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5.1.2 信道编码
最小码距（最小汉明距） ——(n，k)分组码总共有2k个码字，记作Ai（i=0,1,…,2k-1）,则这些码 字两两之间都有一个码距，定义该(n，k)分组码的最小码距为 ：
d 0 = min{ d ( Ai , A j )}
i≠ j
i = 0,1,2, ,2 k 1;
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5.2.5 正反码
正反码 ——该码型多用于10单位码的前向纠错设备中，可以纠正一位错误， 发现全部两个以下的错误，以及大部分两个以上的错误，其本质 就是五单位码的重复； 编码规则 ——信息码组中1的数目为奇数时，监督码是信息码的重复即正码； 信息码组中1的数目为偶数时，监督码是信息码的反码。 译码方法 ——首先将收到的码字重的信息位和监督位按对应位作模2运算， 得到一个5位码组，若该码字中有奇数个1，则将其作为校验码 组，若有偶数个1，则取其反码作为校验码组。然后，按照下表 进行纠检错译码
α ∈ GF(q)，β ∈ GF(q)，则α + β ∈ GF(q)，α β ∈ GF(q)
域中总包含惟一的加法恒等元“0”和乘法恒等元“1”
α ∈ GF( q )， 则 α + 0 = α ， α 1 = α
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5.3.1 基本概念
域中任意元素存在惟一的加法逆元 域中任意非零元都存在惟一的乘法逆元 于是减法和除法运算可定义为：
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5.1.2 信道编码
信道编码的分类 信道编码器函数关系式为： A = f (M ) 线性码和非线性码 ——若f()是线性函数称为线性码 ——若f()是非线性函数则称为非线性编码 分组码和卷积码 ——分组码：每个信息码组M通过运算产生对应的A ，记作(n，k)
Ai = f ( M i )
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5.1.3 基于信道编码的差错控制方式
反馈纠错（ARQ）方式 原理 ——采用检错码，接收端发现错误后，给发送端一个反馈信号，要 求重新发送，直到正确为止。
特点 ——编码效率比较高，对信道的适应能力强 ——重发导致信道的有效利用率较低，通信的实时性较差 应用 ——数据通信系统
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i = 0,1,2, , 2 k 1
——卷积码：每个A是由m (m<2k)个M联合运算得到，记作(n，k，m)
Ai = f ( M i , M i +1 , , M i + ( m 1) )
(i = 0,1,2, , 2 k 1)
m = 1, 2,
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5.1.2 信道编码
系统码和非系统码 ——若A中的前k位或者后k位就是信息码组M，则称这种编码为系统 码，否则称为非系统码。
α β = α + ( β ) α ÷ β = α ( β 1 )
α , β ∈ GF( q ) α , β ∈ GF( q ), β ≠ 0
域中元素满足交换律、结合律和分配律运算规则：
α , β , γ ∈ GF(q ) α + β + γ = α + γ + β = (α + β ) + γ = α + ( β + γ ) α β γ = α γ β = (α β ) γ = α ( β γ ) (α + β ) γ = α γ + β γ
j = 0，k)分组码的纠检错能力由其最小码距决定 ： ————当最小码距d0≥e+1时，能够发现e个错误码元 ————当最小码距d0≥2t+1时，能够纠正t个错误码元 ————当最小码距d0≥t +e +1时，能够纠正t个错误码元， 同时发现e个错误码元(e>t)
第五章 差错控制与信道编码
内容简介
学习要求
学习目录
结束放映
作者：蒋占军
内容简介
——差错控制就是通过某种方法，发现并纠正数据传输中出现的 错误。差错控制技术是提高数据传输可靠性的重要手段之一，现 代数据通信中使用的差错控制方式大都是基于信道编码技术来实 现的，本章对差错控制的基本概念以及常用的信道编码方案作了 比较详细的理论述。
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5.2.1 奇偶监督码
奇偶监督码 ——码重为奇数或偶数的(n , n-1)系统分组码 监督关系 ——假设将（n，n-1）的奇偶监督码的码字记作：an-1,an-2,…,a1,a0， 其中a0为监督码元，其余为信息码元，则各码元满足：
奇监督： 偶监督：
∑a
i =0 n 1 i =0
n 1
k位 n-k位 n-k位 k位
(a) 系统码格式 n位（其中k位信息码元）
信息码元 监督码元
(b) 非系统码格式
检错码、纠错码和纠检错码
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5.1.2 信道编码
几个概念 码长 ——码字的码元数目，例如(n，k)分组码的码长为n 码重 ——指码字中“1”的数目，记作W(A)。例如W(110110)=4 码距（汉明距） ——两个等长码对应位不同的数目，记作d(A，B)， 例如A=110110，B=101011，则d(A，B)=4 码距与码重的关系 ——d(A，B)=W (A+B)
