数列求和专项训练1. (2011?重庆)设｛a n｝是公比为正数的等比数列a i=2, a3=a2+4.([)求｛a n｝的通项公式；(n)设｛b n｝是首项为1，公差为2的等差数列，求数列｛a n+b n｝的前n项和S.分析：(I)由｛a n｝是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2, a3=a2+4可求得q，即可求得｛a n｝的通项公式(n)由｛b n｝是首项为1，公差为2的等差数列可求得b n=1+ ( n- 1) X 2=2 n- 1,然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列｛a n+b n｝的前n项和S.解答：解：(I)：设｛a n｝是公比为正数的等比数列•••设其公比为q, q > 0■/ a3=a2+4, a1=22•2X q =2X q+4 解得q=2 或q= - 1■/ q>0•- q=2•｛a n｝的通项公式为a n=2X 2n- 1=2n(n)：｛b n｝是首项为1，公差为2的等差数列•b n=1+ ( n - 1) X 2=2n - 1•数列｛a n+b n｝的前n 项和S= f =2n+1- 2+n2=2n+1+n2- 21-2 22. (2011?辽宁)已知等差数列｛a n｝满足a2=0, &+a8= - 10(I)求数列｛a n｝的通项公式；(II )求数列｛—｝的前n项和.分析：(I)根据等差数列的通项公式化简a2=0和a e+a8=- 10,得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；(II )把(I )求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①-②后，利用a n的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列｛一｝的前n项和的通项公式.r ai+<^0解答：解：(I)设等差数列｛a n｝的公差为d，由已知条件可得* ,2a t H2d=-10L 131=1解得：・,d=-1故数列｛a n｝的通项公式为a n=2 - n;(II )设数列｛一｝的前n项和为S，即S=a1+ : +…+一—①，故S=1,9 rfL—1戸旷1a l a2.…2 Z \②,当n > 1时，①-②得:：_l + …+ 一- ■ ■■■- _r2 2 2n_1 2n=1-（十十…+ 一）-^"2 4 2n^12n=1 -（i - —!—）-2n"[综上，数列｛｝的前n项和S=—-—.是一道中档题.产1 犷13. (2011?安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n,再令a n=lgT n，n》1 .(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n)设b n=tana n?tana n+1,求数列｛b n｝的前n项和S.分析：(I )根据在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10,故T n=10n+2,进而根据对数的运算性质我们易计算出数列｛a n｝的通项公式；(II )根据(I )的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列｛b n｝的每一项拆成——"门「“宀-.的tanl形式，进而得到结论.解答：解：(I )•••在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，又•••这n+2个数的乘积计作T n,••• T n=10n+2又■/ a n = lgT n,•a n=lg10 n+2=n+2, n》1.mm / 丄小tan (n 十3)- tan (n+2) 〕z... ... . . / 丄(II ) • b n=tana n?tana n+1=tan (n+2)?tan (n+3)=一.,tanltan (4) _tan (3) d n r tan (5) - tan(4)d nc」」」r•S=b1+b2+…+b n=[ . ]+[ .]+•••t anl t anltan (n+3) _tan (n+2) .+【i ]tanltan (n+3) - tan (3)=—. ：itanl点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10,是解答本题的关键.4. (2010?四川)已知等差数列｛a n｝的前3项和为6，前8项和为-4.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(H)设b n= (4 - a n) q n-1(q z 0, n€ N),求数列｛b n｝的前n 项和S.