hx
+
hz
⋅
dz dx
=
0.
所确定，
(1) (2) (3)
将方程组的变元 Βιβλιοθήκη 以及 y, z 都看成是 x 的函数．
第七章、多元函数微分法 习题课
由(3) 得 由(2) 及上式得
dz = − hx , dx hz
gx
+
gdhyux⋅ dx
dd+=xyhf+zx⋅g+ddzxz⋅f
d=zd0y.= dy xdx
⎞ ⎟⎠
=
x5
f1′1′ +
2x3
f1′2′
+
xf
′′
22
,
第七章、多元函数微分法 习题课
xy
x
f1′,
f
′
2
y
y
x
∂z ∂y
=
x4
f1′+
x2
f2′,
∂2z ∂x∂y
= ∂2z ∂y∂x
=
∂ ∂x
(
x4
f1′ +
x2 f2′)
=
4x3
f1′+
x4
⋅
⎛ ⎜⎝
f1′1′ y
+
f1′2′
⎛ ⎜⎝
−
y x2
x
+
ϕ
′
2
⋅
e
y
dy dx
+
ϕ
′
3
dz dx
=
0,
于是
dz dx
=
−
1
ϕ′ 3
(
2
xϕ
′
1
+
esin x
⋅
cos
xϕ
′
2
),
故
du dx
=
∂f ∂x
+
cos
x
∂f ∂y
−
1
ϕ′ 3
(
2
xϕ
′
1
+
esin x
⋅
cos
xϕ
′
2
)
∂f ∂z
.
第七章、多元函数微分法 习题课
⎧u = f ( x, y),
例6
设函数
u( x)
由方程组
⎪ ⎨
g(
x,
y, z)
=
0,
⎪⎩h( x, z) = 0.
且
∂g ∂y
≠ 0, ∂h ≠ 0, ∂z
试求
du . dx
解法1 方程组各方程两边对 x 求导,得
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
du dx
=
fx
gx + gy ⋅
+ fy dy + dx
dy
dx gz
, ⋅
dz dx
=
0,
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可偏导
方向导数存在
函数可微 偏导数连续
第七章、多元函数微分法 习题课
二、典型例题
例1 求极限 lim ( y − x)x .
x + y x→0
2
2
y→0
解 令 x = ρ cosθ , y = ρ sinθ ,
(ρ > 0)
则 ( x, y) → (0,0) 等价于 ρ → 0.
0,
dy = gz ⋅ hx − gx , dx g y ⋅ hz g y
代入(1)得
du dx
=
fx −
fy ⋅ gx gy
+
f y ⋅ gz ⋅ hx . g y ⋅ hz
第七章、多元函数微分法 习题课
解法2 全微分形式不变性。
du = fx ⋅ dx + f y ⋅ dy,
(1)
⎧u = f ( x, y),
→ 0 ，而点 P 沿 x 轴趋于 (0,0) 时，f ( x, y)
= a2 − x2 → a,
所以 lim f ( x, y) 不存在， ( x, y)→(0,0)
从而 f ( x, y) 在 (0,0) 不连续。
。
第七章、多元函数微分法 习题课
例3.设 u = f ( x, y, z) 有二阶连续偏导数, 且
x = 0或y = 0，
⎪⎩0,
其它
其中 a > 0 ，求 fx (0, 0), f y (0, 0).
解
fx (0,0) =
lim
Δx→0
f (Δx,0) − Δx
f (0,0)
z
= lim a2 − Δx2 − a
Δx→0
Δx
= lim
−(Δx)2
=0
• O
x
Δx→0 Δx( a2 − Δx2 + a)
( f ,ϕ 具有一阶连续偏导数 )，且 ∂ϕ ≠ 0, 求 du .
∂z
dx
解 du = ∂f + ∂f ⋅ dy + ∂f dz , 显然 dy = cos x,
dx ∂x ∂y dx ∂z dx
dx
求 dz , 对 ϕ ( x2 ,e y , z) = 0 两边求 x 的导数,得
dx
ϕ
′
1
⋅
2
z = x2 sin t, t = ln( x + y), 求 ∂u , ∂2u .
∂x ∂x∂y
x
解: u
y z
x t
x y
∂u ∂x
=
f1′ +
f3′⋅ ( 2x sin t
+
x2
cos t
⋅
x
1 +
)
y
x
f1 ' f3 '
y z
x t
x y
第七章、多元函数微分法 习题课
例4 设 z = x3 f ( xy, y ), ( f 具有二阶连续偏导数 )， x
0 ≤ ( y − x)x = ρ 2 (sinθ − cosθ )cosθ
x2 + y2
ρ
= ρ (sinθ − cosθ )cosθ ≤ 2ρ ,
故 lim ( y − x)x = 0.
x + y x→0
2
2
y→0
第七章、多元函数微分法 习题课
例2
设
f
(
x,
y)
=
⎪⎧ ⎨
a2 − x2 − y2 ,
方方向向导导数数
全全微微分分 概概念念
全全微微分分 的的应应用用
复复合合函函数数 求求导导法法则则
全全微微分分形形式式 的的不不变变性性
偏偏导导数数 概概念念
高高阶阶偏偏导导数数 隐隐函函数数 求求导导法法则则
多多元元函函数数的的极极值值
微微分分法法在在 几几何何上上的的应应用用
第七章、多元函数微分法 习题课
f =0
y
同理可得：
f y (0,0) = 0.
第七章、多元函数微分法 习题课
f
(
x,
y)
=
⎧⎪ ⎨
a2 − x2 − y2 ,
x = 0或y = 0，
⎪⎩0,
其它
但极限 lim f ( x, y)不存在， 因点 P 沿 ( x, y)→(0,0)
直线 y = kx(k ≠ 0) 趋于 (0,0) 时， f ( x, y) = 0
⎞ ⎟⎠
⎞ ⎟⎠
+
2
xf
′
2
+
x
2
⎛ ⎜⎝
f
′′
21
y
+
f2′′2
⎛ ⎜⎝
−
y x2
⎞⎞ ⎟⎠ ⎟⎠
=
4x3
f1′ +
2
xf
′
2
+
x4 yf1′1′ −
yf
′′
22
.
第七章、多元函数微分法 习题课
例5 设 u = f ( x, y, z), ϕ ( x2 ,e y , z) = 0, y = sin x,
第七章 多元函数微分法及其应用 习题课
一、主要内容 二、典型例题 三、作业
一、主要内容
平平面面点点集集 和和区区域域
极极 限限 运运 算算
多多元元连连续续函函数数 的的性性质质
第七章、多元函数微分法 习题课
多多元元函函数数概概念念
多多元元函函数数 的的极极限限
多多元元函函数数 连连续续的的概概念念
求 ∂z , ∂2z , ∂ 2z . ∂y ∂y2 ∂x∂y
解
∂z ∂y
=
x
3
⎛ ⎜⎝
f1′x +
f2′
1 x
⎞ ⎟⎠
f12′
xy y
x y
= x4 f1′+ x2 f2′,
x
∂2z ∂y 2
=
x4 ⋅
⎛ ⎜⎝
f1′1′x +
f1′2′
1 x
⎞ ⎟⎠
+
x2
⋅
⎛ ⎝⎜
f 2′′1 x
+
f2′′2
1 x