定积分复习重点
定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质
1212(1)()()().
(2)[()()]()().
(3)()()()().
b b
a
a
b b
b a
a
a
b c b
a
a
c
kf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b
2．微积分基本定理
如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'
()()F x f x =，那么
()()()
b
a
f x dx F b F a =-⎰
，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。

3.求定积分的方法
（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.
例如：
2
30
(1-2sin
)2d π
θ
θ⎰注：3
2
2
()3x x '=，(-cos )sin x x '=
②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的
基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）
1．计算积分⎰---3
22|32|dx x x
解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为
⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.
31,)32(,
12,32|32|2
2
2x x x x x x x x 所以
⎰
---3
2
2|32|dx x x 13)32()32(3
1
212
2=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .
（2）利用定积分的几何意义求定积分
如定积分
1
20
14x dx π
-=
⎰
，其几何意义就是单位圆面积的1
4。

（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性
a. 若()f x 为奇函数，则()0
a
a f x dx -=⎰；
b. 若()f x 为偶函数，则0()()a a
a f x dx f x dx
-=⎰⎰2；其中0a >。

例题：1.2
352
2(+5x )0
x dx -=⎰（同步训练P32 第3题）
2.
a
a
a
(cos -5sin 2)(cos -5sin )24a
a
a
x x x dx x x x dx dx a
---+=+=⎰
⎰⎰
3) (2007枣庄模拟)已知f(x)为偶函数，且60
()8
f x dx =⎰
，则6
6
()f x dx
-⎰
等于（ B ）
Ａ.０ Ｂ.4 Ｃ.8 Ｄ.16 （同步训练P30 第6题）
4．利用定积分求曲边多边形的面积
在直角坐标系中，要结合具体图形来定：
方法总结：求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤
(1)画出图形，（2）求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；
(1)();
(2)()();
(3)()()()();
(4)[()()]b
a
b
b
a
a c
b
c
b
a
c
a
c
b
a
S f x dx S f x dx f x dx S f x dx f x dx f x dx f x dx S f x g x dx
==
=-=+=-=-⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；
(4)写出平面图形面积的定积分的表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求面积．
5.定积分在物理中的应用 （1）变速直线运动问题
如果作变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是()()()0v v t v t =>，那么物体从时刻()t a t b a b ==<到所经过的路程为：
()b
a s v t dt =⎰
（2）变力做功问题
()b
a
W F x dx =⎰
巩固练习：
1．由直线x y e x y 2,,0===及曲线x
y 2
=
所围成的封闭的图形的面积为( ) A.2ln 23+ B.3 C.322
-e D.e 2．由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2
x x π
==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积
是 .
3．在平面直角坐标系xOy 中，由直线0,1,0x x y ===与曲线x y e =围成的封闭图形的面积
是 . 4．曲线0,,2y y x y x ==
=-所围成的封闭图形的面积为 ．
5．由直线x ＝－3π，x ＝3
π
，y ＝0与曲线y ＝cosx 所围成的封闭图形的面积为 ．
6．曲线1xy =与直线y x =和3y =所围成的平面图形的面积为_________. 7．
2
20
4x dx -=⎰
.
8．曲线2
y ＝x 与y ＝2x 围成的图形的面积为______________．
巩固练习答案：
1．B
1
21010
1
22|2ln |123e
e
xdx dx x x x
+=+=+=⎰
⎰
，故选B. 2．222-
故4
400
222
(cos sin )2(sin cos )|2(
1)22222S x x dx x x ππ
=-=⋅+=⋅+-=-⎰
3．1e -
4．
103
4
4
332
44
220
22
02210
(2)(2)423233x S xdx x dx x x =--=--=⨯-=⎰
⎰.
5．3
6．4ln3-
则所求区域面积为()1
31131334ln 3S dx x dx x ⎛
⎫=-+-=- ⎪⎝
⎭⎰⎰
7．π根据积分的几何意义，由图可得
⎰
=-2
24π
dx x ，故填π.
3,3()
13,3()
1,1()
O
y
x
y=3
y=
1x
y=x。