第1讲集合理清双基1、集合的有关概念（1）、集合的含义与表示：研究对象的全体称为集合。
对象为集合的元素。
通常用大写字母A 、B 、C 、D 表示。
元素与集合的关系∈与∉（2）、集合元素的特征（三要素）：①确定性：②互异性：③无序性：【例】1.设R b a ∈,，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则=-a b ________.（3）、集合的分类：①有限集②无限集③空集：∅（4）、集合的表示方法:①自然语言②列举法③描述法④venne 法【例】2.分析下列集合间的关系}1{2+==x y y A }1{2+==x y x B }1),{(2+==x y y x C }1{2+==x t t D 3.集合}{抛物线=A }{直线=B ，则B A 的元素个数下列说法正确的是（）一个（B ）二个（C ）一个、二个或没有（D ）以上都不正确变式：集合})0(),{(2≠++==a c bx ax y y x A })0(|),{(≠+==k b kx y y x B ，则B A 的元素个数为（）说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
2.集合间的关系（1）子集：（2）相等关系：（3）真子集：说明：任何一个集合是它本身的子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
【例】4.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系正确的是（）A.NM = B.NM ≠⊂ C.NM ≠⊃ D.以上都不对5.已知集合}.121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围是()A ．43≤≤-m B ．43<<-m C ．42≤<m D ．4≤m 3.集合的基本运算（1）交集（2）并集（3）补集全集【例】6.已知集合}1{2+==x y y M ，}9{2x y x N -==，则=N M ________4、集合运算中常用结论（1）等价关系B A A B A ⊆⇔= AB A B A ⊆⇔=【例】7.已知集合}{},1{a x x B x x A ≥=≤=，且R B A = ，则实数a 的取值范围为____（2）反演律（德摩根定律）)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =【例】8.设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合S 与T 都是U 的子集，满足}2{=T S ，}4{)(=T S C U ，}5,1{)()(=T C S C U U 则有()A ．TS ∈∈3,3B ．TC S U ∈∈3,3C ．TS C U ∈∈3,3D ．TC S C U U ∈∈3,39.由)(+∈N n n 个元素组成的集合A 的子集个数：A 的子集有n2个，非空子集有)12(-n 个，真子集有)12(-n 个，非空真子集有)22(-n 个【考点分析】考点一集合的基本概念【例1】1.已知集合},,|),{(},5,4,3,2,1{A y x A y A x y x B A ∈+∈∈==则B 中所含元素的个数为()A ．3B ．6C ．8D ．102.集合A 是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的，判断321-是不是集合A 中的元素.3.数集A 满足条件：若A a ∈，则)1(11≠∈-+a A a a ．若A ∈31，求集合中的其他元素.4.已知},,2|{R k N x k x x P ∈∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________.5.已知集合}023|{2=+-=x ax x A .（1）若A 是单元素集合，求集合A ；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．►归纳提升解答集合的概念问题应关注两点(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性。
(2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性。
强化训练1（1）已知集合}2,1,0{=A ，则集合},|{A y A x y x B ∈∈-=中元素的个数是()A ．1B ．3C ．5D ．9（2）已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，则实数a 构成的集合B 的元素个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3考点二集合间的基本关系【例2】1.已知集合},50|{},,023|{2N x x x B R x x x x A ∈<<=∈=+-=则满足条件B C A ⊆⊆的集合C 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4►归纳提升解答集合间的关系问题的关注点(1)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析。
(2)当题目中有条件B ⊆A 时，不要忽略B ＝∅的情况。
强化训练2（1）已知集合}2|{},020182019|{2m x x B x x x A <=<+-=，若A B A = ，则整数m 的最小值是()A ．0B ．1C ．11D ．12考点三集合的基本运算【例3】1.已知全集}4,3,12,0{=U ，集合}4,2{},3,2,1{==B A 则B A C U )(为()A ．}4,2,1{B ．}4,2,3{C ．}4,2,0{D ．}43,2,0{，2.已知集合}3|2||{<+=x x A ，集合}0)2)((|{<--=x m x x B ，且),1(n B A -= ，则m ＝___，n ＝___。
