分类号：O172西安文理学院数学系学士学位论文高考题中微积分内容的分析与思考系院名称数学系指导老师胡洪萍学生姓名刘丽华学生学号 021********专业、班级数学与应用数学2007级1班提交时间二零一一年五月西安文理学院数学系西安文理学院数学系本科毕业论文任务书1.任务书由指导教师填写，经教研室主任及主管系主任审批后，在第八学期第1周以前下达给学生；2.研究的主要内容和要求中，工科要给出主要的技术参数；3.主要完成的任务是对学生应完成的论文、设计说明书、图纸及翻译多少外文资料提出的具体任务；4.文献查阅指引是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什么和怎样查阅。

西安文理学院数学系本科毕业论文开题报告注：此表前4项由学生填写后，交指导教师签署意见，经主管系主任审批后，才能开题。

西安文理学院数学系本科毕业论文进度表目录（一）摘要（二）关键字（三）引言（四）正文1、微积分在高中数学中的地位1.1选修2-2中微积分内容的整体框架1.2《课标》与《大纲》对微积分内容的要求与变化2、高考试题中的微积分问题2.1 高考考试大纲要求2.2 高考考点2.2.1导数在函数单调性与极值问题上的应用2.2.2导数在曲线的切线问题上的应用2.2.3用导数证明不等式2.2.4 积分在高考数学中的应用3、对微积分内容教学的一点建议3.1适当讲解概念，分层递进要求3.2剖析易混概念，使得条理清晰。

3.3横向联系知识，变式综合应用3.4培养学生能力,提高学习兴趣（五）结束语（六）参考文献（七）致谢高考题中微积分内容的分析与思考刘丽华（西安文理学院数学系，陕西西安 710065）摘要：随着新课程的改革，微积分进入了初等数学，并在高考数学中占有一定分量。

本文简要介绍新课程标准背景下微积分内容在高考数学知识体系中的地位，并结合近几年高考真题，总结分析微积分内容在高考数学中的常考类型，为数学教师教学提供参考。

关键词：微积分；导数；定积分；函数；面积微积分是继欧式几何之后，数学发展史和数学教育发展史上的第二个里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。

在我国2004年新一轮高中课程改革中，再一次将微积分初步的知识——导数及其应用、定积分规定为选学内容。

新课程中的微积分内容和《全日制普通高级中学数学教学大纲》（以下简称《大纲》）的教学目标相比，在要求和处理上都有了较大的变化，本文立足于《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）对微积分的定位，结合近几年高考数学试题，分析总结微积分内容在高考体制中的常考类型，并为高中数学教师及师范生今后对微积分内容的教学提供参考。

1.微积分在高中数学中的地位1.1 选修2-2中微积分内容的整体框架变化的快慢与变化率导数的概念及其几何意义变化率与导数计算导数导数的四则运算法则微简单的复合函数的求导法则函数的单调性及极值积导数应用实际问题中导数的意义导数在实际问题中的应用分最大值、最小值定积分的概念定积分微积分基本定理平面图形的面积定积分的简单应用简单几何体的体积从以上分析可以看出，微积分内容中不再系统的讲解极限的概念，而且通过实际背景和具体应用的实例，通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，帮助学生理解导数的背景、思想和作用。

内容要求的调整，也将帮助学生把精力更多地放在理解数学的思想和本质上，更加注重将数学知识建立在学生的数学现实之上，注重发展学生的数学思维能力，发展学生的应用意识，提高学生自觉运用数学知识分析问题、解决问题的能力，为学生今后进一步学习，或在工作、生活中应用数学打下坚实的基础。

2．高考试题中的微积分问题导数以其丰富的思想内涵和广泛的教育价值，已成为现阶段高中数学课程的重要章节，而他丰富的实际背景和应用价值也使得数学问题的解决更加新颖别致、灵活多样，与高考试题注重创新、开放、探究性的命题意图不谋而合，因而成为近几年高考考查学生数学素养的重要载体，从高考命题的立意看，今后可能还会持续这一热点。