分析：(1)设｛a n｝的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的a1和d,进而根据等差数列的通项公式求得a n.(2)根据(1)中的a n,求得b n,进而根据错位相减法求得数列｛b n｝的前n项和S.解答：解：(1)设｛a n｝的公差为d,2a n =a2n- l2(n- 1)那么 an+1- an=' -_2-2n+18n-2-2n+1=2nf 3 ai+3d=6由已知得[8ai +28d=- 4解得 a i =3, d=- 1故 a n =3+ (n - 1) (- 1) =4- n ;(2) 由(1)的解答得，b n = n?q n -1，于是 S=1?q °+2?q 1+3?q 2+…+ (n - 1 )?q n -1+n ?q n . 若q 工1,将上式两边同乘以 q ,得qS=1?q 1+2?q 2+3?q 3+…+ (n - 1)?q n +n?q n+1. 将上面两式相减得到n / ,2n -1、(q - 1) S=nq -(1+q+q + …+q )n=nqQ^-l Q-l于是 S n =-(n+1.) (q-1) 2若E 则卄+…+n=n 严- (n+1)(q-1) (內)(说1) 2(q=l)5. (2010?四川)已知数列｛a n ｝满足 a 1=0, a 2=2，且对任意 m n € 2都有 a 2m-1+舫-1=2a m+n^+2 (m- n ) (1) 求 a 3, a s ；(2) 设 b n =a 2n+1 - a 2n -1 (n € N )，证明：｛b n ｝是等差数列；(3) 设 C n = (a n+1 - a n ) q n -1 (q 丰0, n € N ),求数列｛c n ｝的前 n 项和 S n .分析：(1)欲求a 3, a s 只需令m=2 n=1赋值即可. (2) 以n+2代替m,然后利用配凑得到 b n+1 - b n ,和等差数列的定义即可证明.(3)由(1) (2)两问的结果可以求得 C n ,利用乘公比错位相减求 ｛cn ｝的前n 项和S.解答：解：(1)由题意，令 m=2 n=1,可得a 3=2a 2 - a 1+2=6再令 m=3 n=1,可得 a s =2a 3 - a 1+8=20 于是[a 2 ( n+1) +1 - a 2 ( n+1) - 1] -( a 2n+1 - a 2n - 1) =8 即 b n+1 - b n =8所以｛b n ｝是公差为8的等差数列(3) 由(1) (2)解答可知｛b n ｝是首项为b 1=a 3- a=6,公差为8的等差数列 则 b n =8n - 2, 即卩 a 2n+1 - a 2n - 1=8n - 2 另由已知(令m=1可得 所以,于是6=2nq n 1.当q=1 时，S n=2+4+6++2 n=n ( n+1)当q 工1 时，S=2?q°+4?q1+6?q2++2n?q n「1.两边同乘以q,可得qS n=2?q +4?q2+6?q3++2n?q n.上述两式相减得(1 - q) S n=2 (1+q+q2++q n T)- 2nq n=2? - 2nq n1 _Q=2?. : ■ I：' -J所以(q-1) 2'n (n+1) (q=l)综上所述，Sn= 旳凶- (n+1) q n+l ＞亠、2*---------------------- --------- 〔、毎U(q-1) 2点评：本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力•同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法.6. (2010?陕西)已知｛a n｝是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1, a s, a9成等比数列.(I)求数列｛a n｝的通项；(H)求数列｛2an｝的前n项和S.分析：(I)由题意可得a32=a1?a s=a9，从而建立关于公差d的方程，解方程可求d，进而求出通项a n(II )由(I )可得一山，代入等比数列的前n项和公式可求S n解答：解(I)由题设知公差d z 0,由a1=1, a1, a s, a9成等比数列得-=一八1 l+2d解得d=1, d=0 (舍去)，故｛a n｝的通项a n=1+ (n- 1 )x 1= n；(n)由(i)知｛2｝A｛｛a｝_｛n｝｝=｛2｝A｛n｝，由等比数列前n项和公式得2 3 n - L _ 1n+1S=2+2+2 + …+2 = =2 - 2.1 - 2点评：本题考查了等差数列及等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于基本公式的简单运用.