2017年高考模拟试卷(7)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1． 已知集合A ={2，3，5}，B ={|13x x ≤≤}，则A B = ▲ ． 2． 若复数z 满足(1i)2i z -= (i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 3． 如图是某班8位学生诗朗诵比赛成绩的茎叶图，那么这8位学生成绩的平均分为 ▲ ．4． 如右图所示的流程图的运行结果是 ▲ ．5． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2214y x a -=的一条准线的方程 为3x =，则实数a 的值是 ▲ ．6． 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则恰有两个盒子各有1个球的概率为 ▲．7． 已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为 ▲ ． 8． 已知奇函数()f x 在(,)-∞+∞上为单调减函数，则不等式(lg )(1)0f x f +>的解集为▲ ． 9． 已知各项均为正数的数列{}n a 满足2n n a qa +=（1q ≠，*n ∈N ），若213a a =，且233445a a a a a a +++，， 成等差数列，则q 的值为 ▲ ．10．如图，在扇形AOB 中，4OA =，120AOB ∠=°，P 为弧AB 上的一点，OP 与AB 相交于点C ，若8OP OA ⋅= ，则OC AP ⋅的值为 ▲ ．11．定义在区间()π02，上的函数5cos 2y x =的图象与2sin y x =-的 图象的交点横坐标为0x ，则0tan x 的值为 ▲ ．12．已知定义在R 上的函数2480()(2)0x x x f x f x x ⎧-=⎨+<⎩，≥，，，则方程6()1log (1)f x x +=+的实数解的个数为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知动直线1y kx k =+-与曲线21x y x +=-交于A B ，两点，平面上的动点()P m n ，满足PA PB +≤22m n +的最大值为 ▲ ． 14．若对于[)2x y ∀∈-+∞∀∈R ，，，不等式e +e 2(1)x y x y ax a +-+-≤恒成立，则实数a 的取值范围 是 ▲ ．5 6 8 0 1 2 2 689 （第3题）（第4题）（第10题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知2cos b c a B +=． （1）求证：2A B =；（2）若△ABC 的面积214S a =，求角A 的大小．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ， E 为PB 上一点，G 为PO 中点.（1）若PD // 平面ACE ，求证：E 为PB 的中点； （2）若AB，求证：CG ⊥平面PBD .17．（本小题满分14分）如图是一“T ”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向 渠宽为4 m（从拐角处，即图中A B ，处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．（1）在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P Q ，两点，且与水渠的一边的夹角为θ()π02θ<<，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数； （2）若从南面漂来一根长为7 m 的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．（第17题）（第16题）ABCDPOEG18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系 xOy 中，离心率为的椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左顶点为A ，且A 到右准线的距离为6，点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，当P 、O 、Q 共线时，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，求证：AM AN ⋅为定值；（3）设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1•k 2=﹣1时，证明直线PQ 经过定点R ．19．（本小题满分16分）已知函数3()2ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y b =，求a b +的值； （2）在（1）的条件下，求函数()f x 零点的个数；（3）若不等式()2()1f x x a ++≥对任意(01]x ∈，都成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足：对于任意正整数n ，当n ≥2时，22121n n n a b a n -+=+．（1）若(1)n n b =-，求222213511a a a a ++++ 的值；（2）若1n b =-，12a =，且数列{}n a 的各项均为正数．① 求数列{}n a 的通项公式；② 是否存在*k ∈N ，且2k ≥{}n a 中的项？ 