置信区间，在其他情况不变时，就必须降低对置信水平的要求。
二、预测值的置信区间
1、点预测 计量经济学模型的一个重要应用是经济预测。对于模型
yi = β0 + β1xi + ui ， i = 1,2,⋯, n
如果给定样本以外的解释变量的观测值 x f ，有
y f = β0 + β1x f + u f
因 x f 是前述样本点以外的解释变量值，所以 u f 和 ui (i = 1,2,⋯, n) 是不相关
^
在前面的课程中，我们已经知道，线性回归模型的参数估计量 β 是随机变量
∑ yi 的函数，即： βˆ1 = ki yi ，所以它也是随机变量。在多次重复抽样中，每次
的样本观测值不可能完全相同，所以得到的点估计值也不可能相同。现在我们用 参数估计量的一个点估计值近似代表参数值，那么，二者的接近程度如何？以多 大的概率达到该接近程度？这就要构造参数的一个区间，以点估计值为中心的一 个区间（称为置信区间），该区间以一定的概率（称为置信水平）包含该参数。
n
xf − x
(xi − x )2
⎟
⎟σˆ ⎟
2 u
⎟
⎝
i =1
⎠
y 根据置信区间的原理，得显著性水平α 下 f 的置信区间：
⎛ ⎜
⎜
⎜ yˆ f − tα ∗
⎜
2
⎜
⎝
（2.5.8）
⎛
⎞
∑ ⎜
⎜⎜1
+
1 n
+
⎜
n
xf − x
(xi − x )2
⎟
⎟⎟σˆ
2 u
⎟
,
⎝
i=1
⎠
yˆ f + tα ∗ 2
( ) 即回答 β1 以何种置信水平位于 βˆ1 − a, βˆ1 + a 之中，以及如何求得 a。
在变量的显著性检验中已经知道
^
t = βi − βi ~ t(n − k − 1)
s^
βi
(2.5.1)
这就是说，如果给定置信水平1 −α ，从 t 分布表中查得自由度为(n-k-1)的临界值
( ) tα ，那么 t 值处在 − tα 2 , tα 2 的概率是1 − α 。表示为 2
( ) 到被解释变量 y f 或其均值 E y f 以 (1 − α ) 的置信水平处于某区间的结论。
经常听到这样的说法，“如果给定解释变量值，根据模型就可以得到被解释
变量的预测值为……值”。这种说法是不科学的，也是计量经济学模型无法达到
的。如果一定要给出一个具体的预测值，那么它的置信水平则为 0；如果一定要
平处于以该估计值为中心的一个区间中。于是，又是一个区间估计问题。
2、区间预测
如果已经知道实际的预测值 y f ，那么预测误差为
e f = y f − yˆ f 显然， e f 是一随机变量，可以证明
E (e f ) = E (y f − yˆ f )
( ) ( ) = E β 0 + β1 x f + u f − E βˆ0 + βˆ1x f
本，利用（2.2.6）和（2.2.7）的计算公式，分别计算参数估计值。
表 2.2.1 有关数据表
.
.
^
^
^
年份 ED
FI
ED
FI
ED ED − ED (ED − ED) / ED
1991 708
3149
-551 -2351 734
-26
1992 793
3483
-466 -2017 804
-11
1993 958
的。引用已有的 OLS 的估计值，可以得到被解释变量 y f 的点预测值：
yˆ f = βˆ0 + βˆ1x f
(2.5.4)
但是，严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。原因在
于两方面：一是模型中的参数估计量是不确定的，正如上面所说的；二是随机项
的影响。所以，我们得到的仅是预测值的一个估计值，预测值仅以某一个置信水
计量的值为 413.58，也表示方程系数显著不为 0。
表一：Eviews 计算结果
Dependent Variable: ED Method: Least Squares Date: 09/21/02 Time: 16:22 Sample: 1991 1997 Included observations: 7
显然，参数 β1 的置信区间要小。
在实际应用中，我们当然希望置信水平越高越好，置信区间越小越
好。如何才能缩小置信区间？从（2.5.3）式中不难看出：（1）增大样本容量 n。
tα 在同样的置信水平下，n 越大，从 t 分布表中查得自由度为（n-k-1）的临界值 2 越小；同时，增大样本容量，在一般情况下可使估计值的标准差 Sβˆ 减小，因为
∑ ⎛
⎜ ⎜⎜1 + ⎜ ⎝
1 n
+
xf − x
n
(xi − x )2
i =1
⎞ ⎟
⎟⎟σˆ
2 u⎟⎠来自⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠
上式称为 y f 的个值区间预测，显然，在同样的α 下，个值区间要大于均值
区间。(2.5.7)和(2.5.8)也可表述为： y f 的均值或个值落在置信区间内的概率为
1 − α ，1 − α 即为预测区间的置信度。或者说，当给定解释变量值 x f 后，只能得
∑ σˆ
2 u
=
ei2 n−2
减小，因为式中分母的增大是肯定的，分子并不一定增大 。（2）更
∑ 主要的是提高模型的拟合优度，以减小残差平方和 ei2 。设想一种极端情况，
如果模型完全拟合样本观测值，残差平方和为 0，则置信区间长度也为 0，预测
区间就是一点。（3）提高样本观测值的分散度。在一般情况下，样本观测值越分
∑ EDt = 8812
t
∑ FIt = 38500
t
ED = 1259
FI = 5500
∑ FI
2 t
=
236869644
t
∑ FIt· EDt = 54078207
.
