第五章能控性和能观性5－1 离散时间系统的可控性定义设单输入n阶线性定常离散系统状态方程为：……………………………………………………………（5－1）其中 X(k)__n维状态向量；u(k) __1维输入向量；G__n×n系统矩阵；h__n×1输入矩阵；如果存在有限步的控制信号序列u(k)，u(k+1)，…，u(N-1)，使得系统第k步上的状态X(k) 能在第N步到达零状态，即X(N)＝0，其中N是大于k的有限正整数，那么就说系统第k步上的状态X(k)是能控的；如果第k步上的所有状态都能控，则称系统（5－1）在第k步上是完全能控的。
进一步，如果系统的每一步都是可控的，那么称系统（5－1）完全可控，或称系统为能控系统。
定理1单输入n阶离散系统（5－1）能控的充要条件是，能控判别阵：的秩等于n，即：……………………………………（5－2）【证】：因为系统为一线性系统，不妨设系统从任一初态X(0)开始，在第n步转移到零状态，即X(n)=0。
根据离散状态方程的解：……………………………………………………（5－3）因为X(n)＝0，所以：写成矢量形式：…………………………………（5－4）从线性代数知识可知，上式中对于任意的初始状态X(0)，要求都存在一组控制序列u(0)，u(1)，…，u(n-1)的充要条件是阶系数矩阵满秩，即【例5－1】设离散系统状态方程为：判断系统的可控性。
解：M是一方阵，其行列式为：所以系统能控判别阵满秩，系统可控。
定理2考虑多输入离散系统情况，假如线性定常离散系统状态方程为：………………………………………………………（5－5）其中X为阶矢量，U为阶矢量，G为阶矩阵，H为n×r阶能控矩阵。
那么离散系统（5－5）能控的充要条件是：能控判别阵的秩等于n。
（证略）。
【例5－2】已知某离散系统的系统矩阵G和输入矩阵H分别为：试分析系统可控性。
解：我们可以从M阵的前3个列明显看出，Rank（M）=3=n，即满秩，所以系统可控。
5－2 线性定常连续系统能控性定义对于单输入n阶线性定常连续系统…………………………………………………………………（5－6）若存在一个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段内把系统从时刻的初始状态X()转移到任意指定的终态，那么就称（5－6）系统在时刻的状态是能控；如果系统每一个状态都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有一个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设，，即0时刻的任意初始状态，在有限时间段转移到零状态（原点）。
定理3 n阶系统（5－6）能控的充要条件为能控判别阵：……………………………………………………………（5－7）的秩等于n。
【证】我们知道状态方程（5－6）的解为：…………………………………………………（5－8）根据上述能控性定义，考虑时刻的状态，有：…………………………………………………………（5－9）根据第三章（3－18）式：…………………………………………………………………（5－10）其中是线性无关的标量函数。
将（5－10）代入（5－9）得：…………………………………………（5－11）其中：…………………………………………………………（5－12）所以；……………………………………（5－13）对于任意给定的初始状态X(0)，如果系统可控，那么都应该从（5－13）式求出一组值。
根据线性代数知识，的系数矩阵的秩应等于n，即：求出一组后，根据（5－12）就可以求出一组分段连续的控制u(t)。
【例5－3】判别下列线性系统的可控性。
解：Rank（M）=3=n，所以系统可控。
【例5－4】试分析下列系统的可控性。
①，②解：①所以，当，且λ1≠λ2时，|M|≠0,系统可控。
②所以当时系统可控，否则不可控。
定理4对于多输入n阶连续定常系统…………………………………………………………………………（5－14）其中A为n×n阶阵，B为n×r阶阵，u为r维输入。
系统能控的充要条件为能控判别阵的秩等于n，即rank(M)=n(证明略)【例5－5】试分析下列系统的可控性。
解：∵Rank（M）=2<n，∴系统不可控。
定理5对于如式（5－14）所示系统状态方程，如果输入u(t)对状态X(t)的传递函数（阵）没有零极点对消，那么系统可控，否则系统不可控。
（证明略）【例5－6】已知，分析其可控性。
解：u(t)对X(t)的传递函数为：因为发生零极点对消，所以不可控。
实际上，所以系统不可控。
本例系统的结构图如图5－1所示，初看起来似乎状态都与系统控制u(t)有关联，应该受u(t)控制。
但是由于内部的线性相关性，使得对任意给定初始状态X(0)，找不到分段连续的控制u(t)，能将X(0)的两个分量同时转移到零状态，所以系统是不可控的。
图5－1 系统模拟结构图MATLAB中可以用ctrb(A,B)函数求系统的能控判别矩阵M，并用RANK（M）求M 的秩。
下列MATLAB程序可以求出例5－6的M阵及其秩。
%Example 5-6A=[0 1;2.5 _1.5];B=[1;1];M=CTRB(A,B)R=rank(M)end运行结果为：M =1 11 1R = 1定理6 对连续系统…………………………………………………………………………（5－15）其中X为n维状态向量，Y为m维输出向量，u为r维控制向量， A为n×n矩阵，B为n×r矩阵，C为m×n矩阵，D为m×r矩阵。
如果m×(n+1)r阶矩阵的秩为m，那么（5－15）所示系统是输出可控的。