若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由.( 第22题 )ABCD FE（第21-A 题）第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．. A.（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ．求证：AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵21a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，其中a b ，均为实数，若点(31)A -，在矩阵M 的变换作用下得到点(35)B ，， 求矩阵M 的特征值．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，若直线321x t y t =-⎧⎨=-⎩，（t 为参数）与圆55cos 35sin x y ϕϕ=+⎧⎨=-+⎩， （ϕ为参数）相交于A B ，两点，求AB 的长度． D ．（选修4-5：不等式选讲）已知关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为(12)，，其中a b ∈，R ，求函数()((f x a b =--【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//AB CD ，AD CD ⊥，12AB AD CD ==．（1）求直线EC 与平面BDF 所成角的正弦值；（2）线段EC 上是否存在点P ，使得二面角F BD P --的余弦值为13？若存在，求出EP EC 的值；若不存在，说明理由．23．已知函数2()ln(1)2x f x x x =+-+．（1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）请用数学归纳法证明：当3n n ∈N ，≥时， 231ln ni n =<∑．2017年高考模拟试卷(7)参考答案一、填空题1．{2，3} 2．1i-+3．90 4．245．12 .由双曲线2214yxa-=的一条准线的方程为3x=3=，所以12a=．6．23.所有的基本事件的总数为339⨯=，“恰有两个盒子各有1个球”的对立事件是“甲、乙两个不同的球在同一个盒子”，有3种可能，所以“恰有两个盒子各有1个球”的概率为32193-=．7．.．8．()1010，.由条件，不等式(lg)(1)0f x f+>即为(lg)(1)f x f>-，所以lg1x<-，解得110x<<．9．3 .由条件，234534()()2()a a a a a a+++=+，所以2312(1)()2()q a a q a a++=+，所以11(1)(3)8q q a qa++=，因为1a>，1q≠，所以3q=．10．4 .由16cos8OP OA AOP⋅=∠=，得1cos2AOP∠=，所以60AOP∠= ，所以42cos604OC AP OC OB⋅=⋅=⨯⨯=．11．34.令5cos22sinx x=-，即25(12sin)2sinx x-=-，所以210sin sin30x x--=，因为()π0x∈，，所以3sin5x=，即3sin5x=，从而12．7.如图所示，函数()1y f x=+与6log(1)y x=+的图象有7个不同的交点，所以原方程有713．18.直线1y kx k=+-过定点(1,1)M恰为曲线y=所以M为AB的中点，由PA PB+≤PM所以动点()P m n，满足22(1)(1)8m n-+-≤，所以22m n+的最大值为18．14．2a≤.由e+e2(1)x y x yax a+-+-≤，得(2)a x+当2x=-时，不等式为220e+e2y y-+--+≤恒成立，a∈R；当2x>-时，不等式为1e(e+e)22x y yax-⎡⎤+⎣⎦+≤，设1()e(e+e)22x y yf xx-⎡⎤=+⎣⎦+，()2x∈-+∞，，则2(e1)()2xf xx++≥，当且仅当0y=时取“=”，再设2(e1)()xg x+=，则222[e(2)(e1)]2[e(1)1]()(2)(2)x x xx xg xx x+-++-'==++，设()e (1)1x t x x =+-，由于()e (1)e e (2)0x x x t x x x '=++=+>，所以()t x 在()2-+∞，上单调增，因为(0)0t =，所以当(20)x ∈-，时，()0t x <，即()0g x '<；当(0)x ∈+∞，时，()0t x >，即()0g x '>， 所以()g x 在(20)x ∈-，上为减函数，在(0)x ∈+∞，上为增函数， 所以()g x 在0x =时取得最小值，且最小值为2．综上，当0x =且0y =时，()f x 取最小值为2，所以2a ≤．二、解答题 15．（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，则2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 所以sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B =-=-． 因为0πA B <<，，所以ππA B -<-<，所以B A B =-或π()B A B =--，即2A B =或πA =（舍）， 所以2A B =．（2）由214S a =，得21sin 124ab C a =，所以1sin sin sin 2B C A =，由（1）知，1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，所以sin cos C B =．