一、(8分)用列主元素消去法解下列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=+-112123454321321321x x x x x x x x x二、(10分)依据下列数据构造插值多项式:y(0)=1,y(1)= —2,y '(0)=1, y '(1)=—4三、(12分)分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分:⎰91dxx n=4 四、(10分)证明对任意参数t ,下列龙格-库塔方法是二阶的。
五、(14分)用牛顿法构造求c 公式,并利用牛顿法求115。
保留有效数字五位。
六、(10分)方程组AX=B 其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10101a a a a 试就AX=B 建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法,并讨论a 取何值时迭代收斂。
七、(10分)试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式⎰-++-≈22)(}0{)()(a Cf Bf a Af dx x f 有尽可能多的代数精确度。
并求该公式的代数精确度。
八、{6分}证明:A ≤ 其中A 为矩阵,V 为向量.第二套一、(8分)用列主元素消去法解下列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=+322214332132132x x x x x x x x二、(12分)依据下列数据构造插值多项式:y(0)=y '(0)=0,y(1)=y '(1)= 1,y(2)=1三、(14分)分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式及其下表计算下列积分:⎰2/0sin πxdx⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+=++==++=+13121231)1(,)1((),(),()(2hk t y h t x f k thk y th x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n四、(12分)证明下列龙格-库塔方法是三阶的。
五、(10分)试确定常数A,B,C 使得数值积分公式⎰++≈2)2()1()0()(Cf Bf Af dx x f共 2 页 第 2 页有尽可能多的代数精确度。
并求该公式的代数精确度。
六、(14分)用牛顿法构造求c 1公式,验证其收敛性。
并求1/ e(保留4位有效数字)。
七、{10分}证明:设非负函数N(x )=x 为R n 上任意向量范数,则N(x )是x 分量x 1,x 2,…x n 的连续函数.参考答案一、解:(8分)⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=+322214332132132x x x x x x x x增广矩阵:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12003/13/4102/312/112/102/3014302/312/11321221111431 (4分) 解得:x 1=2/3, x 2=-1/3 x 3=1./2 (8分) 二、解:(12分)注:直接待定系数简单,或者用牛顿茶商设 P(x)=φ0(x)y(0)+φ1(x) y(1)+φ2(x)y(2)+ψ0(x) y’(0)+ψ1(x) y’(1) (4分) 解得:1(x)=x 2(x-2)2 φ2(x)=(1/12)x 2(x-1)2 ψ1(x)=-x 2(x-1)(x-2) (4分) P(x)= φ1(x) y(1)+φ2(x)y(2)+ψ1(x) y’(1)= φ1(x) +φ2(x)+ψ1(x)= x 2(x-2)2+(1/12)x 2(x-1)2 +x 2(x-1)(x-2) (4分)三、解:(14分) 推证复化的梯形公式 (3分)推证复化的辛普生公式 (3分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++==++=+)3/2,3/2()3/,3/(),()3(423121131hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n利用复化的梯形公式⎰2/0sin πxdx= 利用复化的辛普生公式⎰2/0sin πxdx=四、(12分)证明:k 3=f(x n ,y n )+2h/3f’(x n ,y n )+(2h/3)2f’’(x n ,y n )/2+0(h 2) (4分) y n+1=y n +h/4(3 k 3+k 1)= y n + h f(x n ,y n )+h 2f’(x n ,y n )/2+h 3/6f’’(x n ,y n )+0(h3) (8分) y n+1*= y n + h y n ’ +h 2y n ’’/2+h 3/6 y n ’’’ +0(h 3)y n+1 -y n+1*=0(h 3)则该公式是三阶的 (12分)五、解:(10分) 将1,x,x 2代入原式得A+B+C=2 B+2C=2 B+4C=8/3解得:A=1/3, B=4/3 C =1/3⎰++≈20)2(31}1{34)0(31)(f f f dx x f (8分)代数精确度为2 (10分)。
