《概率论与数理统计》模拟题一． 单项选择题1. 掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现大于2点的概率为( ). A. 1/3 B. 2/3 C. 1/6 D. 3/62. 设,A B 为两随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是( ). A. ()()P A B P B += B ．()()()P AB P A P B ==Ｃ.()|()P B A P B = Ｄ. ()()()()()P B A P B P A P B P AB -=-=-3. 一批产品中有10%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为 ( ) A. 0.20B. 0.30C. 0.38D. 0.544. 设随机变量X 的分布律为,,2,1,2}{P N k Nak x ===则常数a 等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，它们的概率分布依次为则下列各式正确的是 ( ) A. 1{}4P X Y ==B. {}0P X Y ==C. 1{}2P X Y ==D. {}1P X Y ==6. A 、B 为两个事件，则)(B A P -= ( )A ．)()(B P A P - B ．)()(AB P A P -C ．)()(B P A P -D ．)(A B P -7. 设A 与B 相互独立，3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P ( ) A ．0.2B ．0.4C ．0.7D ．0.88. 任意抛一个均匀的骰子两次，则这两次出现的点数之和为7的概率为（ ） A ．363 B ．364 C ．365 D ．3669. 某一随机变量的分布函数为()4x xa be F x e +=+，则F (0)的值为（ ）A. 0.2B. 0.5C. 0.25D. 都不对10. 设随机变量X 服从参数为3的指数分布，其分布函数记为)(x F ，则=)31(F ( ) A ．e31B ．3e C ．11--e D ．1311--e二． 填空题1. A 、B 为两事件，6.0)(=B A P ，3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=-)(A B P 。

2.设()0.4P A =,()0.6P B =,(|)0.5P B A =，则,A B 至少发生一个的概率为 。

3.设离散型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=,2,1,21,32,1,0)(x x x x F则{}==2X P 。

4. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=,,0,10,10,1),(其他y x y x f 则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤21,21Y X P 。

5.设X 服从二项分布)6.0,4(B ，则=-)12(X D 。

6. 连续抛一枚均匀硬币6次，则正面至少出现一次的概率为 。

7.设3.0)(=A P ，P (B |A )=0.6，则=)(B A P 。

8.随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧∈=其它]1,0[)(3x cx x f 则常数c = 。

9.设二维随机变量),(Y X 的联合密度为：f (x ，y )=⎩⎨⎧<<<<+其它010,20)(y x y x A ，则A= 。

10.设随机变量X 的密度函数为()2,01,0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则()2=P Y = 。

三、计算题1. 袋中有4个白球，7个黑球，从中不放回地取球，每次取一个球．求第二次取出白球的概率.2. 设离散型随机变量X 的分布律为X -123P求3}X P{23},X P{2},2X 3P{},2P{X <≤≤≤≤<≤.3. 设随机变量X 的概率密度为:⎩⎨⎧≤≤=其他,00,sin )(πx x a x f ，求: (1)常数a ;(2)}40{π<<X P ; (3) X 的分布函数)(x F .4. 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，0142122y x y x y x f分别求出求X 与Y 的边缘密度函数；判断随机变量X 与Y 是否相互独立？5. 设随机变量]3,1[~-U X ，随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≤>=0110011X X X Y ， 求(1)Y 的分布律; (2))(Y D .6. 一道选择题有四个答案，其中只有一个正确，某考生知道正确答案的概率为0.5，不知道答案乱猜而猜对的概率为41，求该考生答对这道题的概率. 7. 袋中有9个球（4白，5黑），现从中任取两个，求： （1）两球均为白球的概率；（2）两球中，一个是白球，一个是黑球的概率； （3）至少有一球是黑球的概率。

8. 设)2.0,10(~B X ，)10,1(~N Y ，(1)已知Y X ,相互独立，求)432(2X XY X E +-；(2)已知3.0=XY ρ，求)(Y X D -。

9. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=.1,0,1,1)(2x x x x f X ，（1）求X 的分布)(x F X ；（2）求⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<321X P ；（3）令Y =2X ，求Y 的密度)(y f Y 。

10．设随机变量()Y X ,的联合概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他,020,10,31,2y x xy x y x f 试求：（1）X 和Y 的边缘概率密度； （2）X 和Y 是否相互独立？请说明理由。

参考答案：二．填空题1. 0.32. 0.73. 1/34. 0.255. 16/36. 63/647. 0.288. 1/49. 1/3 10. 9/64 三．计算题1. 解：设{}第一次取出白球=A ，{}第二次取出白球=B ．则由全概率公式，得()()()()()114104117103114=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ．2. 解: 41}21P{X =≤21}25X 32P{=≤<4341213}X P{2=+=≤≤213}X P{2=<≤3. 解: (1)由概率密度的性质⎰+∞∞-=1)(dx x f ,2110cos cos |cos sin 00==+=+-=-=⎰a a a a a x a xdx a 得πππ (2) 4221|cos 21sin 21}40{4040-=-==<<⎰πππx xdx X P(3) X 的概率分布为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=ππx x x x x F ,10,)cos 1(210,0)(4. 解：当11≤≤-x 时， ()()()4212-18214212x x ydy x dy y x f x f x X -===⎰⎰+∞∞， 所以，随机变量X 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它011182142x x x x f X ；当10≤≤y 时，()()25322727421y yx ydx x dx y x f x f yyy Y ====⎰⎰-+∞∞-， 所以，随机变量Y 的边缘密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它102725y yy f Y ； ()()()y f x f y x f Y X ≠,，所以X 与Y 不独立．5. 解：(1)Y 的分布律为:41}0{}1{=<=-=X P Y P 41}01{}0{=≤≤-==X P Y P 21}1{}1{=>==X P Y P ;,(2)41211410411)(=⨯+⨯+⨯-=Y E , 43410431)(2=⨯+⨯=Y E所以 1611)()()(22=-=Y E Y E Y D . 6.解：设A 表示知道答案，B 表示猜对，C 表示答对这道题，则B A AC +=所求概率)|()()()(A B P A P A P C P +=625.0=7.解：从9个球中任取两球，取法总数为29C n =Ω。

（1）设A 表示“两球均为白球：，则24C n A =，()612924==C C A P ；（2）设B 表示“两球中，一白一黑”，则1514C C n B =，则()95292514==C C C B P ；（3）设C 表示“至少有一球是黑球”，显然，A C =，则()()651=-=A P C P . 8.解：由题意知10,1,6.1,2====DY EY DX EX ，（1）6.546.1)(22=+=+=EX DX EX所以 22432)432(EX EXEY EX X XY X E +-=+-6.5412322⨯+⨯⨯-⨯=4.20=（2）2.1106.13.0),(=⨯⨯==DXDY Y X COV XYρ=-+=-+=-4.2106.1),(2)(Y X COV DY DX Y X D 9.29. 解：（1）因211111()()00x xX dt x F x f t dt t xx -∞⎧=-≥⎪==⎨⎪<⎩⎰⎰所以111()0X x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩（2）13(3)(1/2)2/32P X F F ⎧⎫<≤=-=⎨⎬⎩⎭（3）Y 的分布函数(){2}{/2}Y F y P X y P X y =-∞<≤=-∞<≤=/2()y X f x dx -∞⎰所以2221()()(/2)202Y Y X x yf y F y f y x ⎧≥⎪'===⎨⎪<⎩.10.解：（1）()()x x dy xy x dy y x f x f X 32231,2202+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰∞+∞-()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=∴其他 ,010,3222x x x x f X ()()()y dx xy x dx y x f y f Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰∞+∞-26131,102，()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=∴其他,020,261y y y f Y（2） 因为()),()(y x f y f x f Y X ≠，所以X 和Y 不相互独立。