宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准课程名称 高等代数 2适用时间试卷类别2适用专业、年级、班一、选择题： （每题 3 分，共 15 分）1.D ;2.B ；3. C ;4.A ；5. D 二、填空题： （每题 3 分，共 15 分）1. 1；2. )2 1,2 1,2 1( ； 3.3 1,2 1, 1 ； 4.； 5. 4p三、计算题（每小题10 分，共 40 分）1 解:（1） 令 ï î ï í ì = - = + = 3 32 1 2 21 1 yx y y x y y x 则 22 1323 11 ()() 22 f y y y y =+-+ 令 ï î ï í ì = + = + = 3 3 3 2 2 3 1 1 2 / 1 2 / 1 y z y y z y y z 即 ï îï í ì = - = -= 3 3 3 2 2 3 1 1 2 / 1 2 / 1 z y z z y z z y 则 21 z z f - = 所求的非退化的线性替换为 ÷ ÷ ÷øö ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - ÷ ÷ ÷ ø ö ç çç è æ - = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ 3 2 1 3 2 1 1 0 0 2 / 1 1 0 2 / 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 z z z x x x 即 ï îï í ì = - = - + = 3 3 21 2 32 1 1 z x z z x z z z x （7分） （2） 解: 由 f 的规范性知其正,负惯性指数都为 1,不正定. （10 分）2． （1）证明3 ] [x P 的维数是 3,设 0 ) 1 () 1 ( 2 3 2 1 = - + - + x k x k k 整理为 0 ) ( 23 2 3 2 1 = + + - - x k x k k k k 即, 0 3 2 1 = - - k k k 0 2 = k , 0 3 = k ,所以 1, 1 - x , 1 2 - x 为 3 ] [x P 的一组基.) 1 , 1 , 1 ( 2 - - x x = ) , , 1 ( 2 x x ú úú û ùê ê ê ë é - - 1 0 0 0 1 0 1 1 1 即 所求的过渡矩阵为 ú ú ú ûù ê ê ê ë é - - 1 0 0 0 1 0 1 1 1 （7 分）（2） 解 2 1 ) ( x x x f + + = 在 1 , 1 , 1 2- - x x 下的坐标为 ÷ ÷ ÷ ø öç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - -1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 =÷ ÷ ÷ øöç ç ç è æ 1 1 3 （10分）3． 证明（1）任意的 22 , ´ ÎPY X ,= + ) ( Y X A ) ( 1 1 1 1 Y X + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - = X ÷ ÷ ø ö ç ç èæ - - 1 11 1+ Y ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - 1 1 1 1 = ) ( ) ( Y A X A + 任意 P k Î , 22´ ÎP X , = ) (kX A = ÷ ÷ ø ö ç ç èæ - - kX 1 11 1 X k ÷ ÷ øö ç ç è æ - - 1 1 1 1 = ) (X kA 故 A 是线性变换.（3 分）（2 ） = )) ( ), ( ), ( ), ( ( 22 21 12 11 E A E A E A E A ) , , , ( 22 21 12 11 E E E E ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øö ç ç çç ç èæ - - - - 1 01 0 0 1 0 1 1 0 1 00 1 01（7 分）（ 3 ） ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - - - 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 ®÷ ÷ ÷ ÷÷ øö ç ç ç ç ç è æ - - 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 所以 dimIm(A)=秩(A)=2,dimker(A)=42=2（10 分）4.解:令 0 = - A E l 解得 7 , 2 3 2 1 = - = = l l l 分别代入() 0 = - X A E l 当 2 2 1 - = = l l 得 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ- = 0 1 1 1 a , ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ- = 1 0 1 2 a 7 3 = l 得÷ ÷ ÷ø öç ç ç è æ = 1 1 1 3 a 对它们正交化,单位化得 ÷ ÷ ÷÷ ÷÷÷ø öç ç ç ç ç ç ç è æ - = 0 2 1 2 1 1 b ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç ç è æ - - = 6 2 6 1 6 1 2 b ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç ç è æ = 3 1 3 1 3 1 3 b 则所求矩阵 = T ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øöçç ç ç ç ç ç èæ --- 3 1 6 2 03 1 6 1 213 1 6 121 .四、证明题（每小题 10 分，共 30 分） 1 证明：设 AX X x x x f n '2 1 ) ,, ( = L . 由于 A 是 n 级实对称矩阵,则可以找到正教矩阵 T,使得为对角阵.令 TY X = 则 22 2 2 2 1 1 2 1 ) , , ( nn n y y y x x x f l l l + + + = L L 由于非退化的线性替换不改变正定性,因此,A 正定的充要条件是 A 的特征值全大于零. （10分）2 证明： 设 0 ) () ( 1 1 2 1 = + + + - - a a a k k A l A l l L 分别用 A A A k k L , , 2 1- - 作用于上式得 01 2 1 = = = = - k l l l L （10 分）3 证明:“Þ” ε1，ε2，…，εn 是标准正交基,则任意 n n k k k e e e a + + + = L 2 2 1 1 ,分别用 ε1，ε2，…， εn和上式两端作用得) , ( , ), , (1 1 n n k k e a e a = = L 即 1122 (,)(,)(,) n n a a e e a e e a e e =+++ L （5 分） “Ü”由题设对每个 n i i , , 2 , 1 , L = e ,有 nn i i i i i i e e e e e e e e e e ) , ( ) , ( ) , ( 1 1 + + + = L L 但 n e e L ,1 线性无关,所以有= ) , ( j i e e îíì¹ = j i j i , 0 , 1 即 ε1，ε2，…，εn 是标准正交基.（10 分）。