复变函数与积分变换试题
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)
1.z=2-2i ，|z 2|=（ ）
A.2
B.8
C.4
D.8
2.复数方程z=cost+isint 的曲线是（ ）
A.直线
B.圆周
C.椭圆
D.双曲线
3.Re(e 2x+iy )=（ ）
A.e 2x
B.e y
C.e 2x cosy
D.e 2x siny
4.下列集合为有界单连通区域的是（ ）
A.0<|z-3|<2
B.Rez>3
C.|z+a|<1
D.π≤<πargz 21
5.设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（ ）
A.-3
B.1
C.2
D.3
6.若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x (ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（
）
A.e x (ycosy-xsiny)
B.e x (xcosy-xsiny)
C.e x (ycosy-ysiny)
D.e x (xcosy-ysiny) 7.⎰=-3|i z |z
dz =（ ）
A.0
B.2π
C.πi
D.2πi 8.
⎰=---11212
z z sinzdz |z |=（ ） A.0 B.2πisin1
C.2πsin1
D.1sin 21
i π
9.⎰3
02dz zcosz =（ ） A.21sin9 B.2
1cos9 C.cos9
D.sin9 10.若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，
2π ]=（ ） A.-2π
B.-π
C.-1
D.0 11.f(z)=
2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（ ） A.0
B.1
C.2
D.3 12.z=0为函数cos
z 1的（ ） A.本性奇点
B.极点
C.可去奇点
D.解析点 13.f(z)=
)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（ ） A.∑∞=-0
1n n n z )
( B.∑∞=-021n n z )z ( C.∑∞=-02n n )
z ( D.∑∞=---0121n n n )z ()(
14.线性变换ω=i
z z i +-（ ） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0
B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1
C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0
D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1
15.函数f(t)=t 的傅氏变换J [f(t)]为（ ）
A.δ(ω)
B.2πi δ(ω)
C.2πi δ'(ω)
D.δ'(ω)
二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)
16.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.
17.若cosz=0，则z=________.
18.设f ′(z)=⎰
==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 19.幂级数∑∞=1n n n z n !n 的收敛半径是________.
20.线性映射ω=z 是关于________的对称变换.
三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
21.计算复数z=327-的值.
22.已知调和函数v=arctg x
y ,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式. 23.设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值.
24.求积分I=⎰
+C dz z i 的22值，其中C ：|z|=4为正向. 25.求积分I=⎰+C z
dz )i z (e 的42
值，其中C ：|z|=2为正向. 26.利用留数计算积分I=⎰C zsinz
dz ，其中C 为正向圆周|z|=1. 27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数.
28.将函数f(z)=()
22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数. 四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。

每小题10
分，共20分)
29．（1）求f(z)=iz e z z
21+在上半平面的所有孤立奇点；
（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；
（3）利用以上结果计算积分I=⎰
+∞∞-+x d x 1xsinx 2. 30.设D 是Z 平面上的带形区域：1<Rez<1+π，求下列保角映射：
（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0<Re ω1<π；
（2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的带形区域D 2：0<Im ω2<π；
（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的上半平面D 3：Im ω>0；
（4）综合以上三步，求把D 映射成D 3的保角映射ω=f(z).
31.(1)求e t 的拉氏变换L [e t ];
(2)设F （p ）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y ′(t)]、L [y ″(t)]存在，且y(0)=0， y ′(0)=0，求L [y ′(t)]、L [y ″(t)];
(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧='==+'-''.)(y ,)(y e y y y t
00002。