}Nm
9549
{P}kW {n}r / min
{M e}Nm
7024
{P}马力 {n}r / min
当所有外力均沿杆的轴线方向作用的力偶时，杆的 横截面上只有扭矩Mx一种内力分量。表示扭矩沿杆 轴线方向变化的图形，称为扭矩图。
材料力学
例题2-2
FRA
FAB F1 FBC
l
FN/kN
＋5
＋ 10
x
材料力学
根据以上分析，绘制轴力图的方法
确定约束力； 根据杆件上作用的载荷以及约束力的作用点，将杆分成 若干段； 应用截面法，用假想截面从每段的某处将杆件截开， 在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开 的部分杆件建立平衡方程，确定轴力大小； 建立FN—x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中， 画出轴力图。
设计
第8章 复杂情况下的强度设计
材料力学
内力与内力分量
材料力学
弹性体在外力作用下产生的附加内力
F1
F2
F3 F1
假想截面
F
3
Fn
F
2
Fn
材料力学
弹性体内力的特征:
F1 F
2
F Fn
3
(1)连续分布力系 (2)与外力组成平衡力系(特殊情形下内力本身形成自 相平衡力系)
材料力学
内力主矢与内力主矩
材料力学
梁(杆件)弯曲变形时的内力图
材料力学
剪力图与弯矩图
作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向力，这时梁 的横截面上只有剪力FQ和弯矩M两种内力分量。表 示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图形，分别称为 剪力图（diagram of shearing forces）和弯矩图 （diagram of bending moment）。