下面先介绍国家教育部最新公布的2011年高考考试大纲（课标实验版）对微积分内容的要求：2.1 高考考试大纲要求2.1.1 2011年高考数学考试大纲（课程标准实验版）（理）0='c (c 为常数)；()1-='n n nx x ,)(+∈N n ；()x x cos sin ='；()x x sin cos -='；()x x e e ='；()a a a x x ln ='；()x x 1ln ='；()()1,0,log 1log ≠>='a a e xx a a 且.导数及其应用（1）导数概念及其几何意义① 了解导数概念的实际背景.② 理解导数的几何意义.（2）导数的运算① 能根据导数定义，求函数c y '=(c 为常数)，x y y y x y c y 1,,,2====的导数.② 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.·常见基本初等函数的导数公式：0='c (c 为常数)；()1-='n n nx x ,)(+N ∈n ；()x x cos sin ='； ()x x sin cos -='；()x x e e ='；()a a a x x ln ='；()x x 1ln ='；()()1,0,log 1log ≠>='a a e xx a a 且. ·常用的导数运算法则：① 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（4）生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题.2.2 高考考点《课标》中对微积分的教学内容明确提出：“导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．要求学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，体会导数的思想及其内涵；了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础.”本人通过对近几年高考数学试卷进行统计分析，发现2009年新课标自主命题的10个省份（山东、广东、宁夏、海南、江苏、浙江、安徽、辽宁、福建、天津）中全部考到了微积分的知识，所涉考题平均分值为13.64分，占试卷总成绩的001.9，其中有8个省将涉及微积分知识的考题作为压轴题（除选做题）。

2010年这10个省份所有涉及微积分内容的考题所占平均分值为13.55分，占试卷总成绩的000.9，其中有7个省份将此内容题型放在了试卷靠后的位置。

由此可看，微积分知识在高考中占有非常重要的地位。

参考2008、2009、2010年的高考数学试题，本人总结了高考题中微积分内容的常考题类型，并且重点讨论以下几点：2.2.1导数在函数单调性与极值问题上的应用函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识，用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷，这也是近几年新课课程标准下高考数学中的一个热点问题。

例1、（2010·安徽高考·文科）设函数()1cos sin ++-=x x x x f ，π20<<x 求函数()x f 的单调区间与极值。

【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的转化能力。

【思路点拨】对函数()x f 求导，分析导数()x f '的符号情况，从而确定()x f 的单调区间和极值。

【规范解答】解：由()1cos sin ++-=x x x x f ，π20<<x ，知()⎪⎭⎫ ⎝⎛++='4sin 21πx x f . ()224sin ,0-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+='πx x f 从而令 解得：π=x ，或23π=x当x 变化时，()()x f x f 、'变化情况如下所示:因此，由上表知()x f 的单调增区间是()π,0与⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ2,23，单调递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛23ππ，，极小值为2323ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，极大值为()2+=ππf . 【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法，简单易行，具体计算步骤如下：（1）求导数()x f '；（2）求方程()0='x f 的全部实根；（3）列表，检查()x f '在方程()0='x f 的根左、右的值的符号；（4）判断单调区间和极值。

2.2.2导数在曲线的切线问题上的应用导数的几何意义：如果函数()x f 的导数存在，则的函数()x f 在0x x =处的导数即为该函数在点()()00,x f x 切线的斜率．利用这个我们可以求出曲线的切线方程． 例2、（2010·浙江高考·文科）已知函数()()()b x a x x f --=2，()b a R b a <∈,, （1）当a=1，b=2时，求曲线()x f y =在点()()x f ,2处的切线方程。

（2）设21,x x 是()x f 的两个极值点，3x 是()x f 的一个零点，且2313,x x x x ≠≠， 证明：存在实数4x ，使得4321,,,x x x x 按某种顺序排列后的等差数列，并求4x ．【命题立意】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导数应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。

【思路点拨】（1）先求出()2f '再代入点斜式方程；（2）先找到321,,x x x ，观察它们之间的关系，从而确定4x 在等差数列中的位置。

【规范解答】解：（1）当a=1,b=2时，2()(1)(2)f x x x =--, 因为()()()531--='x x x f ，故()()02,12=='f f .所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为2-=x y .（2）因为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--='323b a x a x x f ，由于b a <,故32b a a +<.所以()x f 的两个极值点为32,b a x a x +==. 不妨设32,21b a x a x +==,因为2313,x x x x ≠≠,且3x 是()x f 的零点，故b x =3 又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+32232b a b a b a ,所以3241,,,x x x x 成等差数列。