似导致的均小 方 . 误差就越
y ˆi y ˆxxia ˆb ˆxi,
yi yˆi xi处的残差
n
n
Q e (yiy ˆi)2 (yi a ˆ b ˆx i)2
i 1
i 1
残差平方和
n
n
Q e(y i y ˆi)2[y i y b ˆ(x i x )2]
i 1
i 1
Syyb ˆSx.y
b, a的估计量为 n
根Y 据 1,Y2, ,Yn的独立性可度 得函 到数 联
n
L
i 1
1 2 π ex 2 p 1 2(y i a bi)x 2
( 1 2 π )n e x 2 p 1 2i n 1(y i a bi)2 x .
用最大似然估计知估参计数 a,未 b.
对于任意y1一 ,y2, 组 ,yn,样 观本 察的 值
Y a b x , ～ N ( 0 ,2 ).
对( 于 x 1 ,Y 1 ) ,( x 2 样 ,Y 2 ) , ,( x 本 n ,Y n )
Y i a bi xi, i～ N (0 , 2 )各 , i相互 .
于 Y i ～ N ( a 是 b i ,2 ) x , i 1 , 2 , , n .
i1
i1
n
n
n
正规方程组
(
i1
xi
)a
(
i1
xi2)b
i1
xiBiblioteka yinnn
xi
n
xi
i1 n
0,
x
2 i
( xi x)( yi y)
bˆ i1 n
,
(xi x)2
i 1
i1
i1
aˆybˆx,
其x 中 n 1i n 1xi,yn 1i n 1yi.
(x)abx
ˆ(x)a ˆbˆx Y关于x的经验回归函数
系b 数 的置信 1水 的 平 置 为 信区间为
bˆ t2(n2)
Sˆxx.
例,求 如 1中 例 b的置信 0.9的 水 5 置 平.信 为区
0 .482 3 .300 6 0 .9 00 3 (0 .4 05,0 8 .59 0)4 7 . 1
( x i x )Y i
bˆ
i1 n
, a ˆYb ˆx
(xi i1
x )2 其中 xn 1i n 1xi,Yn 1i n 1Y i.
n
n
记S YY (Yi Y)2, SxY (xi x)Y (i Y).
i1
i1
残差平Q 方 e的 和相应的统计量为 Q eS YY b ˆSx.Y
函数 L 为 ( 1 2 π )n e x 2 p 1 2i n 1(y i a bi)2 x
L取最大值等价于
n
Q(a,b) (yi abix)2
取最小值.
i1
Q
n
a
Q
b
2 (yi
i1 n
2 (yi
i1
abxi ) abxi )xi
0
0
n
n
na(xi )b yi
t ˆ Sxxt2(n2).
拒绝 H0:b0,认为回归效 . 果显著 接受 H0:b0,认为回归效.果不显 回归效果不显著的原因分析: (1)影响 Y取值,除 的x及随机误差外还 他不可忽略; 的因素 (2)E(Y)与x的关系不是线 ; 性的 (3)Y与x不存在关 . 系
6.系数b的置信区间 当回归效,果 对显 系 b作 著 数区 时间 . 估计
利用样Y本 关x 来 于 的估 回计 归 (x). 函数
求解步骤
1.推测回归函数的形式
方法一 根据专业知识或者经验公式确定; 方法二 作散点图观察. 例1 为研究某一化学反应过程中,温度 x(oC) 对产 品得率Y ( % )的影响, 测得数据如下 .
温度x(oC) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
yˆ aˆbˆx Y关于x的经验回归方程
回归方程 回归直线
由a ˆ于 yb ˆx, y ˆyb ˆ(xx),
回归直线通过散 几点 何图 中(的 x心 ,y).
n
记 Sxx (xi x)2,
i1
n
Syy (yi y)2,
i1
n
Sxy (xi x)(yi y),
i1
bˆ S xy , S xx
得率Y(%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 用MATLAB画出散点图
x=100:10:190;y=[45,51,54,61,66,70,74,78,85,89]; plot(x,y,'.r')
观察,散 (x)具 点 有 图 线 ab的 性 x 形 函 .
2.建立回归模型
(x)abx一元线性回归问题
假设 x的 对 每 于 一 Y ～ N 个 (ab值 , x2)a 有 ,, b,2都是不 x的依 未赖 .知于 参数
记 Y(ab)x 那 , 么
Yabx, ～N(0,2). a,b,2是不依x赖 的于 未知参 . 数
一元线性回归模型
x的线性函数 随机误差
3.未知参数a,b的估计
可以证 Qe2明 ～ 2 (n 2),
从E 而 (Q e 2 ) n 2 ,E (n Q e2 )2 .
2的无偏估计量为
ˆ2nQ e2n1 2SYYbˆSxY.
5.线性假设的显著性检验
Y a b x , ～ N ( 0 ,2 ).
检: 验 H 0 :b 假 0 , H 1 :b 设 0 .
b ˆ～ N (b,2Sx)x, (n 2 2)ˆ2 Q e 2～ 2(n2).
并b ˆ且 ,Qe相互,因 独此 立
当 H 0 为 bˆb ˆ b真 0 ,S 此 xx～ t t( n时 b ˆ ˆ时 2)S .x ～ x t( n 2 ),
并E 且 (b ˆ)bb0 ˆ,得 H 0的拒绝域为
问题的一般提法 对x的一组不完全x1相 , x2,同 ,x的 n,设 值
Y1,Y2,,Yn分别是 x1,在 x2,,xn处对 Y的独立 观察结 . 果
称 (x 1,Y 1)(,x 2,Y 2) ,,(x n,Y n)是一. 个 对应的样本值记为
(x1,y1),(x2,y2) , ,(xn,yn).
1n
aˆni1yi
(n 1i n1xi)bˆ.
4.未知参 2的数 估计
Y a b x , ～ N ( 0 ,2 ).
E { Y ( [ a b ) 2 } ] x E ( 2 ) D ( ) [ E ( ) 2 ] 2 .
2越,小 用回归 (x函 )a数 bx作Y 为 的近