也即对任意给定输出初始量，总能找到一个分段连续的控制u(t)，使系统输出能在有限的时间段内，转移到任一指定的输出。
5－3离散时间系统的可观性定义考虑如下线性定常离散系统………………………………………………………（5－16）其中 X(k)__n维状态向量；u(k) __1维输入向量；y(k) __1维输出向量；G__n×n系统矩阵；h__n×1输入矩阵；C__l×n输出矩阵；如果根据第i步及以后有限步的输出观测y(i)，y(i+1)，…，y(N)，就能唯一的确定第i步的状态X(i)，则称系统（5－16）能观的。
对于线性定常离散系统，不失一般性，我们可设i=0,即从第0步开始观测，确定的是X(0)的值。
并且由于u(k)不影响系统的可观性，因此令u(k)≡0。
所以（5－16）变成：…………………………………………………………………（5－17）定理7对于（5－17）离散系统，其完全能观的充要条件为能观判别阵………………………………………………………………………（5－18）的秩等于n,即Rank（N）=n.【证】由（5－17）可知：…………………………………………………………（5－19）写成矢量形式： (5)20）根据线性代数知识，（5－20）中X n x1 (0)有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩为n。
即Rank（N）=n。
【例5－7】判定下列系统的能观性。
解：∵Rank（N）=1≠2，∴系统不可观。
【例5－8】系统判断其可观性。
解：因为从N的子阵C就知道Rank（N）=2=n，所以系统可观测。
实际上本例由于m=n，并且det(C)≠0，所以直接从系统的输出方程就可以一步观测到系统的状态值：MATLAB中可以用OBSV(A,C)函数求系统的能观判别矩阵N，并用RANK（N）求N 的秩。
下列MATLAB程序可以求出例5－8的N阵及其秩。
%Example 5-8A=[2 3;-1 -2];C=[2 0;-1 1];N=obsv(A,C)R=rank(N)end运行结果为：N =2 0-1 14 6-3 -5R = 25－4 线性定常连续系统的能观性定义系统方程为：……………………………………………………………………（5－21）若对任意给定的输入u(t)，总能在有限的时间段[t0,t f]内，根据系统的输入u(t)及系统观测y(t)，能唯一地确定时刻t0的每一状态X(t0)，那么称系统在t0 时刻是状态可观测的。
若系统在所讨论时间段内每一时刻都能观测，则称是完全能观测的。
定理8（5－21）系统完全可观的充要条件是能观判别阵的秩为n。
（证明略）【例5－9】判别系统的可观测性解：∵Rank（N）=2＝n，∴系统可观。
5－5对偶系统和对偶原理5－5－1 对偶系统设系统∑1的动态方程为：(5-22)……………………………………………………………系统∑2的动态方程为：(5-23)……………………………………………………………若∑1 ，∑2 满足：……………………………………………(5-24)则称∑1 和∑2 互为对偶系统。
如果∑1 和∑2 互为对偶系统，那么：模拟结构图中将信号线反向；输入端变输出端，输出端变输入端；1．如果将∑1信号综合点变信号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成的就是∑2的模拟结构图，如图5－2所示。
更直观的理解可以对比图5－3和图5－5，或者图5－4和图5－6，它们是两对对偶系统。
图5－2 对偶系统结构图2．对偶系统的传递函数阵互为转置。
所以若∑1 ，∑2 为单入单出（SISO）系统，那么有3. 对偶系统特征方程式相同。
即和是等价的。
5－5－2 对偶原理若系统∑1＝（A1,B1,C1,）和∑2＝（A2,B2,C2,）互为对偶系统，则∑1的可控性等价于∑2的可观性；∑1的可观性等价于∑2的可控性。
对前半部进行说明：所以Rank（N2）=Rank（M1），也即则∑1的可控性等价于∑2的可观性。
5－6 系统能控标准型和能观标准型5－6－1 单输入系统能控标准型控制系统的能控标准型有两种形式，分别称之为能控Ⅰ型和能控Ⅱ型。
对于能控Ⅰ型∑c1（A c1,b c1,C c1）,其各矩阵的形式为：…………………（5－25）对于能控Ⅱ型∑c2（A c2,b c2,C c2）,其形式为：………………………（5－26）注意C c1中的βi与C c2中的βi不是同一数值。
∑c1的模拟结构图如图5－3所示，∑c2结构图如图5－4所示。
∑c1（A c1，B c1，C c1）和∑c2（A c2，B c2，C c2）之所以称之为能控型，主要是这种形式的动态方程肯定是可控的。
如对∑c1系统，可控判别阵|M|=1≠0，所以系统∑c1始终是可控的。
系统∑c2也可类似证明。
图5－3 能控Ⅰ型模拟结构图图5－4 能控Ⅱ型模拟结构图下面介绍如何将一个一般的动态方程转化成一个能控标准型。
定理9对一般动态方程 (5)27）如果系统是可控的，即Rank[b,Ab,…,A n-1b]满秩，那么可以通过非奇异矩阵的线性变换，将系统∑（A，B，C）变换成（5－25）所示的可控Ⅰ型∑c1（A c1，Bc1，Cc1），其中……………………………………………………………………（5－28）ai(i=0，1，2，…，n-1)是系统特征多项式的系数，即：（证明略）由可控Ⅰ型求系统传递函数是非常方便的，因为：……………………………………（5－29）上式可知，根据系统的传递函数W（S）可直接写出系统的可控Ⅰ型，反之亦然。