亠x7. (2009山东)等比数列｛a n｝的前n项和为S n,已知对任意的n，N ，点(n ,S n)，均在函数y = b r(b 0且b 1,b, r均为常数)的图像上.(I)求r的值；n+1 +(⑴当b=2时，记b n (n，N ) 求数列｛b n｝的前n项和T n4 a n解：因为对任意的n ・N •，点（n ,S n ），均在函数y =b x • r （b . 0且b=1,b,r 均为常数）的图像上.所以得S n = b n • r , 当n=1 时，a<i 二S 二b r ,当 n _2时，a n 二 S n —S^.丄=b n r _(b n 」• r) = b n -b n 」=(b _1)b n 」, 又因为｛ a n ｝为等比数列，所以r = -1,公比为b ,(2)当 b=2 时，a^(b -1)b n ±-2n J ,23 2L jn2 2 2 234 n —+— +— + -------小3 小4 小5n 12 2 2 2 1相减,得 T n2 123(1 -2“」) n 1 3 1 n 1 21 - 1 2* 24 2n 12“ 223 1n 1 3n 3所以T n-2 2n 2“ 1 -22n 18 （2009?湖北）已知数列｛a n ｝是一个公差大于 0的等差数列，且满足 a 2a 6=55, a 2+a ?=16 （1） 求数列｛a n ｝的通项公式；- ■ *（2） 数列｛a n ｝和数列｛b n ｝满足等式a n 」+二+—…』（n € N ）,求数列｛b n ｝的前n 项和S .2 o 2 93 7n分析：（1）设等差数列｛a n ｝的公差为d ,分别表示出a 2a 6=55, a 2+a 7=16联立方程求得d 和a 1进而根据等差数列通项公式 求得a n .b_（2）令6=，则有a n =C 1+C 2+…+C n ,a n+1=C 1+C 2+…+C n+1两式相减得C n+1等于常数2,进而可得b n ,进而根据5=2玄1求得2nb 1则数列｛b n ｝通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上 b 1.解答：解：（1）设等差数列｛a n ｝的公差为d , 则依题意可知 d > 0由a 2+a 7=16, 得 2a 1+7d=16①由 a 2a 6=55,得（a 1+2d ） （a 1+5d ） =55② 由①②联立方程求得得 d=2, a 1=1 或 d=- 2, a 1 =（排除）7/• a n =1+ （n - 1 ）?2=2n - 1b n（2） 令 C n = ，则有 a n =C 1+C 2+…+C n2na n+1=C 1 + C2 — • +C n+1n 1所以 a n =(b-1)b -n 1 二 2_FT2Tn2 1 1—+ — + — 22 23 241 2* 1两式相减得a n+1 - a n =C n+1，由(1) 得 a i = 1 , a n+1 - a n =2 /• C n+i =2, 即卩 C n =2 (n 》2), 即当n 》2时，b n =2n+1，又当 n=1 时，b i =2a i =2 (2t (n=l)--b n =l 严,(n>2)于是 S=b i +b 2+b 3+…+b n =2+23+24+…2n+1=2n+2- 6点评：本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质.考查了对数列问题的综合把握.9. (2009?北京)设数列｛a n ｝的通项公式为a n =pn+q (n € N , P >0).数列｛b n ｝定义如下：对于正整数 m b m 是使得不等 式a n 》m 成立的所有n 中的最小值.(I)若 ° - - 7— - I ,求 b 3；(n)若p=2, q= - 1,求数列｛b m ｝的前2m 项和公式；解：(I)由题意，得-1 , R23解〉-1得- 1'_.：■<成立的所有n 中的最小正整数为 7,即b 3=7.2 3(H)由题意，得 a n =2 n - 1,根据b m 的定义可知当 m=2k — 1 时，b m =k (k € N ); 当 m=2k 时，b m =k+1 (k € N ).• b 1+b 2++b 2(m = (b 1+b 3++b 2mT ) + ( b 2+b 4++b 2m ) = (1+2+3++m ) +[2+3+4++ (m+1)]=——i- ■ ' ■,.2 210. (2008?陕西)已知数列｛a n ｝的首项 -—，._•・，n=1, 2, 3，…13 叽务+1;■ • I •是等比数列； (n)求数列一：的前n 项和S.考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和。