六、证明:(14分)1/x-c=0X k+1=x k -)()(k k x f x f '=x k (2-cx k ) X k+1-1/c=-c(x k -1/c)2设r k =1-cx k r k+1=r k 2 反复递推 r k =02r k(8分)若选初值0<x0<2/c 0r <1这时r k 趋近于0,从而叠代收敛 (10分) 用牛顿法构造求1/ eX 5= (14分)七、{10分}证明:设x =∑=ni ii ex 1y =∑=ni ii ey 1(4分))(0)()()(11∑∑=∞==→-≤--≤-=-ni i i ni i ie c yx c e y xyx y x y N x N..(10分)第三套一、 (10分)利用列主元素消去法解方程:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++==++=+)3/2,3/2()3/,3/(),()3(423121131hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n n n⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453311294642321x x x二、 (15分)证明下面龙格-库塔方法是三阶的:)43,43()2,2(),()432(93213211h y h x f k hy h x f k y x f k k k k hy y n n n n n n n n ++=++==+++=+三、 (10分)求3次插值多项式使:P(0)=3, P(1)=5,4)0(='P ,6)1(='P ,四、 (20分)确定下面公式中的a,b ,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数:)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f ab dx x f ba'-'-++-≈⎰五、(20分)分别利用梯形公式和Simpson 公式推导复化的梯形公式和Simpson 公式,并分别利用复化的梯形公式和Simpson 公式计算积分⎰91dxx (n=8)六、(15分)用二分法求方程f(x)=x 3+4x 2-10在区间[1,]上的根。
(1)要得到具有3位有效数的近似根,须作几次二分;(2)用二分法求具有3位有效数的近似根。
七、(10分)设•是n n R ⨯中的任意范数,nn R A ⨯∈,则有A A ≤)(ρ参考答案五、(10分)利用列主元素消去法解方程:解:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---41125)45(0215210529445331129)4(642 (5分)x 1=139/20, x 2=5/2, x 3=-3/20 (10分)六、(15分)证明下面龙格-库塔方法是三阶的:证:)(61)(21)()()(321ξy h x y h x y h x y x y n n n n '''+''+'+=+(5分)))(,(21)21(),(21),(22ξξy f h y x f h y x f k n n n n ''+'+=(9分) ))(,(21)43(),(43),(23ξξy f h y x f h y x f k n n n n ''+'+=(13分)∴y(x n+1)- y n+1=o(h 3) (15分)七、(10分)求3次插值多项式使:P(0)=3, P(1)=5,4)0(='P ,6)1(='P ,解:设)()()()()(221121103x p x p x p x p x p ϕϕφφ'+'++= (2分))1(,0)0,0)1(,1)0(1(111='='==φφφφ0)1(,0)0(,1)1(,0)0(2222='='==φφφφ 0)1(,1)0(,0)1(,0)0(1111='='==ϕϕϕϕ 1)1(,0)0(,0)1(,0)0(2222='='==ϕϕϕϕ (6分) =∴)(3x p 3+4x-2x 2+6x 2(x-1) (10分)八、(20分)确定下面公式中的a,b ,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数:)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f ab dx x f ba'-'-++-≈⎰解:将1,x ,x 2,,x 3代入)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f ab dx x f ba'-'-++-≈⎰(4分)得]22[)(][2)(3122233b a a b a b a a b a b --++-=-(10分)]33[)(][2)(412223344b a a b a b a a b a b --++-=-a=b=1/2(15分)将1,x ,x 2,,x 3,x 4,x 5代入公式的两端,可得该公式具有4次代数精确度。
(20分)五、(20分)分别利用梯形公式和Simpson 公式推导复化的梯形公式和Simpson 公式,并分别利用复化的梯形公式和Simpson 公式计算积分⎰91dxx (n=8)证: 利用梯形公式推导复化的梯形公式(5分)Simpson 公式推导复化Simpson 公式(10分)解:利用复化的梯形公式⎰91dxx (n=8) = (15分)Simpson 公式计算积分⎰91dxx (n=8)= (20分)六、(15分)用二分法求方程f(x)=x 3+4x 2-10在区间[1,]上的根。