利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理
一、高等代数与解析几何的关系
代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。
解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。
例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来
刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、
混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和
刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二
维、三维几何空间为实例模型。
“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，
但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向
猛进。”
--------拉格朗日

二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学
中国科大：
陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011.

南开大学：
孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007.

华东师大：
陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008.

华中师大：
樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004.

同济大学：
高等代数与解析几何 同济大学应用数学系 高等教育出版社 (2005-05出版)

兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学
三、高等代数的特点
1、逻辑推理的严密性；2、研究方法的公理性；3、代数系统的结构性。

四、高等代数一些概念的引入
对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导
和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让
学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足
点。

序号 实例 高等代数的相关概念及理论
1 中学代数的多项式四则运算 多项式及其加、乘运算的严格定义，并在
此基础上，介绍多项式的整除理论和最大
公因式理论．
2 中学代数的多项式因式分解方法 用不可约多项式的严格定义解释“不可
再分解”的含义，给出了不可约多项式的
性质、唯一分解定理及不可约多项式在三
种常见数域上的判定．
3 中学代数的一元一次方程、一元二次方程的解法以及一元二次方程根与系数的关系 给出了一元n次方程根的定义、复数域上
一元n次方程根与系数的关系以及根的个
数、实系数一元n次方程根的特点、有理
系数一元n次方程有理根的性质以及求
法．
4 中学代数的二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法 引入行列式的定义，进一步介绍了线性方
程组的行列式解法和矩阵消元解法，给出
了线性方程组解的结构．
5
中学几何中的23,RR及其向

量对加法和数乘运算满足8条运算规律，23,RR中过原点的直线、平面 推广为n维向量空间nP，通过8条运算规律抽象出一般线性空间的概念，引入线
性空间的子空间

6 中学几何中的23,RR的直角坐标系，向量的坐标 线性空间的基、欧氏空间的标准正交基，
向量的坐标

7 中学几何中的23,RR的向量的内积、模和夹角，三角形不等式 欧氏空间的定义，欧氏空间向量的模和夹
角，两点间距离的性质

8 3R中向量在平面上的投影 欧氏空间向量在子空间的投影
9 23,RR中有心二次曲线和二次曲面的分类 二次型通过正交替换化为标准形

10 23,RR中向量在一个给定向量或平面上的投影，坐标系的旋转 线性空间中的线性变换，欧氏空间中的正
交变换

五、高等代数的一些概念的几何解析
高等代数中相关概念和定理的几何解析，可以使学生更容易把握这些概念和定理
的几何本质，更容易直观地理解这些抽象的概念和定理，从而可以提高学生运用这些
抽象的概念和定理去解题的能力。
1. 线性代数中“线性”的几何意义
线性代数是高等代数的一个分支，有线性空间、线性映射、线性变换、线性方程组、
线性相关性等概念。哪究竟这里的“线性”的直观理解是什么？简单地说，就是因变
量与自变量之间的关系可以描述为一条直线，例如线性函数y=f(x)=ax+b,最简单的
情形就是过原点的直线y=f(x)=ax。

而对于过原点的直线y=f(x)=ax，其满足可加性和比例性，即
1212()()(),()()fxxfxfxfkxkfx,或者11221122
()()()fkxkxkfxkfx
。
一句话，线性组合的函数，等于函数的线性组合。
将这种关系推广到高维的情形：Y=AX,,AX=b.
2.行列式的几何意义
（1）二级行列式的几何意义

二级行列式12212aaDbb是 xoy平面上以行向量a=12(,)aa和b=12(,)bb为邻边的平行
四边形的有向面积：若这个平行四边形是由向量a沿逆时针方向转到b而得到的，面
积取正值；若这个平行四边形是由向量a沿顺时针方向转到b而得到的，面积取负值。

S(a,b)=|a||b|sin(),而sin1221()||||ababab。
另外，二级行列式的另一个几何意义就是是两个行向量或列向量的叉积ab的数值。
（2）三级行列式的几何意义
三级行列式的几何意义是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。
向量a,b,c的混合积（a,b,c）=（ab）c=321321321cccbbbaaa。
推论1：三点a,b,c共面的等价条件是321321321cccbbbaaa＝0.
推论2：过平面上两点(11,yx), (22,yx)的直线方程为01112211yxyxyx。
3. 矩阵乘积的几何意义
要说到矩阵的乘积的几何意义，我们首先要了解矩阵的发展历程：
1801年德国数学家高斯（F.Gauss）把一个线性变换的全部系数作为一个整体。
1844年，德国数学家爱森斯坦（F.Eissenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其
乘积。
1850年，英国数学家西尔维斯特（J. J. Sylvester）首先使用矩阵一词。
1858年，英国数学家凯莱（A.Cayley，）发表《关于矩阵理论的研究报告》。他首
先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列
文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩
阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩
阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。

矩阵实质上就是一个线性变换。矩阵乘积实质就是线性变换的复合。下面来看2R中
的一个简单例子：

11
22

xy

XYxy




：11111222211222yaxaxyaxax，即Y=AX，11122122aaAaa

11
22

yz

YZyz




：11111222211222zbybyzbyby，即Z=BY，11122122bbBbb.

则12xXx12zZz：11111122111112122222211122211211222222()()()()zbabaxbabaxzbabaxbabax，即Z=CX,
1111122111121222
2111222121122222

babababaCbabababa








.

又有Z=BAX，于是定义11111221111212222111222121122222babababaBAbabababa。
4. 向量组线性相关(无关)与几何中向量共面、共线之间的关系
若,,是三维空间的向量,则:线性相关;,线性相关; ,,线性相关对

应几何直观分别为为零向量; ,共线; ,,共面。因此,一维空间的基是空间
中任意一个非零向量;二维空间的基是空间中两个不共线向量;三维空间的基是空间
中3个不共面的向量组成的。
5. 向量组正交化的几何解释
线性无关的向量组可以由Schmidt正交化得到与其等价的正交组,它的几何解释为,

如果有3个线性无关的向量321,,则可以通过Schmidt正交化得到相应的3个正交

向量321,,。这里11,222 ,333 ,其中2为2在1上的投影
向量; 3为3在12,所确定的平面上的垂直投影向量。