第二章：实数【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；ππππ（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。

如：2-是无理数π（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。

如2,π（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，39,5,2如：等；无理数也不一定带根号，如：）9π3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003…75-252.±32-…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。

（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有 ( )个π432【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，a x =2记为：“”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。

例如32=9，那么9的算术平方根a 是3，即。

39=特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根00=2.算术平方根具有双重非负性：（1）若 有意义，则被开方数a 是非负数。

（2）算术平方根a 本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两a个互为相反数的值，表示为：。

a ±例：（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是；B ．；（C ）、的平方根是； （D ）、01±24±=813±没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、981±=14.314.3-=-ππ3927-=-235=-（3）的算术平方根是 。

（4）若有意义，则2)3(-x x -+___________。

=+1x （5）已知△ABC 的三边分别是且满足，求c 的取值范围。

,,,c b a b a ,0)4(32=-+-b a （6）（提高题）如果x 、y 分别是4－的整数部分和小数部分。

求x － y 的值.3平方根：1.定义：如果一个数x 的平方等于a ，即，那么这个数x 就叫做a 的平方根；，我们称a x =2x 是a 的平方（也叫二次方根），记做：)0(≥±=a a x 2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根例（1）若的平方根是±2，则x= ；的平方根是（2）当x 时，x 有意义。

x 23－（3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？3. 的性质与22)0()(a a a ≥ （1）（2）中，a 可以取任意实数。

如77)0()22=≥=）如：（a a a ||2a a =5|5|52==3|3-|3-2==）（例：1.求下列各式的值（1） （2） （3）2727-）（249-）（2.已知，那么a 的取值范围是　。

3.已知2＜x ＜3,化简 1)12-=-a a （=-+|3|)-22x x （。

【立方根】3叫做三次方根）记为，读作，3次根号a 。

如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。

3a 2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

立方根是它本身的数有0,1，-1.例：（1）64的立方根是 （2）若，则b 等于9.28,89.233==ab a （3）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④3±y y =3364。

()4832±=±其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个比较两个数的大小：方法一：估算法。

如3＜＜4 方法二：作差法。

如a ＞b 则a-b ＞0.10方法三：乘方法.如比较的大小。

3362与例：比较下列两数的大小（1）（2）2123-10与5325与【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。

在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

（2）实数也可以分为正实数、0负实数。

实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是（a≠0）；实数a 的绝对值a1|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a 实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。

（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。

对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。

运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。

（2）数轴上的每个点都表示已个实数。

r例：（1）下列说法正确的是（ ）；A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；C 、1和2之间的无理数只有 ；D 、不带根号的数都是有理数。

2（2）a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )A 、B 、C 、D 、b a -ab b a +a b -（3）比较大小(填“>”或“<”).， ， ，3-32076______67215-21（4）数 的大小关系是 ( )2,3-- A. B. C. D. 32<-<-32-<<-23-<<-32-<-<（5）将下列各数：，用“＜”连接起来；51,3,8,23---______________________________________。

（6）若，且，则：= 。

2,3==b a 0<ab b a -【二次根式】定义：形如的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数）（0≥a a 注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如是二次根式，而=3,3显然就99不是二次根式。

（2）被开方数a 可以是数，也可以是代数式。

若a 是数，则这个数必须是非负数；若a 是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。

例：下列根式是否为二次根式（1） （2） （3） （4）3-｜｜3-a -32--二次根式的性质：性质1： 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个)0,0(.≥≥=b a b a ab 性质也可以对二次根式进行化简。

性质2：商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。

)0,0.( b a baba≥=最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。

例：1.化简：（1） （2） （3）1512⨯)0(2724≥b b a x942.计算：32278115.041--+323811613125.0⎪⎭⎫⎝⎛-+-3.已知：，求代数式的值。

()()064.01,121732-=+=-y x 3245102y y x x ++--6.（提高题）观察下列等式：回答问题： ① ②2111111112111122=+-+=++6111212113121122=+-+=++③， (12111313114)131122=+-+=++（1）根据上面三个等式的信息，请猜想的结果；2251411++（2）请按照上式反应的规律，试写出用n 表示的等式，并加以验证。

　课后练习一、重点考查题型：1.－1的相反数的倒数是2.已知｜a+3|+＝0，则实数（a+b ）的相反数 b +13.数－3．14与－Л的大小关系是 4.和数轴上的点成一一对应关系的是 5.和数轴上表示数－3的点A 距离等于2．5的B 所表示的数是6.在实数中Л,－,0,,－3．14, 无理数有 个25347．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ）（A ）非负数 （B ）非正数 （C ）负数 （D ）正数g8．若x ＜－3，则｜x ＋3｜= 。

9．下列说法正确是（ ）（A ）有理数都是实数 （B ）实数都是有理数（B ）带根号的数都是无理数　（D ）无理数都是开方开不尽的数10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（1）c-b 和d-a （2）bc 和ad 二、考点训练：*1．判断题：（1）如果a 为实数，那么－a 一定是负数；（　）（2）对于任何实数a 与b,|a －b|=|b －a|恒成立；（　）（3）两个无理数之和一定是无理数；（　）（4）两个无理数之积不一定是无理数；（　）（5）任何有理数都有倒数；（　） （6）最小的负数是－1；（　）（7）a 的相反数的绝对值是它本身；（　）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a －b=－1；（　）2．把下列各数分别填入相应的集合里－|－3|，21．3，－1．234，－,0，－,－, －,, (－)0，3－2，ctg45°,22793－18Л28231.2121121112．．．．．．中无理数集合｛ ｝ 负分数集合｛ ｝整数集合｛ ｝　非负数集合｛ ｝*3．已知1<x<2，则|x －3|+= 。

(1-x)24．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？－3,－1， 3， － 0．3， 3－1， 1 +， 32213互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数：*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X －）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y 的值　26.ａ,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是2，求+4m-3cd= 。

|a+b|2m2+1*7．已知＝0，求ａ＋ｂ= 。

（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜a +2三、解题指导： 1．下列语句正确的是（ ）A 、无尽小数都是无理数B 、无理数都是无尽小数C 、带拫号的数都是无理数D 、不带拫号的数一定不是无理数。

2．和数轴上的点一一对应的数是（ ）A 、整数B 、有理数C 、无理数D 、实数2．零是（ ）A 、最小的有理数B 、绝对值最小的实数C 、最小的自然数D 、最小的整数4.如果a 是实数，下列四种说法：（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，（3）ａ的倒数是，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有 个1a *5．比较下列各组数的大小： (1) (2)a<b<0时, 323121a 1b6．若a,b 满足=0,则的值是|4-a2|+a +ba +22a +3b a *7．实数a,b,c 在数轴上的对应点如图，其中O 是原点，且|a|=|c|（1）判定a+b,a+c,c-b 的符号（2）化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8．数轴上点A 表示数－1，若AB ＝3，则点B 所表示的数为9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x ，－x ，－|y|，y 。