因为sin 0C >，所以cos 0B >，即B 为锐角，若C 为锐角，则πsin sin()2C B =-，即π2C B =-，可知π2A =；若C 为钝角，则πsin sin()2C B =+，即π2C B =+，可知π4A =．综上，π4A =或π2A =．16. （1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点， 因为PD // 平面ACE ，PD ⊂面PBD ，面PBD 面ACE OE =， 所以//PD OE .因为O 为BD 中点，所以E 为PB 的中点.（2）在四棱锥P －ABCD 中，AB， 因为四边形ABCD是正方形，所以OC AB =，所以PC OC =.因为G 为PO 中点，所以CG PO ⊥. 又因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， 所以PC ⊥BD .而四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 因为,AC CG ⊂平面PAC ，AC CG C = ， 所以BD ⊥平面PAC ，因为CG ⊂平面PAC ，所以BD CG ⊥. 因为,PO BD ⊂平面PBD ，PO BD O = ，ABCDPOEG所以CG ⊥平面PBD .17. （1）由题意，PA =，4cos QA θ=，所以l PA QA =+，即4cos l θ=+（π02θ<<）．（2）设4()cos f θθ=+，π(0,)2θ∈．由24sin ()cos f θθθ'==令()0f θ'=，得0tan θ=且当0(0,)θθ∈，()0f θ'<；当0π(,)θθ∈，()0f θ'>，所以，()f θ在0(0,)θ上单调递减；在0π(,)2θ上单调递增，所以，当0θθ=时，()f θ取得极小值，即为最小值．当0tan θ=0sin θ0cos θ=，所以()f θ的最小值为，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m ．因为7>，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．18.（1） 由题意，且，解得a=2，c=1．∴b=．∴椭圆的标准方程为．（2）证明：设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），又A （﹣2，0），∴直线AP 的方程为y=（x +2），得M （0，），∴=（2，）．同理可得N （0，），=（2，），∴•=4+．又点P 在椭圆C 上，故，即，∴•=4+=1（定值）；（3）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），将直线AP 的方程y=k 1（x +2）与椭圆方程联立得：，即（3+4k 12）x 2+16k 12x +16k 12﹣12=0．∴﹣2+x 1=，x 1=，y 1=，∴P （，）．∵k 1•k 2=﹣1，∴Q （，）．当时，点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为x=﹣，由此可见，如果直线PQ 经过定点R ，则点R 的横坐标一定为﹣．当时，，直线PQ 的方程为y ﹣=（x ﹣），令x=﹣得： =0．∴直线PQ 过定点R （﹣，0）． 19． （1）21()32f x ax x'=--，由题意，(1)0f '=，(1)f b =，解得，1a =，1b =-，所以0a b +=．（2）由（1）知，3()2ln f x x x x =--，232(1)(331)1321()32x x x x x f x x x x x-++--'=--==， 令()0f x '=，得1x =，且当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．因为(1)10f =-<，3112()10e e e f =-+>，3(e)e 2e 10f =-->，函数()f x 在区间[1,1e]和[1,e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，所以函数()f x 有两个零点． （3）设()()2()g x f x x a =++，即3()2ln g x ax a x =+-，(01]x ∈，． 32131()3ax g x ax x x-'=-=，当0a ≤时，()0g x '<，所以函数()g x 在(01]，单调递减， 所以()g x 最小值为(1)30g a =≤，不合题意；当0a >时，()g x '=，令()0g x '=，得x =．1，即103a <≤时，函数()g x 在(01]，单调递减， 所以()g x 最小值为(1)30g a =>，只需31a ≥，即13a ≥，所以13a =符合；1，即13a >时，函数()g x 在上单调减，在上单调增，所以()g x 的最小值为112ln3133g a a =++>，所以1a >符合．综上，a 的取值范围是13a ≥．20． （1）由条件，22213a a +=，22327a a -=，226513a a +=，227615a a -=， 2210921a a +=，22111023a a -=，所以22221351182a a a a ++++= .（2）①由22121(2)n n a a n n--=+≥， 22215a a -=，22327a a -=，22439a a -=，…，22121n n a a n --=+. 