习题1313-3．如习题13-3图所示，把一块原来不带电的金属板B 移近一块已带有正电荷Q 的金属板A ，平行放置。
设两板面积都是S ，板间距为d ，忽略边缘效应，求：(1)板B 不接地时，两板间的电势差。
(2)板B 接地时，两板间的电势差。
[解] (1)两带电平板导体相向面上电量大小相等符号相反，而相背面上电量大小相等符号相同，因此当板B 不接地，电荷分布为因而板间电场强度为 SQ E 02ε=电势差为 SQdEd U 0AB 2ε== (2) 板B 接地时，在B 板上感应出负电荷，电荷分布为 故板间电场强度为 SQ E 0ε=电势差为 SQdEd U 0AB ε== B A-Q/2Q/2Q/2Q/2A B -QQ13-4 两块靠近的平行金属板间原为真空。
使两板分别带上面电荷密度为0的等量异号电荷，这时两板间电压为U 0=300V 。
保持两板上电量不变，将板间空间一半如图习题13-4图所示充以相对电容率为r =5的电介质，试求（1） 金属板间有电介质部分和无电介质部分的E,D 和板上的自由电荷密度； （2） 金属板间电压变为多少？电介质上下表面束缚电荷面密度多大？13-5．如习题13-5图所示，三个无限长的同轴导体圆柱面A 、B 和C ，半径分别为R A 、R B 、R C 。
圆柱面B 上带电荷，A 和C 都接地。
求B 的内表面上线电荷密度1和外表面上线电荷密度2之比值1/2。
[解] 由A 、C 接地 BC BA U U = 由高斯定理知 r E 01I 2πελ-=rE 02II 2πελ= AB0101I BA ln 2d 2d ABA BR Rr r U R R R R πελπελ=-==⎰⎰r E IIIB C 0202II BC ln 2d 2d CB CBR R r r U R R R R πελπελ===⎰⎰r EBC 02A B 01ln 2ln 2R R R R πελπελ= 因此 AB BC 21ln :ln:R R R R =λλ13-6．如习题13-6图所示，一厚度为d 的无限大均匀带电导体板，单位面积上两表面带电量之和为。
试求离左表面的距离为a 的点与离右表面的距离为b 的点之间的电势差。
[解] 导体板内场强0=内E ，由高斯定理可得板外场强为2εσ=E 故A 、B 两点间电势差为()a b x x x U bd a da d a a aB A-=++-=⋅=⎰⎰⎰⎰++++000AB 2d 2d 0d 2d εσεσεσl E 13-7．为了测量电介质材料的相对电容率，将一块厚为 1.5cm 的平板材料慢慢地插进一电容器的距离为2.0cm 的两平行板中间。
在插入过程中，电容器的电荷保持不变。
插入之后，两板间的电势差减小到原来的60％，求电介质的相对电容率。
[解] 设两平行板间距离为d ，介质板厚度为d '，插入前电容器电势差为U ，插入后为U '，电容器上面电荷密度为σ插入介质板前电容器内场强0εσ=E ，电势差0εσd Ed U ==插入介质板后，电容器内空气中场强仍为E ，介质内场强r0εεσ='E 两板间的电势差()()r00εεσεσd d d d E d d E U '+'-=''+'-=' 已知U .U 600='，因此有()r00060.0εεσεσεσd d d d '+'-= 解此方程得ⅠⅡⅢBA1.20.240.05.15.14.0r =⨯-=-''=d d d ε13-8．半径都是R 的两根无限长均匀带电直导线，其线电荷密度分别为λ+和λ-，两直导线平行放置，相距为d (d >>R )。
试求该导体组单位长度的电容。
[解] 可用叠加原理及高斯定理计算两导线间垂直连线上任意点P 的场强。
如图所示，过P 分别做两个长为L ，与两条直导线共轴的闭合圆柱面作为高斯面。
根据高斯定理分别计算每条线上电荷产生的场强。
l l rLE λελεπ0111d 12d ===⋅⎰⎰⎰S Ε所以 rE 012πελ=同理 ()r d E -=022πελ根据叠加原理，P 点总场强为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=r d r E E E 1121021πε 两条线间电压为R R d r r d r U Rd RRd R-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⋅=⎰⎰--ln d 112d 00πελπελl E 故单位长度电容RRd UC -==lnπελ13-9．一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R 1=2cm ，R 2 =5cm ，其间充满相对电容率为r 的各向同性均匀电介质，电容器接在U =32V 的电源上(如习题13-9图所示)。
试求距离轴线R =3.5cm 的点A 处的电场强度和点A 与外筒间的电势差。