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5.2.3 恒比码
恒比码 ——该码的特点是码字中1，0数目恒定，亦即1，0数目之比恒定。 ——目前我国电传通信中普遍采用3：2码，又称5中取3码，如下所示
——国际上通用的ARQ电报通信系统中，采用7中取3码。
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5.2.4 重复码
重复码 ——重复码只有一位信息码元，监督码元是信息码元的重复， 所以仅有两个码字； —— (3，1)重复码两个码字为000和111，其最小码距为3； —— (n，1)重复码也只有全0码和全1码两个码字，其最小码距为n， 却有2n-2个禁用码组，随着码长的增大，其冗余也变得很大； —— 该码随码长增加，具有很强的纠检错能力， 但其编码效率的急剧下降； ——重复码并不是一种优秀的编码方案， 仅用于速率很低的数据通信系统中。
差错控制 ——通过某种方法，发现并纠正传输中出现的错误。 香农信道编码定理 ——在具有确定信道容量的有扰信道中，若以低于信道容量的速率传输 数据，则存在某种编码方案，可以使传输的误码率足够小。 基于信道编码的差错控制 ——在发送端根据一定的规则，在数据序列中按照一定的规则附加一 些监督信息，接收端根据监督信息进行检错或者纠错。
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5.1.2 信道编码
实例分析 I 对本节开始时的例子采用(2，1)重复码: 11”---- 晴,“00” --- 雨 许用码组为:“11”和“00”,禁用码组为：“01”和“10” 此时接收端可以发现单个错误，但不能纠正错误 也不能发现2位错误，如下图所示：
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5.1.2 信道编码
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5.1 概 述
本节内容提要：
——差错控制是数据通信系统中提高传输可靠性，降低系统传输误 码率的有效措施 。本节将介绍差错控制和信道编码的基本原理、 差错控制的实现方式等内容。 5.1.1 差错控制 5.1.2 信道编码 5.1.3 基于信道编码的差错控制方式
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5.1.1 差错控制
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学习要求
1. 理解差错控制的基本概念及其原理等； 2. 掌握信道编码的基本原理； 3. 了解常用检错码的特性； 4. 掌握线性分组码的一般特性； 5. 掌握汉明码以及循环码的编译码及其实现原理； 6. 了解卷积码的基本概念。
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学习目录
5.1 概述 5.2 常用的简单信道编码 5.3 线性分组码 5.4 卷积码
实例分析 II 对本节开始时的例子采用(3，1)重复码: 111”---- 晴,“000” --- 雨 许用码组为: 111和000 禁用码组为： 001、010、011、100、101、110 将这种编码用来检错时，可以发现两位以内的错误 将这种编码用来纠错，可以纠正一位错误，如下图所示：
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5.1.1 差错控制
差错分析 随机错误 ——主要由起伏噪声引起，错误码元分布比较分散且彼此统计独立； 突发错误 ——主要由脉冲噪声引起，错误码元分布集中且彼此具有某种相关性。 错误图样
E = A+ B
E中，“0”表示正确，“1”表示错误
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5.1.1 差错控制
随机错误错误图样
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5.3 线性分组码
本节内容提要：
——本节将对线性分组码的特点、编译码规则以及应用情况作介绍， 主要包括以下四方面内容。 5.3.1 基本概念 5.3.2 线性分组码编码 5.3.3 汉明码 5.3.4 循环码
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5.3.1 基本概念 1．有限域
——定义了加法“+”和乘法“”两种运算的有限集合； ——q个元素的有限域又称为伽罗瓦域，记作GF(q)； ——对域的逆元操作又演绎出了减法“－”和除法运算“÷”， 域具有封闭特性
突发错误错误图样
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5.1.2 信道编码
不可靠数据传输系统 ——在不采用信道编码的时候，进入信道的数据码元相互独立，一 旦发生错误，将无法发现。例如气象台向电视台传输气象信息。
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5.1.2 信道编码
信道编码的基本思想 ——将信息序列按照k位码元的长度分成若干个信息码组M，再将 信息码组输入到信道编码器，信道编码器按照一定的算法，产生 一个新的n位码字A输出，n>k； ——收端根据A中的相关性判断接收是否正确，并将其恢复成M。 ——编码效率为k/n，即所谓编码效率是指信道编码后码字中信息 码元的数目与码字总码元数目之比 。
i
=1 =0
(模二 ) (模二 )