(,1)
1
(1,3)
3
(3,)
+
0
－
0
＋
由上可知，函数的单调增区间为 (,1] 和[3,)
，单调减区间为 [1,3]
1．曲线的凹凸定义和判定法
知道了函数的单调性，对函数的变化情况有了初步的了解． 但仅限于此还不够，例如函数曲线
但它们上升的方式 y x 2 与 y x 在 (0,) 内都是上升的，
3 2 f ( x ) 2 x 6 x 18x 7 的定义域为一切实数， 解 函数
f ' ( x) 6x 2 12x 18 6( x 1)(x 3) ，令
f ' ( x) 0
，得 x1 1, x2 3
为表达简洁明了，列表表示
x
f ( x)
f ' ( x)
解 函数 f ( x) x 3 的定义域为一切 实数， f ' ( x) 3x 2 0 ，
3 f ' ( 0 ) 0 f ( x ) x 因此，函数 在 (,) 且只有 ，
上单调增加．
例2 求函数 f ( x) 2x 3 6x 2 18x 7 的单调区间．
却有明显的区别
y
y x2
y x
O
x
定义3-1 在某区间内，如果曲线弧位于其上任一点
处的切线的上方，则称曲线在该区间内是凹的；
如果曲线弧位于其上任一点处的切线的下方， 则称曲线在该区间内是凸的．
进一步分析上图可得凹凸性的判定定理 定理3-5 设函数 f ( x) 在区间 (a, b) 内具有二阶导数， （1）如果 x (a, b) 时，恒有 f " ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 在 (a, b) 内是凹的； （2）如果 x (a, b) 时，恒有 f " ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 在 (a, b) 内是凸的；
定理3-4 设函数 y f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 ( a, b) 内可导，则: （1）如果在 ( a, b)内 f '( x ) 0, 那么函数 y f ( x )在 [a , b] 上单调增加；
（2）如果在( a , b )内 f '( x ) 0, 那么函数 y f ( x )在 [a , b] 上单调减少．
注意：
（1）如果将定理中的闭区间换成开区间或半开区间， 结论仍然成立． （2）如果在 (a, b) 内 f ' ( x) 0(或 0) ，但等号只 在有 限个点处成立，那么函数 f ( x )在 [a , b] 上仍然是单调
增加（或减少）的．
3 的单调性． f ( x ) x 例1 判定函数
f " ( x) 要么为零，要么不存在．
4 3 例5 求曲线 y x 2 x 1 的凹凸区间及拐点．
解: （1）函数 y x 4 2 x 3 1 的定义域为 (,) ；
3 2 2 y ' 4 x 6 x , y " 12 x 12x 12x( x 1) ，令 y" 0 （2 ）
，得 x1 0, x2 1 ，无 y" 不存在的点；
（3）列表判断（符号 表示凹的，符号
表示凸的），如下表所示．
x
y"
(,0)
＋
0
(0,1)
－
1
(1,)
＋
0
0
y

拐点
(0,1)

拐点
(1,0)

(,0) (1,) 为凹区间；(0,1) 为凸区间；点 由上可知，
(0,1) 及 (1,0) 为曲线的拐点．
4 2 y x 5 x 例3 判断曲线 的凹凸性．
3 2 y ' 4 x 10 x , y " 12 x 10 ，在 (,) 上，恒有 解：
y" 12x 2 10 0
故曲线 y x 4 5x 2 在 (,) 上为凹的。
定义3-2 连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点． 既然拐点是曲线上凹与凸的分界点，那么在拐点的 要满足这一特征，拐点处的 左右近旁 f " ( x) 应为异号，
3.3 主 要 内 容 教 学 要 求
函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性和拐点
一、掌握用导数判别函数单调性的方法 二、会用导数判断曲线的凹凸性 三O
x
O
x
(a)
(b)
f '( x) tan 0
f ( x) tan 0
'