授课教案
学员：________________ 学员年级：________________ 授课教师：_________________ 所授科目：_________ 上课时间：______年____月____日 （ ～ ）； 共_____课时 （以上信息请老师用正楷字手写）
轴对称最值问题专项提升
【知识点】最短路径
两点之间，线段最短
例：四边形ABCD 中，∠BAD=0120，∠B=∠D=0
90,在BC ，
CD 上分别找一点M ，N ，使∆AMN 周长最小，则∠AMN+∠ANM 的度数是（ ）
A.0130
B.0120
C.0110
D.0100
例：如图，P ，Q 分别为∆ABC 的边AB ，AC 上的定点,在BC 上求作一点M ，使∆PQM 周长最小。

一．解答题（共6小题）
1．已知：如图所示，M （3，2），N （1，﹣1）．点P 在y 轴上使PM+PN 最短，求P 点坐标．
2．如图，△ABC 的边AB 、AC 上分别有定点M 、N ，请在BC 边上找一点P ，使得△PMN 的周长最短． 保留作图痕迹）
3．如图△ABC 是边长为2的等边三角形，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上的动点，Q 是AC 边上的动点，当P 、Q 的位置在何处时，才能使△DPQ 的周长最小？并求出这个最值．
4．如图，∠AOB=30°，∠AOB有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值．
5．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的两个定点，P在ON边上运动．问P点在什么位置时，PA2+PB2的值最小？
6．如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧．工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米．现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小．如图建立直角坐标系．
（1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式．
（2）在0≤a≤2围，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值．
2014年09月09日752444625的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共6小题）
1．已知：如图所示，M（3，2），N（1，﹣1）．点P在y轴上使PM+PN最短，求P点坐标．
2．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹）
3．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q 的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．
4．如图，∠AOB=30°，∠AOB有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值．
∴△PQR的周长=EF．
∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10．
故答案为：10．
点评：本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．
5．如图，已知A、B是锐角α的OM边上的两个定点，P在ON边上运动．问P点在什么位置时，PA2+PB2的值最小？
考点：轴对称-最短路线问题．
专题：动点型；探究型；存在型．
分析：由余弦定理，可得二次函数，然后可求最值．
解答：解：设OA=a，OB=b，OP=x，
∵PA2=a2+x2﹣2axcosα，PB2=b2+x2﹣2bxcosα，
∴PA2+PB2=a2+x2﹣2axcosα+b2+x2﹣2bxcosα=2x2﹣2（a+b）cosαx+a2+b2，
∴当x=cosα时，PA2+PB2的值最小．
点评：本题考查的是最短路线问题，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
6．如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧．工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米．现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小．如图建立直角坐标系．
（1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式．
（2）在0≤a≤2围，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值．
考点：轴对称-最短路线问题；直角梯形．
专题：探究型．
分析：（1）过B作直线BE⊥y轴于E点，再根据所建直角坐标系及A和B距离河岸l分别为4千米和2千米求出A、B两点的坐标，再用a表示出B′点的坐标，再用两点间的距离公式即可求解；。