[解] 由Q =⋅⎰⎰S D d L L r D λπ=⋅⋅2因此 rD πλ2=r E r 02επελ=12r 0ln 2d 3221R R r E U R R επελ===⎰Rr PdR因此 12r 0ln 2R R Uεπελ=所以 1-12r 012r 0r 0A m 998ln 21ln 212⋅====V R R R UR R R U R E επεεπεεπελ1-m 998⋅=V r A e E⎰⎰==222d d AR R RR Rr E r E U =12.5 V13-10．置于球心的点电荷+Q 被两同心球壳所包围，大球壳为导体，小球壳为电介质，相对电容率为r ，球壳的尺寸如习题13-10图所示。
试求以下各量与场点矢径r 的关系：(1)电位移D ；(2)电电场强度度E ；(3)极化强度P ；(4)束缚电荷激发的电电场强度度E ；(5)面电荷密度；(6)电能密度e 。
[解] (1) 由有介质的高斯定理Q =⋅⎰⎰S D d 1()()⎪⎩⎪⎨⎧<<><=d r c d r c r r Q42或re D π (2) 由静电场的性能方程 E D r 0εε=得()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<<<<<=d r c b r a r Q c r b a r r Q0442r 020rre e E επεπε或 (3) 由 ()ΕP 1r 0-=εε得()()()⎪⎩⎪⎨⎧><<<-=b r a r b r a r Q 或0412r r re P πεε(4) 在电介质内 E E E '+=0所以r e E E E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-='114r 200επεr Q在其它位置0='E(5) 由束缚电荷 ()2112n P P ⋅-='σ，在电介质中()2r r 2a41a Q P πεεσ--=-='()2r r 1b41bQ P πεεσ-=='在导体中，自由电荷 n D ⋅=σ2c c 4c QD πσ-=-= 2d d 4d QD πσ== (6) 由 DE w 21=得 ()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<<><<<=d r c b r a r Q d r c r b a r r Q 032324r 0224022e εεπεπω或或13-11．一电容为C 的空气平行板电容器，接端电压为U 的电源充电后随即断开。
试求把两个极板间距增大至n 倍时外力所作的功。
[解] 断开电源后Q 不变，电容由原来的dSC 0ε=，变为ndSC 0ε='外力所做的功即相当于系统静电能的改变量221CU W =221U C W ''='由于Q 不变，C n C '=，所以nU U ='因此2221U n C W '='()()12121222-=-'=-'=n CU C n C U W W W ∆即外力做功()1212-=n CU A13-12．球形电容器由半径为R 1的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径为R 2，其间充有两层均匀电介质，分界面的半径为r ，内外层电介质的相对电容率分别为r 1和r 2。
已知内球带电量为-Q ，试求：(1)各介质表面上的束缚面荷密度；(2)电容器的静电能和面a P 22112面b P 12112电场总能量。
[解] (1) 1R <r '<r 24r QD '-=π 2r1014r Q E '-=επε r <r '<2R 24r QD '-=π 2r2024r Q E '-=επε 1R r ='时，()()()()21r1121r10r10r1012112R 414111R Q R Q E P r πεεεπεεεεεσ-=---=--=-=⋅-='n P Pr r ='时，()()()2r201r10122112r 11E E P P ---=-=⋅-='εεεεσn P P()()()2r1r2r1r22r20r202r10r1044141r Qr Q r Q επεεεεπεεεεπεεε-=-----=2R r ='时，()()()()222222202022022112R414112R Q R Q E P r r r r r πεεεπεεεεεσ--=--=-==⋅-='n P P(2) DE w 21=r r r Q r r r Q V DE W R r r R e '''+'''==⎰⎰⎰⎰⎰d 41621d 41621d 2124r202224r102221πεεππεεπ ()()r R R r R R R r R Q R r Q r R Q 21r2r121r112r2022r2021r1028118118εεεεπεεπεεπε-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
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