将上面的式子相加，得221(215)(1)2n n n a a ++--=，所以22(215)(1)4(1)(2)2n n n a n n ++-=+=+≥.因为{a n }的各项均为正数，故1n a n =+(2)n ≥. 因为12a =也适合上式，所以1n a n =+（*n ∈N ）.② 假设存在满足条件的k ,m a =，1m +， 平方得22(21)19(1)k k m -+=+，（*）所以222(21)2(21)(1)19(2)k k k m k -<-=+-<，所以2222(1)(21)19(1)(2)19m k m k ⎧+-->⎪⎨+-<⎪⎩， 即(2)(22)191(12)(12)192m k m k m k m k ++->⎧⎨+++-<⎩（）（）由（1）得，221m k +-≥，即120m k +-≥， 若120m k +-=，代入（*）式，求得19182m k ==，不合，舍去； 若120m k +->，结合（2）得1219m k ++≤， 所以21192k m k <+-≤，即194k <，又k ∈*N 且2k ≥， 所以k 的可能取值为2，3，4， 代入（*）式逐一计算，可求得3k =.第II 卷（附加题，共40分）21.A . 因为ABCD 是圆的内接四边形，所以DAE BCD ∠=∠，FAE BAC BDC ∠=∠=∠． 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠， 所以DAE FAE ∠=∠，所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．B ． 由题意，233115a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即63315a b -=⎧⎨-=⎩，，， 解得，32a b =⎧⎨=⎩，，所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ． 设23()(2)(1)6021f λλλλλ--==---=--， 解得1λ=-或4λ=，所以矩阵M 的特征值为1-和4．C ． 由321x t y t =-⎧⎨=-⎩，消参数t ，得210x y --=．由55cos 35sin x y ϕϕ=+⎧⎨=-+⎩，消参数ϕ，得22(5)(3)25x y -++=．所以圆心(53)-，到直线210x y --=的距离d ==所以2AB ==D ． 因为不等式20x ax b -+<的解集为(12)，， 所以可得，3a =，2b =．又函数()((f x a b =--由柯西不等式可得，22222(21]5++=，当且仅当16[34]x =∈，时取等号． 所以，当165x =时, 函数()f x．22． 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥， 所以CD ⊥平面ADEF ，因为DE ⊂平面ADEF ，所以CD DE ⊥． （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设1AD =，则(000)D ，，，(110)B ，，， (020)C ，，，(001)E ，，，(101)F ，，，所以(021)EC =- ，，，(101)DF = ，，，(110)DB = ，，． 设平面BDF 的法向量()x y z =，，n ，则00DF DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩， 令1x =，则1y z ==-，所以(111)=--，，n ， 设直线EC 与平面BDF 所成角为θ，则sin EC EC θ⋅==⨯n n， 即直线EC 与平面BDF． （2）假设线段EC 上是否存在点P 满足题意，设(01)EP EC λλ=≤≤，则(021)P λλ=-，，，所以(021)DP λλ=-，，． 设平面BDP 的法向量()x y z ''''=，，n ，则00DP DB ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩n n ，即2(1)00y z x y λλ''+-=⎧⎨''+=⎩， 令1x '=，则1y '=-，21z λλ'=-，所以2(11)1λλ'=--，，n ． 设二面角F BD P --的平面角为α， 则21111cos 3λλα+-'⋅-==='⨯n n n n ，解得1λ=或5λ=．经检验，符合条件的13λ=，即当13EP EC =时，二面角F BD P --的余弦值为13．23． （1）由22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=++++≥， 知函数()f x 在定义域(1,)-+∞上为增函数，由于(0)0f =， 所以不等式()0f x >的解集为(0,)+∞．（2）① 当3n =，不等式左边1111571ln3345660=+++=<<，所以不等式成立；② 假设当(3)n k k =≥时，不等式成立，即231ln ki k i=<∑；则当1n k =+时，左边2(1)233111111ln 21222122k ki i k i ik k k k +====++<++++++∑∑． 下面证明11ln ln(1)2122k k k k +++++≤，只需证111ln 2122k k k k++++≤（*）． 由（1）知，0x >时，()0f x >，即2ln(1)2x x x +>+，所以212ln(1)12k +>=+，由于112212221k k k +<+++，所以（*）不等式成立， 当1n k =+时，原不等式仍然成立．由①②知，原不等式对任意3n n ∈N ，≥都成立．。