∑ FI t = 5612207
.2
∑ FI = 25119644
t
t
由电脑计算的参数估计值为
αˆ = −39.65, βˆ = 0.24
散，作为分母的 ∑ (xi − x )2 的值越大，致使区间缩小。置信水平与置信区间是矛
盾的。置信水平越高，在其他情况不变时，临界值 tα 越大，置信区间越大。如 2
果要求缩小置信区间，在其他情况不变时，就必须降低对置信水平的要求。
四、一元线性回归模型参数估计实例
为了帮助读者理解一元线性回归模型参数估计的原理，下面以我国国家财政文教科学卫
⎟
⎟σ ⎟
2 u
⎟
⎝
i =1
⎠
(2.5.5)
⎛
⎞
( ) ∑ D e f
⎜
=
⎜ ⎜
1
+
1 n
+
⎜
n
xf − x
(xi − x )2
⎟
⎟⎟σ
2 u
⎟
⎝
i =1
⎠
(2.5.6)
因 yˆ f 和 e f 均服从正态分布，可利用它们的性质构造统计量，求区间预测值。利
用 yˆ f 构造统计量为：
N yˆ f =
yˆ f − E(y f )
~ N (0,1)
⎛
⎞
∑ ⎜
⎜1 + ⎜n ⎜
n
xf − x
(xi − x )2
⎟
⎟σ ⎟
2 u
⎟
⎝
i =1
⎠
将
σ
2 u
用估计值
σˆ
2 u
代入上式，有
t yˆ f =
yˆ f − E(y f )
~ t(n − 2)
⎛
⎞
∑ ⎜
⎜ ⎜
1 n
+
⎜
n
xf − x
(xi − x )2
⎟
⎟⎟σˆ
2 u
⎟
⎝
i =1
⎠
( ) 这样，可得显著性水平α 下 E y f 的置信区间为
∑ ⎛
⎜ ⎜ ⎜ yˆ f −tα 2 ∗ ⎜ ⎜ ⎝
⎛
⎞
⎜
⎜ ⎜
1 n
+
⎜
n
xf −x
(xi − x)2
⎟
⎟⎟σˆ
2 u
⎟
,
⎝
i=1
⎠
∑ yˆ f + tα ∗ 2
⎛ ⎜ ⎜1 ⎜n ⎜ ⎝
+
xf −x
n
(xi − x)2
全部统计结果如下表。
从表中可看出，判定系数 R2 = 0.99，表示以国家财政收入额来解释国家文教科学卫生事 业费支出额，在 1991 至 1997 年间，拟合度相当理想。截距项α 的估计值对应的 t-统计量为 0.47，不能通过显著性检验，即不能推翻 α 为 0 的假设；而一次系数 β 的估计值对应的 t统计量为 20.34，不用查表即可知通过显著性检验，即 β 显著不为 0，因果关系成立。F-统
4349
-301 -1151 1001
-43
1994 1278 5218
19
-282 1196
82
1995 1467 6242
208
742 1424
43
1996 1704 7408
445
1908 1685
19
1997 1904 8651
645
3151 1963