3.设}04)2(2|{},08|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，其中R a ∈.如果B B A = ，求实数a 的取值范围.4．已知集合}019|{22=-+-=a ax x x A ，}082|{},065|{22=-+==+-=x x x C x x x B ，试探求a 取何实数时，≠)(B A ∅与=)C ( A ∅同时成立.5．若三个方程022,0)1(,03442222=-+=+-+=+-+a ax x a x a x a ax x 至少有一个方程有实数解，试求实数a 的取值范围．►归纳提升集合运算问题的常见类型及解题策略（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解。
（2）连续型数集的运算，常借助数轴求解。
（3）已知集合的运算结果求集合，借助数轴或Venn 图求解。
（4）根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解。
强化训练3（1）已知集合}5,4,3,2,1{},3{},3,2,1{===A B A B A ，则集合B 的子集的个数为()A ．6B ．7C ．8D ．9（2）设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=T S C R )(()A ．]1,2(-B ．]4,(--∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞考点四集合中的新定义问题【例4】1.给定集合A ，若对于任意A b a ∈,，有A b a ∈+，且A b a ∈-，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合4}202-{-4，，，，=A 为闭集合；②集合},3|{Z k k n n A ∈==为闭集合；③若集合21A A ，为闭集合，则21A A 为闭集合。
其中正确结论的序号是__________。
►归纳提升集合中新定义问题的求解策略（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆。
（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解。
强化训练（1）．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.①判断集合}2,1,1{-=A }是否为可倒数集；②试写出一个含3个元素的可倒数集．（2）．设U 为全集，对集合Y X ,定义运算“*”，)(Y X C Y X U =*，对于任意集合Z Y X ,,则=**Z Y X )(()A ．ZC Y X U )(B ．ZC Y X U )(C ．ZY C X C U U )(D ．ZY C X C U U )(【反馈训练】1．已知集合}02|{},2,1{=-==ax x B A ，若A B ⊆，则a 的值不可能是()A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合}3,2{-=A ，集合B 满足B A B = ，那么符合条件的集合B 的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．43．集合}7,6{},5,4,3{==Q P ，定义},|),{(Q b P a b a Q P ∈∈=*，则Q P *的子集个数为()A ．7B ．12C ．32D ．644．当A x ∈时，若A x A x ∉+∉-1,1，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合}3,1,0{=M 的孤星集为M '，集合}4,3,0{=N 的孤星集为N '，则N M '' ＝()A ．{0,1,3,4}B ．{1,4}C ．{1,3}D ．{0,3}5.已知集合A B m B m A ⊆==},,1{},,2,1{3，则m ＝________.6．若集合},2{},,4,2{2x B x A ==}，且},4,2{x B A = ，则x ＝________.7．已知集合}02|{2=++=a x ax x A ，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为________．8．集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A （1）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（2）当A 中的元素Z x ∈时，求A 的非空真子集的个数；（3）当R x ∈时，若φ=B A ，求实数m 的取值范围．9．已知集合}242|{},31|{-≥-=≤≤-=x x x B x x A .(1)求B A ；(2)若集合}02|{>+=a x x C ，满足C C B = ，求实数a 的取值范围．10．已知集合},312|{},,61|{Z n n x x N Z m m x x M ∈-==∈+==，},612|{Z p p x x P ∈+==，试确定P N M ,,之间的关系.11．设数集}43|{+≤≤=m x m x M ，}31|{n x n x N ≤≤-=，且N M ,都是集合}10|{≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合}|{b x a x ≤≤的“长度”，那么集合N M 的“长度”的最小值是________.12．设B A ,是两个非空集合，定义A 与B 的差集},|{B x A x x B A ∈∈=-.(1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集B A -与A B -是否一定相等？说明理由；(3)已知}66|{},4|{<<-=>=x x B x x A ，求)(B A A --和)(A B B --．参考答案【例】1.2；【例】2.略；3.D ；变式：C ；【例】4.B.； 5.D ．；【例】6.]3,1[；【例】7.1≤a ；【例】8.B ；【考点分析】考点一集合的基本概念【例1】1.D ；2.是；3.集合中的其他元素为21,3,2--；4.]6,5(∈k ；5.（1）解：当0=a 时，32=x 符合题意。